6.4数列的通项与求和.ppt

按Esc键退出 返回目录 6 4数列的通项与求和 按Esc键退出 返回目录 按Esc键退出 返回目录 按Esc键退出 返回目录 按Esc键退出 返回目录 数列求和的常用方法 1 公式法 1 直接用等差 等比数列的求和公式 2 掌握一些常见的数列的前n项和 1 2 3 n 1 3 5 2n 1 2 4 6 2n 12 22 32 n2 13 23 33 n3 知识梳理 按Esc键退出 返回目录 答案 2 n2 n n 1 按Esc键退出 返回目录 2 倒序相加法 如果一个数列 an 与首末两端等 距离 的两项的和相等或等于同一常数 那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法 如数列的前n项和公式即是用此法推导的 答案 等差 3 错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的 那么这个数列的前n项和即可用此法来求 如数列的前n项和公式就是用此法推导的 答案 等比 按Esc键退出 返回目录 把数列的通项拆成两项之差 在求和时中间的一些项可以相互抵消 从而求得其和 5 分组转化法 把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合 使其转化成等差数列或等比数列 然后由等差 等比数列求和公式求解 6 并项求和法 一个数列的前n项和中 可两两结合求解 则称之为并项求和 形如an 1 nf n 类型 可采用两项合并求解 例如Sn 1002 992 982 972 22 12 100 99 98 97 2 1 5050 4 裂项相消法 按Esc键退出 返回目录 基础自测 1 等于 A B C 1 D 3 答案 A 按Esc键退出 返回目录 2 已知数列 an 的通项公式是an 其前n项和Sn 则项数n等于 A 13B 10 C 9D 6 答案 D 按Esc键退出 返回目录 4 已知数列 an 的前n项和为Sn且an n 2n 则Sn 答案 n 1 2n 1 2 3 数列 1 n 2n 1 的前2012项和S2012 A 2012B 2012 C 2011D 2011 答案 B 按Esc键退出 返回目录 思维拓展 利用裂项相消法求和时应注意哪些问题 提示 1 在把通项裂开后 是否恰好等于相应的两项之差 2 在正负项抵消后 是否只剩下了第一项和最后一项 或有时前面剩下两项 后面也剩下两项 按Esc键退出 返回目录 按Esc键退出 返回目录 一 分组转化法求和 例1 已知函数f x 2x 3x 1 点 n an 在f x 的图象上 an 的前n项和为Sn 1 求使an 0的n的最大值 2 求Sn 按Esc键退出 返回目录 解 1 依题意an 2n 3n 1 an 0 即2n 3n 1 0 函数f x 2x 3x 1在 1 2 上为减函数 在 3 上为增函数 当n 3时 23 9 1 2 0 当n 4时 24 12 1 3 0 2n 3n 1 0中n的最大值为3 2 Sn a1 a2 an 2 22 2n 3 1 2 3 n n 3 n 2n 1 2 按Esc键退出 返回目录 方法提炼1 数列求和应从通项入手 若无通项 则先求通项 然后通过对通项变形 转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n项和的数列求和 2 常见类型及方法 1 an kn b 利用等差数列前n项和公式直接求解 2 an a qn 1 利用等比数列前n项和公式直接求解 3 an bn cn 数列 bn cn 是等比数列或等差数列 采用分组求和法求 an 的前n项和 请做 针对训练 2 按Esc键退出 返回目录 二 裂项相消法求和 例2 1 已知等差数列 an 的首项a1 0 前n项和为Sn 且S4 a2 2S3 等比数列 bn 满足b1 a2 b2 a4 1 求证 数列 bn 中的每一项都是数列 an 中的项 2 若a1 2 设cn 求数列 cn 的前n项和Tn 按Esc键退出 返回目录 1 证明 设等差数列 an 的公差为d 由S4 a2 2S3 得4a1 6d a1 d 6a1 6d a1 d 则an a1 n 1 d na1 b1 2a1 b2 4a1 等比数列 bn 的公比q 2 则bn 2a1 2n 1 2n a1 2n N bn 中的每一项都是 an 中的项 按Esc键退出 返回目录 2 解 当a1 2时 bn 2n 1 cn 2 则Tn c1 c2 cn 2 2 按Esc键退出 返回目录 例2 2 2011课标全国高考 理17 等比数列 an 的各项均为正数 且2a1 3a2 1 9a2a6 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn log3a1 log3a2 log3an 求数列 的前n项和 解 1 设数列 an 的公比为q 由 9a2a6得 9 所以q2 由条件可知q 0 故q 由2a1 3a2 1得2a1 3a1q 1 所以a1 故数列 an 的通项公式为an 按Esc键退出 返回目录 2 bn log3a1 log3a2 log3an 1 2 n 故 2 2 所以数列的前n项和为 按Esc键退出 返回目录 方法提炼1 利用裂项相消法求和时 应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项 也有可能前面剩两项 后面也剩两项 将通项裂项后 有时候需要调整前面的系数 使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等 2 一般情况如下 若 an 是等差数列 则 此外根式在分母上时可考虑利用分母有理化相消求和 按Esc键退出 返回目录 3 常见的拆项公式有 1 2 3 4 5 请做 针对训练 1 按Esc键退出 返回目录 三 错位相减法求和 例3 1 已知等差数列 an 和正项等比数列 bn a1 b1 1 a3 a5 a7 9 a7是b3和b7的等比中项 1 求数列 an bn 的通项公式 2 若cn 2an 求数列 cn 的前n项和Tn 3 求使Tn 52成立的n的最大值 按Esc键退出 返回目录 解 1 设等差数列 an 的公差为d 等比数列 bn 的公比为q 由题设知a3 a5 a7 9 3a5 9 a5 3 则d an a1 n 1 d a7 4 又 b3 b7 16 b3 b7 16 又b5 0 b5 4 q4 4 又q 0 q bn b1 qn 1 按Esc键退出 返回目录 2 cn 2an n 1 2n 1 Tn c1 c2 cn 2 3 2 4 22 n 1 2n 1 2Tn 2 2 3 22 n 2n 1 n 1 2n 得 Tn 2 21 22 2n 1 n 1 2n n 1 2n 1 n 2n Tn n 2n 3 由Tn 52 得n 2n 52 n 2n是递增数列 而当n 3时 3 23 24 52 当n 4时 4 24 4 16 64 52 n的最大值为3 按Esc键退出 返回目录 例3 2 已知数列 an 中 a1 3 点 an an 1 在直线y x 2上 1 求数列 an 的通项公式 2 若bn an 3n 求数列 bn 的前n项和Tn 解 1 点 an an 1 在直线y x 2上 an 1 an 2 即an 1 an 2 数列 an 是以3为首项 2为公差的等差数列 an 3 2 n 1 2n 1 按Esc键退出 返回目录 2 bn an 3n bn 2n 1 3n Tn 3 3 5 32 7 33 2n 1 3n 1 2n 1 3n 3Tn 3 32 5 33 2n 1 3n 2n 1 3n 1 得 2Tn 3 3 2 32 33 3n 2n 1 3n 1 9 2 2n 1 3n 1 2n 3n 1 Tn n 3n 1 按Esc键退出 返回目录 方法提炼1 用错位相减法求和时 应注意 1 要善于识别题目类型 特别是等比