《数列的概念》PPT课件.ppt

1 第一课时 数列的概念 第十四章数列 2 1 数列的概念按照 排列着的一列数称为数列 一般用 表示 2 数列与函数的关系 1 从函数观点看 数列可以视为是以 为定义域的函数an f n 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列 一定顺序 an 正整数集N 或它的有限子集 1 2 3 n 函数值 3 2 同函数一样 数列有 三种表示法 3 数列的通项公式如果数列 an 的第n项an与 之间的关系可以用一个式子 来表示 那么这个公式叫做这个数列的通项公式 4 数列的递推公式如果已知数列 an 的首项 或前几项 且任一项an与它的前一项an 1 或前几项 间的关系可以用一个公式来表示 那么这个公式叫做数列的递推公式 an f n 列表法 图象法 解析法 序号n 4 1 写出下面数列的一个通项公式 1 联想数列2 4 8 16 32 可得所求数列的通项公式为an 2n 1 5 2 将数列的各项都统一成分数 可得该数列的通项公式为 2 若数列 an 中 a1 1 a2 3 a3 6 a4 10 a5 15 则 a2 a1 2 a3 a2 3 a4 a3 4 a5 a4 5 an an 1 n 将各式相加得an a1 2 3 4 n 所以 6 3 在数列 an 中 若a1 1 an 1 2an 3 n 1 则该数列的通项公式是 由已知可得a1 1 22 3 a2 5 23 3 a3 13 24 3 a4 29 25 3 所以an 2n 1 3 an 2n 1 3 7 4 设数列 an 的前n项和为Sn 且Sn 1 Sn an n N 则数列 an 一定是 A 递增数列B 递减数列C 常数列D 摆动数列因为an Sn 1 Sn an 1 故数列 an 是常数列 C 8 5 数列 an 中 an 2n2 29n 3 则此数列最大项的值是 A 107B 108C 108D 109因为所以 当n 7时 an最大且等于108 故选B B 9 1 数列的概念 1 已知数列则是它的第 项 此数列的第9项是 2 若数列 an 前n项的和Sn 0 n N 则此数列是 A 递增数列B 递减数列C 常数列D 常数列或摆动数列 7 C 10 2 通项公式数列1 3 3 5 5 7 7 9 9 的一个通项公式是 3 递推公式若数列 an 满足a1 0 则a4 0 11 5 前n项的和 1 已知数列 an 的前n项和Sn k 3n 1 若a1 4 则k 2 已知数列 an 的前n项和Sn 1 n 1 n 则a5 a6 2 2 4 数列与函数对任意n N 点P n an 都在函数y 2x 1的图象上 则数列 an 的通项公式为 an 2n 1 12 已知数列 an 的通项公式为an n2 5n 14 n N 1 求a2 a3 a4 2 判断22是不是这个数列中的项 若是 是第几项 若不是 说明理由 3 求该数列中的最小项及相应的项数 4 当n取何值时 该数列前n项的和Sn取得最小值 题型1 数列的概念 13 1 a2 20 a3 20 a4 18 2 设22是该数列的第n项 由n2 5n 14 22 得n 9 另一根n 4 0 不合题意 舍去 故22是该数列的第9项 3 因为an n2 5n 14 n 2 所以 当n 2或3时 an的最小值为 20 14 an n2 5n 14 0an 1 n 1 2 5 n 1 14 0n N 解得n 6或7 即n取6或7时 Sn取得最小值 4 由 15 评注 本题考查数列的基本概念 数列是一种特殊的函数 数列的通项公式就是相应的解析式 但必须注意自变量应取正整数 一般的 判断某个数是不是数列中的项 是将此数代入该数列的通项公式 若求出的n是正整数 则此数是该数列中的项 否则不是 已知数列的通项公式 求前n项的和Sn取得最小 或最大 值时的n值的方法是 得到n的取值范围后 再取正整数 16 已知数列 an 的通项公式为 1 0 98是不是它的项 2 判断此数列的单调性 17 1 令 0 98 解得n 7 所以0 98是此数列的第7项 2 因为所以an 1 an 故此数列是递增数列 18 已知数列 an 的前n项和为Sn n2 4n 1 求数列 an 的通项公式 当n 1时 a1 S1 2 当n 2时 an Sn Sn 1 n2 4n 1 n 1 2 4 n 1 1 2n 5 由于a1 2不适合此式 an 2 n 1 2n 5 n 2 n N 题型2 给出数列 an 的前n项和Sn 求通项公式 所以 19 评注 已知数列 an 的前n项和Sn 求通项公式an的方法是 首先求出a1 再由an Sn Sn 1 n 2 求an 但这样求得的an是从第2项开始的 未必是数列的通项公式 所以必须验证a1是否适合 如果适合 则写成an Sn Sn 1 n N 否则 an a1 n 1 Sn Sn 1 n 2 n N 只能写成 的形式 