5-4 频域：奈氏 判据.ppt

1 2 奈氏判据设 闭环系统特征多项式显然 F s 的零点就是闭环系统的极点 1 1 G S H S 平面上的系统稳定性分析假如s沿着奈氏路径绕一圈 根据幅角定理 F s 平面上绘制的F s 曲线 F逆时针方向绕原点的圈数N则为F s 在s右半开平面内极点个数P与的零点个数Z之差 N P Z当Z 0时 说明系统闭环传递函数无极点在s右半开平面 系统是稳定的 反之 系统则是不稳定的 2 2 G s H s 平面上的系统稳定性分析 奈氏判据因1 G s H s 与G s H s 相差1 则系统稳定性可表述为 奈氏判据 闭环系统稳定的充要条件是 s沿奈氏路径绕一圈 G j H j 曲线逆时针绕 1 j0 点的P圈 即 N P Z 0 P G s H s 位于s右半平面的极点数 a 若P 0 且N 0 即GH曲线不包围 1 j0 点 则闭环系统稳定 b 若P 0 且N P 即GH曲线逆时针绕 1 j0 点P圈 则闭环系统稳定 否则是不稳定系统 不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取 Z P Nc 若GH曲线通过 1 j0 点L次 则说明闭环系统有L个极点分布在s平面的虚轴上 3 例 一系统开环传递函数为 试判别系统的稳定性 解 本系统的开环频率特性当变化 系统的幅相曲线如图所示 因为系统有一个开环极点位于s的右半平面 即 P 1 图中奈氏曲线是逆时针方向绕 1 j0 点的1圈 即N 1 根据奈氏判据 闭环系统在s右半平面极点数Z P N 1 1 0所以系统稳定 4 例 分析如下系统的稳定性 设开环传递函数中 T5 T1 T2 T3和T4解 若某K值下GH曲线如图 因N 0 且P 0 系统稳定 1 K增大 使 1 j0 位于c d间 曲线顺时针包围 1 j0 两圈 系统不稳定 2 K减小 使 1 j0 位于a b之间 曲线顺时针包围 1 j0 点两圈 系统仍不稳定 K再减小 使 1 j0 点位于a点左边 那么闭环系统又稳定了 此系统称为条件稳定系统 即要使系统稳定 K必须满足一定的条件 5 3 一种简易的奈氏判据 1 正 负穿越的概念G j H j 曲线对称实轴 应用中只画部分 所谓 穿越 是指轨迹穿过段 正穿越 从上而下穿过该段一次 相角增加 用表示 负穿越 由下而上穿过该段一次 相角减少 用表示 正穿越负穿越 6 7 若G j H j 轨迹起始或终止于 1 j0 以左的负轴上 则穿越次数为半次 且同样有 1 2次穿越和 1 2次穿越 8 如果G j H j 按逆时针方向铙 1 j0 一周 则必正穿越一次 反之 若按顺时针方向包围点 1 j0 一周 则必负穿越一次 这种正负穿越之和即为G j H j 包围的圈数 故奈氏判据又可表述为 闭环系统稳定的充要条件是 当由0变化到时 G j H j 曲线在 1 j0 点以左的负实轴上的正负穿越之和为P 2圈 此时 Z P 2NP 开环传递函数在s右半平面的极点数 要使Z 0 则 N P 2若开环传递函数无极点分布在S右半平面 即 则闭环系统稳定的充要条件应该是N 0 注意 这里对应的 变化范围是 9 例 某系统G j H j 轨迹如下 已知有2个开环极点分布在s的右半平面 试判别系统的稳定性 解 系统有2个开环极点分布在s的右半平面 P 2 G j H j 轨迹在点 1 j0 以左的负实轴有2次正穿越 1次负穿越 因为 N 求得 Z P 2N 2 2 0所以系统是稳定系统 10 四 伯德图上的奈氏判据极坐标图伯德图单位圆0db线 幅频特性图 单位圆以内区域0db线以下区域单位圆以外区域0db线以上区域负实轴 1800线 相频特性图 因此 奈氏曲线自上而下 或自下而上 地穿越 1 j0 点左边的负实轴 相当于在伯德图中当L 0db时相频特性曲线自下而上 或自上而下 地穿越 180 线 11 参照极坐标中奈氏判据的定义 对数坐标下的奈判据可表述如下 闭环系统稳定的充要条件是 当 由0 变化时 在开环对数幅频特性的频段内 相频特性穿越的次数 正穿越与负穿越次数之差 为 P为开环传递函数在s右半平面的极点数 若开环传递函数无极点分布在S右半平面 即则闭环系统稳定的充要条件是 在的频段内 相频特性在线上正负穿越次数代数和为零 或者不穿越线 12 五 稳定裕量 人们常用系统开环频率特性G j H j 与GH平面上与 1 j0 点的靠近程度来表征闭环系统的稳定程度 一般来说 G j H j 离开 1 j0 点越远 则稳定程度越高 反之 稳定程度越低 一 相位裕量增益剪切频率 指开环频率特性G j H j 的幅值等于1时的频率 即在控制系统的增益剪切频率 c上 使闭环系统达到临界稳定状态所需附加的相移 超前或迟后相移 量 称为系统的相位裕量 记作 13 相位裕量 当 0时 相位裕量为正 系统稳定 14 相位裕量 当 0时 相位裕量为负 系统不稳定 15 结论 一般而言L c 处的斜率为 20db 时 系统稳定 L c 处的斜率为 40db 时 系统可能稳定 也可能不稳定 即使稳定 也很小 L c 处的斜率为 60db 时 系统肯定不稳定 为了使系统具有一定的稳定裕量 L 在 c处的斜率为 20db 16 2 增益裕量在系统的相位剪切频率 g g 0 上 开环频率特性的倒数 称为控制系统的增量裕量 记作Kg 即以分贝表示时Kg大于1 则增益裕量为正值 系统稳定 Kg小于1 则增益裕量为负值 系统不稳定 一般说来为了得到满意的性能 相位裕量应当在30 60 之间 而增益裕量应当大于6dB 17 复习 系统的稳态误差1 稳态误差与输入 系统结构有关 2 减小或消除稳态误差的方法 a 增加开环放大系数K b 提高系统的型号数 18 关键 对数频率特性上的稳态误差系数求取1 0型系统设某一系统的开环频率特性其幅频特性如图所示在低频段 0 时 其幅值结论 0型系统对数幅频特性曲线低频段的斜率为0 高度为 其中KP即为该系统的稳态位置误差系数 5 5控制系统的稳态分析 19 2 型系统设某系统开环频率特性 其幅频特性如图所示 1 I型系统的对数幅频特性曲线低频段的斜率为 20dB dec且它 或它的延长线 与 1直线交点处对应的幅值为20lgKV 证明如下 因此 当 1时 20 2 斜率为 20dB dec的起始线段 或它的延长线 与0dB线交点频率 V在数值上等到于KV 证明如下 即 21 3 型系统其幅频如图所示1 II型系统对数幅频特性曲线低频段 或它的延长线 与 1直线交点处对应的幅值为20lgKa 证明如下 II型系统低频段的频率特性 1 因此 当 1时 22 2 若设斜率为 4