多面体与球的接切问题.ppt

简单多面体与球的接切问题 球的概念 1 球的概念 与定点的距离等于定长的点的集合 叫做 半圆以它的直径为旋转轴 旋转所成的曲面叫做球面 球面所围成的几何体叫做球体 球的旋转定义 球的集合定义 与定点的距离等于或小于定长的点的集合 叫做球体 球面 球的性质 性质2 球心和截面圆心的连线垂直于截面 性质1 用一个平面去截球 截面是圆面 用一个平面去截球面 截线是圆 大圆 截面过球心 半径等于球半径 小圆 截面不过球心 性质3 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系 A 正方体的内切球 外接球 棱切球 正方体与球 切点 各个面的中心 球心 正方体的中心 直径 相对两个面中心连线 球的直径等于正方体棱长 一 正方体的内切球 二 球与正方体的棱相切 球的直径等于正方体一个面上的对角线长 切点 各棱的中点 球心 正方体的中心 直径 对棱 中点连线 三 正方体的外接球 球直径等于正方体的 体 对角线 正方体的内切球 棱切球 外接球 三个球心合一 半径之比为 长方体与球 一 长方体的外接球 长方体的 体 对角线等于球直径 一般的长方体有内切球吗 没有 一个球在长方体内部 最多可以和该长方体的5个面相切 如果一个长方体有内切球 那么它一定是 正方体 例 例 如图 半球内有一内接正方体 正方体的一个面在半球底面圆内 则这个半球的面积与正方体表面积的比为 将半球补成整球 分析2 O A B 设球心为O 则O亦为底面正方形的中心 如图 连结OA OB 则得Rt OAB 设正方体棱长为a 易知 例 已知球O的表面上有P A B C四点 且PA PB PC两两互相垂直 若PA PB PC a 求这个球的表面积和体积 变式 将上面的条件改为 PA a PB b PC c 例 如图为某几何体的三视图 该几何体的内切球体积为 3 3 4 正四面体与球 1 棱长为a的正四面体的外接球的半径为 P A B C M O R R 正四面体的外接球可利用直角三角形勾股定理来求 D 2 棱长为a的正四面体的棱切球的半径 3 棱长为a的正四面体的内切球的半径 正四面体的内切球还可利用截面三角形来求 正四面体的内切球 棱切球 外接球 半径之比为 正四面体的四条高相交于同一点 这点叫做正四面体的中心 正四面体的外接球 内切球是同心球 球心即为正四面体的中心 正四面体常常补成正方体求外接球的半径 三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体 小结 常见的补形 球心在高PH上 即在锥体内部 球心在高PH的延长线上 即在锥体外部 球心与底面正 中心H重合 正三棱锥与球 正三棱锥的外接球的球心在它的高所在直线上 度量关系 设正三棱锥底面边长为b 侧棱长为a 高为h 外接圆半径为R 或在Rt AHO中 正三棱锥P ABC的侧棱长为1 底面边长为 它的四个顶点在同一个球面上 则球的体积为 A 解 设P在底面ABC上的射影为H 则H为正 ABC的中心 延长PH交球面于M 则PM为球的一直径 PAM 90 由Rt 中的射影定理得 法二 由AH PH知 球心O在正三棱锥的高PH的延长线上 在Rt AHO 有 题目 球与棱柱切接问题 正三棱柱的外接球 球心在上下底面中心连线的中点 AOB是等腰三角形 OA OB R 设球半径为R 球心到底面ABC的距离为d ABC的外接圆半径为r 设正三棱柱高AA1 h 底面边长为a 正三棱柱的内切球 如果一个正三棱柱有内切球 则球心为正三棱柱上下底面中心连线的中点 球直径等于正三棱柱的侧棱长 各面中心即为切点 共5个 底面正三角形中心到一边的距离即为球半径r 2009全国卷 理 直三棱柱的各顶点都在同一球面上 若 则此球的表面积等于 真题赏析 解 在中 可得由正弦定理 可得外接圆半径r 2 设此圆圆心为 球心为 在中 易得球半径 故此球的表面积为 2