《极限运算》PPT课件.ppt

第一章函数极限连续 第三节极限运算 一 无穷小量及其运算 二 极限的运算法则 三 两个重要极限 一 无穷小量及其运算 若函数a a x 在x的某种趋向下以零为极限 则称函数a a x 为x的这种趋向下的无穷小量 简称为无穷小 例如 函数a x x x0 当x x0时 a x 0 所以a x x x0是当x x0时的无穷小量 它是当x 时的无穷小量 是当x 时的无穷小量 定理1若函数y f x 在x x0 或x 时的极限为A 则f x A a x 简记y A a 定理2有限个无穷小 当x x0或x 时 的代数和仍然是无穷小量 反之若 则A为f x 的极限 定理3有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量 证设函数f x 有界 f x M 又a x 是无穷小量 即 a x e e为任意小的正数 则 a x f x a x f x eM 由于e是任意的小正数 因而eM也是可以任意小的正数 故a x f x 0 即存在一个正常数M 使 推论1有限个无穷小量 推论2常数与无穷小量之积为无穷小量 定理4 反之 若 则 设 若 则 自变量同一趋向下 之积为无穷小量 例1 为有界函数 证 二 极限的运算法则 定理5若函数y f x 与y g x 在x x0 或x 时都存在极限 则它们的和 差 积 商 当分母的极限不为零时 在x x0 或x 时也存在极限 且 1 由定理1有 f x A a x 和g x B b x 其中a x 和b x 均为无穷小量 于是 f x g x A B a x b x 其中A B为常数 a x b x 仍为无穷小量 故由无穷小量的定理 1 可推得 lim f x g x A B limf x limg x 证 2 因为 f x g x A a x B b x AB Ab x Ba x a x b x 而由定理3的推论1和推论2可知Ab x Ba x a x b x 均为无穷小量 所以由定理1可知 商的极限运算法则的证明从略 lim f x g x AB limf x limg x 推论1常数可以提到极限号前 limcf x climf x 推论2若limf x A 且m为正整数 lim f x m limf x m Am 特殊地 有 则 即 解运用定理5及其推论可得 例2 一般地 有 因此 即多项式函数在x0处的极限等于该函数在x0处的函数值 解由例1知道当x 1时所给函数的分子和分母的极限都存在 且分母极限 例3 所以 解由于 例4 即 因此 由无穷小量与无穷大量的关系可知 当x 1时 为无穷大量 解 例5 有时 所给函数在自变量的某个趋向下分子 分母的极限都为零 这时不能直接应用商的极限运算法则 例6若an 0 bm 0 m n为正整数 试证 有一类函数 当自变量趋于无穷大时 其分子 分母都趋于无穷大 这类极限称为型的极限 对于它们也不能直接应用商的运算法则 证当x 时 所给函数的分子分母都趋向于无穷大 若将原式变形为 解由于括号内两项的极限都是无穷大 因此人们常称为 型极限 不能直接应用定理5 一般的处理方法是先通分再运用前面介绍过的求极限的方法 例7 三 两个重要极限 1 第一个重要极限 g x f x h x 且limg x limh x A limf x A 定理6若对于x N 或 x M M 0 时 有 则 O x R A B C 证 AOB面积 扇形AOB面积 AOC面积 即 例 因为 所以再次运用定理6即可得 这个结果可以作为公式使用 解 例10计算 解令5x u 当x 0时u 0 因此有 例12 也可以按如下格式进行 解 例11 这个结果可以作为公式使用 例13 解 定理7设函数u x v x 在x0的某个邻域内 或 x M M 0时 满足u x v x 或u x v x x0可以除外 若x x0 或x 时它们的极限都存在 limu x limv x 特殊地 若在x0的某个领域内 或 x M M 0时 f x 0 或 0 limf x 0 或 0 则 则 2 第二个重要极限 定理8单调有界数列必有极限 证因为由 例 由此可知 un 1的前n项不小于un的相应项 而且un 1比un的展开式 所以un 1 un 因此 un 是单调递增数列 此外 由un的展开式可得 所以 un 是有界数列 综上所述 un 是单调有界数列 因此极限存在 我们还可以证明 都有极限 且 人们记这个极限为数e 于是有 数e是一个无理数 它的近似值可由 展开式中取前若干项计算 以e为底的指数函数y ex的反函数y logex 叫做自然对数 在工程技术中经常被运用 常简记为y lnx 它的前八位数是e 2 7182818 解因为 所以 有 例14 例15 解方法一令u x 因为x 0时u 0 所以 方法二