二次函数的顶点式.ppt

二次函数的顶点式 盛家坝中学刘祖芹 向下x 1 1 1 向下x 0 0 3 向上x 3 3 0 向上x 2 2 2 向下x 0 0 0 向下x 2 2 2 向上x 2 2 1 向上x 1 1 1 指出下列函数的开口方向 对称轴和顶点坐标 y ax2 y ax2 k y a x h 2 y a x h 2 k 上下平移 左右平移 上下平移 左右平移 上加下减 左加右减 各种形式的二次函数 a 0 的图象 平移 关系 知识回顾 讨论题2 观察所画的函数图像并进行比较 你认为函数的图像有哪些特点 一 由顶点式说性质 说出下列抛物线的开口方向 对称轴 增减性及最值 1 y 2 x 3 2 5 2 y 3 x 1 2 2 3 y 4 x 3 2 7 解 1 a 2 0开口向上 对称轴为x 3 当x 3时 y随x的增大而减小 当x 3时 y随x的增大而增大 当x 3时 y有最小值为5 1 说出函数的图象可以由y ax2如何平移得到 5 5 1 5 5 5 3 2 说出函数的图象如何平移可以得到y ax2的图像 二 顶点式与平移 3 说出函数的图象如何平移可以得到的图像 一般地 抛物线与形状 位置不同 把抛物线y ax2向上 下 向左 右 可以得到抛物线平移的方向 距离要根据 的值来决定 抛物线有如下特点 1 当a 0时 开口 当a 0时 开口 2 对称轴是直线 3 顶点坐标是 相同 平移 h k 向上 向下 x h h k 怎样把函数y 3x2 6x 5的转化成y a x h 2 k的形式 函数y ax bx c的图象 配方 提取二次项系数 配方 加上再减去一次项系数绝对值一半的平方 整理 前三项化为平方形式 后两项合并同类项 化简 去掉中括号 老师提示 配方后的表达式通常称为顶点式 探究 简单说成 一提 二配 三化简 函数y 3x2 6x 5的图象特征 2 根据配方式 顶点式 确定开口方向 对称轴 顶点坐标 a 3 0 开口向上 对称轴 直线x 1 顶点坐标 1 2 探究 例 求次函数y ax bx c的对称轴和顶点坐标 函数y ax bx c的顶点式 配方 提取二次项系数 配方 加上再减去一次项系数绝对值一半的平方 整理 前三项化为平方形式 后两项合并同类项 化简 去掉中括号 探究 三 把一般式化为顶点式 1 x2 6x x 22 y2 3y y 23 函数y x2 6x化为顶点式是 4 函数y 2x2 6x 9化为顶点式是 5 函数y ax2 bx c化为顶点式是 3 练一练 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标 解 对称轴顶点坐标 解 对称轴x 1顶点坐标 1 1 四 利用顶点式求二次函数解析式 1 已知抛物线y ax2 bx c与y 2x2的形状和开口方向相同 顶点为 则它的函数解析式为 2 已知抛物线y ax2 bx c与y 2x2的形状相同 顶点为 则它的函数解析式为 3 已知抛物线y ax2 bx c由y 2x2向左平移1个单位 再向上平移3个单位得到 则它的函数解析式为 4 已知抛物线y ax2 bx c由y 2x2 1绕顶点旋转1800得到 则它的函数解析式为 5 已知抛物线y ax2 bx c与y 2x2 1关于x轴对称 则它的函数解析式为 或 6 要修建一个圆形喷水池 在池中心竖直安装一根水管 在水管的顶端安一个喷水头 使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高 高度为3m 水柱落地处离池中心3m 水管应多长 解 如图建立直角坐标系 点 1 3 是图中这段抛物线的顶点 因此可设这段抛物线对应的函数是 y a x 1 2 3 0 x 3 由这段抛物线经过点 3 0 可得 0 a 3 1 2 3 解得 因此 当x 0时 y 2 25 也就是说 水管应长2 25m 1 y 3x2的图象向平移个单位 再向平移个单位 就得到函数y 3 x 2 2 5的图象 左 2 下 5 2 抛物线y 3 x 2 2 4的顶点在第象限 二 五 课内练习 3 将抛物线y 2 x 1 2 4绕着它的顶点旋转180 则旋转后的抛物线的解析式为 A y 2 x 1 2 4B y 2 x 1 2 4C y 2 x 1 2 4D y 2 x 1 2 4 C 提高 4 写出一个二次函数的解析式 要求满足下列条件 开口向下 顶点坐标为 2 3 5 已知一抛物线的顶点坐标为 1 2 且过点 1 2 求该抛物线的解析式 6 已知抛物线 1 将函数化为的形式 2 说出该函数图象可由抛物线如何平移得到 3 说出该函数的对称轴 顶点坐标 最值情况 5 解 设抛物线的解析式为 将 1 2 代入中 得 4a 2 2a 