20 已知函数f x x2 4x 4 设数列 an 的前n项和Sn f n 设各项均不为零的数列 bn 中 所有满足bi bi 1 0的整数i的个数称为这个数列 bn 的变号数 令bn 1 n N 求数列 bn 的变号数 21 由已知得Sn n2 4n 4 当n 1时 a1 S1 1 当n 2时 an Sn Sn 1 n2 4n 4 n 1 2 4 n 1 4 2n 5 由于a1 1不适合此式 an 1 n 1 2n 5 n 2 n N bn 3 n 1 1 n 2 n N 所以 从而 22 当n 3时 所以 当n 3时 数列 bn 递增 得n 5 可知b4 b5 0 即当n 3时 有且只有一个变号数 又b1 3 b2 5 b3 3 即b1 b2 0 b2 b3 0 所以此时的变号数为2 综上 得数列 bn 的变号数为3 23 题型3 数列与函数结合 已知数列 an 的通项公式an n 1 n n N 试问 an 有没有最大项 若有 求最大项的项数 若没有 说明理由 24 易知a1不是数列 an 的最大项 所以an若取最大值应满足an an 1an an 1而故由an an 1 得n 8 n 2 n N 25 评注 因为an是n的函数 且an是一个一次函数 n 1 与一个指数函数的积 不容易确定其增减性 故从比较an 1与an的大小入手 26 若数列 an 是递增数列 且an n2 n n N 求实数 的取值范围 因为数列 an 是递增数列 故对任意n N 都有an 1 an恒成立 因为an 1 an n 1 2 n 1 n2 n 2n 1 0恒成立 即 2n 1 对任意n N 恒成立 而 2n 1 的最大值是 3 故 3 所以 的取值范围是 3 27 数列的概念命题以选择 填空题居多 主要从四个方面考查 一是理解数列的定义及分类 能用函数的观点认识数列 二是会用通项公式写出数列的任意项 也要会根据给出数列的前几项归纳出数列的一个通项公式 三是会根据递推公式写出数列的前几项 并归纳出数列的通项公式 四是会由数列的前n项和公式求出数列的通项公式 值得注意的是 数列与函数 不等式结合的题目在近几年的高考试卷中频频出现 28 1 数列是一种特殊的函数 其定义域是正整数集 或它的一个非空真子集 1 2 3 n 数列中的项必须是数 2 数列的图象是一列孤立的点 3 数列的单调性其实是一个恒成立问题 往往可以用来求参数的取值范围 29 判断数列的单调性的方法有两种 一是定义法 主要判断an 1 an的符号 若an 1 an 0 则数列 an 是递增数列 若an 1 an 0 则数列 an 是递减数列 例如 若判断 an 的单调性 因为所以 an 是递增数列 30 二是利用函数的单调性 若函数y f x 在 0 上为增 减 函数 则数列an f n 在N 上为递增数列 例如 若判断数列 an 的单调性 因为在 0 上是减函数 所以 an 是递减数列 31 4 根据数列的前几项写出数列的通项公式 1 要观察 分析给出的数的特征 找出数列的一个构成规律 归纳 猜想 出通项公式 如果能记住诸如 n n2 2n 1 2n 1 n 等一些特殊的数列 对求通项公式是很有帮助的 再学会一些基本的变形就会如虎添翼了 例如 数列中 分母的规律是明显的 2n 第3个数出现了 号 第1个数也应该有 号 32 故有 1 n 从第2项开始 分子比分母小3 第1项若变为 1 也比分母小3 这样就找到了分子的规律 2n 3 所以 2 要注意的是并非所有的通项公式都存在 数列的通项公式也未必唯一 例如 数列1 0 1 0 1 0 的通项公式可以是也可以是 33 5 由递推关系求数列的通项公式 方法有二 1 求出数列的前几项 再猜想出数列的一个通项公式 但做解答题时要用数学归纳法证明所得公式的正确性 2 将已知递推关系式整理 变形 变成等差 等比数列的直接用公式求 后面再介绍 变成an 1 an f n 型的用累加法 变成an 1an f n 型的用累乘法 34 6 由数列的前n项和公式求数列的通项公式 方法有二 1 已知Sn f n 的用an Sn Sn 1求an 但要注意n 2这一条件 而a1 S1 例如 已知数列 an 的前n项和Sn n2 n 1 求数列 an 的通项公式 35 an Sn Sn 1 2 n 1 n 2 因为a1 S1 1不适合上式 an 1 n 1 2 n 1 n 2 n N 2 已知an与Sn的关系式 可用an Sn Sn 1转化为an或Sn的递推关系 再求an 所以 36 1 2009 北京卷 已知数列 an 满足 a4n 3 1 a4n 1 0 a2n an n N 则a2009 a2014 2 2008 安徽卷 在数列 an 中 an 4n a1 a2 an an2 bn n N 其中a b为常数 则ab 1 0 37 Sn a1 a2 an 4 1 2 3 n n 2n2 n an2 bn 所以a 2 b 则ab 1 答案 1 38