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第三节无穷小量与无穷大量 无穷小量无穷大量无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的运算性质无穷小量和一般极限的关系 一 无穷小量 例如 是x 时的无穷小 再例如 则称x 1是x 1时的无穷小 注意 无穷小不是一个很小的数 但0是无穷小 二 无穷大量 定义2 若 时 函数 则称函数 为 时的无穷大量 注意 1 无穷大量不是很大的数 它是描述函数的一种状态 2 无穷大量是极限不存在的一种情形 这里只是借用 例如 了极限记号而已 3 函数为无穷大 必定无界 但反之不真 例如 函数 当 但 不是无穷大 无界 在自变量的某个变化过程中 如果f x 为无穷 定理1 大 为无穷小 反之 若f x 为无穷小 且f x 0 是无穷大 例如 在x 0时 是无穷大 是无穷小 三 无穷小量与无穷大量的关系 据此定理 关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论 定理2在同一过程中 有限个无穷小的代数和仍是无穷小 四 无穷小量的运算性质 时 是无穷小 但 n个 之和为1 不是无穷小 注无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 例如 定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小 推论1在同一过程中 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小 推论2常数与无穷小的乘积是无穷小 例1求 解因为 由有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小得 例2 求 解 由有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小得 定理4limf x A f x A lim x 0 例如 五 无穷小量和一般极限的关系 知道就行 这个定理可以简单地表述为如果某函数可以表示为常数与无穷小量之和 则此函数以该常数为极限 反之亦然 定理证明从略 无穷小量的运算性质和这个定理是极限运算的基础 误差为 作业P441 2 答案写在书上
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