1则抛物线的解析式为 B 1 抛物线y 2x2 8x 11的顶点在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2 不论k取任何实数 抛物线y a x k 2 k a 0 的顶点都在A 直线y x上B 直线y x上C x轴上D y轴上3 若二次函数y ax2 4x a 1的最小值是2 则a的值是4B 1C 3D 4或 14 若二次函数y ax2 bx c的图象如下 与x轴的一个交点为 1 0 则下列各式中不成立的是 A b2 4ac 0B abc 0C a b c 0D a b c 0 1 C A x y o 1 B 5 若把抛物线y x2 bx c向左平移2个单位 再向上平移3个单位 得抛物线y x2 2x 1 则A b 2B b 6 c 6C b 8D b 8 c 186 若一次函数y ax b的图象经过第二 三 四象限 则二次函数y ax2 bx 3的大致图象是 B 3 3 3 3 C 7 在同一直角坐标系中 二次函数y ax2 bx c与一次函数y ax c的大致图象可能是 C 抛物线位置与系数a b c的关系 a决定抛物线的开口方向 a 0开口向上 a 0开口向下 a b决定抛物线对称轴的位置 对称轴是直线x a b同号对称轴在y轴左侧 b 0对称轴是y轴 a b异号对称轴在y轴右侧 2a b 左同右异 知识点一 c决定抛物线与y轴交点的位置 c 0 图象与y轴交点在x轴上 c 0 图象过原点 c 0 图象与y轴交点在x轴下方 顶点坐标是 5 二次函数有最大或最小值由a决定 当x 时 y有最大 最小 值y b 2a 4a 4ac b 2 b2 4ac 的符号 由抛物线与x轴的交点个数确定 与x轴有两个交点 b2 4ac 0 与x轴有一个交点 b2 4ac 0 与x轴无交点 b2 4ac 0 6 1 抛物线y ax2 bx c如图所示 试确定a b c 的符号 x y o a 0 b0 0 练习 2 抛物线y ax2 bx c如图所示 试确定a b c 的符号 x y o a 0 b 0 c 0 0 练习 3 抛物线y ax2 bx c如图所示 试确定a b c 的符号 x y o a0 0 练习 4 抛物线y ax2 bx c如图所示 试确定a b c 的符号 x y o a 0 b 0 c 0 0 练习 5 抛物线y ax2 bx c如图所示 试确定a b c 的符号 x y o a 0 b 0 c 0 0 练习 6 抛物线y ax2 bx c如图所示 试确定a b c 的符号 x y o a0 c 0 0 练习 7 已知 二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 则点M a 在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 x o y a0 c 0 D 练习 8 已知 一次函数y ax c与二次函数y ax2 bx c 它们在同一坐标系中的大致图象是图中的 A B C D C 练习 9 已知 二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 下列结论中 abc 0 b 2a a b c 0 a b c 0 a b c 0正确的个数是 A 2个B 3个C 4个D 5个 C 练习 知识点二 抛物线y ax2 bx c的符号问题 7 a b c的符号 由x 1时抛物线上的点的位置确定 点在x轴上方 点在x轴下方 点在x轴上 a b c 0 a b c 0 a b c 0 8 a b c的符号 由x 1时抛物线上的点的位置确定 点在x轴上方 点在x轴下方 点在x轴上 a b c 0 a b c 0 a b c 0 11 已知 二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 下列结论中下不正确的是 A abc 0B b2 4ac 0C 2a b 0D 4a 2b c 0 D 练习 试一试 已知 二次函数y 2x2 m 1 x m 1 1 求证 不论m为何值时 函数的图像与x轴总有交点 并指出m为何值时 只有一个交点 2 当m为何值时 函数图像过原点 并指出此时函数图像与x轴的另一个交点 3 若函数图像的顶点在第四象限 求m的取值范围 2 另一个交点坐标为 1 0 3 当m 1且m 3时 抛物线的顶点在第四象限 抛物线y ax2 bx c的符号问题 1 a的符号 由抛物线的开口方向确定 小结 4 若二次函数y ax2 bx c的图象如下 与x轴的一个交点为 1 0 则下列各式中不成立的是 A b2 4ac 0B 0 B 课堂练习 5