《格林公式的应用》PPT课件.ppt

一 格林公式 二 平面上曲线积分与路径无关的条件 三 二元函数的全微分求积 9 7格林公式及其应用 一 格林公式 单连通与复连通区域 区域的边界曲线的方向 当观察者沿区域D的边界曲线L行走时 如果左手在区域D内 则行走方向是L的正向 单连通区域 复连通区域 设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D 则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域 定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成 函数P x y 及Q x y 在D上具有一阶连续偏导数 则有 其中L是D的取正向的边界曲线 格林公式 应注意的问题 对复连通区域D 格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分 且边界的方向对区域D来说都是正向 提示 格林公式 用格林公式计算区域的面积 设区域D的边界曲线为L 则 在格林公式中 令P y Q x 则有 格林公式 用格林公式计算区域的面积 例1求椭圆x acosq y bsinq所围成图形的面积A 设区域D的边界曲线为L 则 解 设L是由椭圆曲线 则 提示 因此 由格林公式有 格林公式 用格林公式计算二重积分 为顶点的三角形闭区域 解 因此 由格林公式有 格林公式 用格林公式计算二重积分 为顶点的三角形闭区域 解 用格林公式求闭曲线积分 令P 2xy Q x2 则 证 因此 由格林公式有 格林公式 例3设L是任意一条分段光滑的闭曲线 证明 提示 解 不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向 当 0 0 D时 由格林公式得 记L所围成的闭区域为D 当x2 y2 0时 有 在D内取一圆周l x2 y2 r2 r 0 不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向 当 0 0 D时 解 记L所围成的闭区域为D 记L及l所围成的复连通区域为D1 应用格林公式得 其中l的方向取顺时针方向 于是 二 平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关 设G是一个开区域 P x y Q x y 在区域G内具有一阶连续偏导数 二 平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关 这是因为 设L1和L2是G内任意两条从点A到点B的曲线 则L1 L2 是G内一条任意的闭曲线 而且有 二 平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关 定理2 曲线积分与路径无关的判断方法 定理证明 应用定理2应注意的问题 1 区域G是单连通区域 2 函数P x y 及Q x y 在G内具有一阶连续偏导数 如果这两个条件之一不能满足 那么定理的结论不能保证成立 讨论 提示 解 这里P 2xy Q x2 选择从O 0 0 到A 1 0 再到B 1 1 的折线作为积分路线 物线y x2上从O 0 0 到B 1 1 的一段弧 三 二元函数的全微分求积 表达式P x y dx Q x y dy与函数的全微分有相同的结构 但它未必就是某个函数的全微分 那么在什么条件下表达式P x y dx Q x y dy是某个二元函数u x y 的全微分呢 当这样的二元函数存在时 怎样求出这个二元函数呢 二元函数u x y 的全微分为du x y ux x y dx uy x y dy 原函数 如果函数u x y 满足du x y P x y dx Q x y dy 则函数u x y 称为P x y dx Q x y dy的原函数 定理3 求原函数的公式 解 这里 因为P Q在右半平面内具有一阶连续偏导数 且有 是某个函数的全微分 取积分路线为从A 1 0 到B x 0 再到C x y 的折线 半平面内是某个函数的全微分 并求出一个这样的函数 则所求函数为 例7验证 在整个xOy面内 xy2dx x2ydy是某个函数的全微分 并求出一个这样的函数 这里P xy2 Q x2y 解 因为P Q在整个xOy面内具有