《数量积和向量积》PPT课件.ppt

二 两向量的向量积 一 两向量的数量积 7 2数量积向量积 一 两向量的数量积 设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2 以s表示位移 数量积的物理背景 由物理学知道 力F所作的功为W F s cos 其中 为F与s的夹角 对于两个向量a和b 它们的模 a b 及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积 记作a b 即a b a b cos 数量积的定义 根据数量积 力F所作的功W就是力F与位移s的数量积 即W F s 一 两向量的数量积 数量积与投影由于 b cos b cos a b 当a 0时 b cos a b 是向量b在向量a的方向上的投影 于是a b a Prjab 同理 当b 0时 a b b Prjba 所以 对于两个向量a和b 它们的模 a b 及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积 记作a b 即a b a b cos 数量积的定义 一 两向量的数量积 数量积的性质 1 a a a 2 2 对于两个非零向量a b 如果a b 0 则a b 反之 如果a b 则a b 0 如果认为零向量与任何向量都垂直 则a b a b 0 对于两个向量a和b 它们的模 a b 及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积 记作a b 即a b a b cos 数量积的定义 一 两向量的数量积 数量积的运算律 1 交换律 a b b a 2 分配律 a b c a c b c 3 a b a b a b a b a b 其中 为数 对于两个向量a和b 它们的模 a b 及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积 记作a b 即a b a b cos 数量积的定义 一 两向量的数量积 例1试用向量证明三角形的余弦定理 要证c2 a2 b2 2abcosq 则有c a b 从而 c 2 c c a b a b a a b b 2a b a 2 b 2 2 a b cos a b 即c2 a2 b2 2abcosq 证明 在DABC中 BCA q CB a CA b AB c 提示 数量积的坐标表示 a axi ayj azk b bxi byj bzk a b axi ayj azk bxi byj bzk axbxi i axbyi j axbzi k aybxj i aybyj j aybzj k azbxk i azbyk j azbzk k axbx ayby azbz a b axbx ayby azbz 设a ax ay az b bx by bz 则 数量积的坐标表示 a b axbx ayby azbz 设a ax ay az a bx by bz 则 设 a b 则当a 0 b 0时 有 向量夹角余弦的坐标表示 提示 a b a b cos 例2已知三点M 1 1 1 A 2 2 1 和B 2 1 2 求 AMB 从M到A的向量记为a 从M到B的向量记为b 则 AMB就是向量a与b的夹角 因为a b 1 1 1 0 0 1 1 b 2 1 2 1 1 1 a 2 2 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 解 从而 所求液体的质量为P rAv n 体积为A v cosq Av n 这柱体的高为 v cosq 解单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A 斜高为 v 的斜柱体 例3在流速为 常向量 v的液体内有一个平面区域A n为垂直于A的单位向量 计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量P 液体的密度为r 二 两向量的向量积 设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出 c的模 c a b sin a b c的方向垂直于a与b所决定的平面 c的指向按右手规则从a转向b来确定 向量积的定义 右手规则 那么 向量c叫做向量a与b的向量积 记作a b 即c a b 向量积的定义 二 两向量的向量积 向量a与b的向量积c a b c a b sin a b c的方向垂直于a与b所决定的平面 c的指向按右手规则从a转向b来确定 向量积的性质 1 a a 0 2 对于两个非零向量a b 如果a b 0 则a b 反之 如果a b 则a b 0 如果认为零向量与任何向量都平行 则a b a b 0 在空间直角坐标系中i i j j k k i j j k k i 1 交换律 a b b a 2 分配律 a b c a c b c 3 a b a b a b 为数 向量积的运算律 讨论 提示 i i j j k k 0 i j k j k i k i j 向量积的坐标表示 设a axi ayj azk b bxi byj bzk 则 提示 a b aybz azby i azbx axbz j axby aybx k azbxk i azbyk j a b axi ayj azk bxi byj bzk axbyi j axbzi k aybxj i aybzj k aybz azby i azbx axbz j axby aybx k i i j j k k 0 i j k j k i k i j aybzi azbxj axbyk aybxk axbzj azbyi 利用三阶行列式符号 上式可写成 记忆方法 aybz azby i azbx axbz j axby aybx k 向量积的坐标表示 设a axi ayj azk b bxi byj bzk 则 a b aybz azby i azbx axbz j axby aybx k 例4设a 2i 3j k b i j 3k 计算a b 设a axi ayj azk b bxi byj bzk 则 aybz azby i azbx axbz j axby aybx k 解 解 例5已知 求 OAB的面积 根据向量积的几何意义 表示以和 为邻边的平行四边形的面积 于是 OAB的面积为 因为 所以三角形 OAB的面积为 提示 例6设刚体以等角速度 绕l轴旋转 计算刚体上一点M的线速度 刚体绕l轴旋转时 我们可以用在l轴上的一个向量w表示角速度 它的大小等于角速度的大小 它的方向由右手规则定出 即以右手握住l轴 当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时 大姆指的指向就是w的方向 解 设线速度为v 那么由物理学可知 v w a w r sin a r sin v垂直于w与r 且v的指向是使w r v符合右手