勾股定理应用二.doc

学情分析基础较好 ，对于知识不能灵活运用 课 题勾股定理专题二 学习目标与 考点分析学习目标：1、熟练运用勾股定理判定三角形为直角三角形 2、熟练在实际生活中活用勾股定理 3、利用勾股定理求解三角形的高考点分析：1、利用勾股定理进行三角形判定为直角三角形 2、勾股定理的实际运用学习重点重点：1、三角形勾股定理的实际运用 2、勾股定理在判断三角形是否为直角三角形学习方法讲练结合 练习巩固 学习内容与过程1、 本节内容导入AB1、如图，壁虎在一座底面半径为1米，高2米的油桶的下底边沿A处，发现油桶的另一侧中点处有一萤火虫，便决定捕捉它，如是边小心翼翼地向萤火虫爬去，若壁虎要在最短时间内获得一顿美餐，问壁虎应至少爬行多少路程才能捕到萤火虫？取3.14，结果保留一位小数，参考数据3.32=10.86）2、 知识点梳理知识点及例题知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2b2c2即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。 （2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。 （3）理解勾股定理的一些变式： c2=a2+b2, a2=c2-b2， b2=c2-a2 ，c2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。 图（1）中，所以。 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。 图（2）中，所以。方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）1和（3）2所示的两个形状相同的正方形。 在（3）1中，甲的面积=（大正方形面积）（4个直角三角形面积）, 在（3）2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）（4个直角三角形面积）, 所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。 ，所以。知识点三：勾股定理的作用1已知直角三角形的两条边长求第三边；2已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3用于证明平方关系的问题； 4利用勾股定理，作出长为的线段。2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。 熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：3、4、55、12、13；8、15、17；7、24、25；10、24、26；9、40、41如果(a,b,c)是勾股数，当t0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法1、在RtABC中，C=90(1)已知a=6， c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析：(1) 在ABC中，C=90，a=6，c=10,b=(2) 在ABC中，C=90，a=40，b=9,c=(3) 在ABC中，C=90，c=25，b=15,a=总结升华：有一些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决。如：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差或和。举一反三【变式】:如图B=ACD=90, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?【答案】ACD=90AD=13, CD=12AC2 =AD2CD2=132122=25AC=5又ABC=90且BC=3由勾股定理可得AB2=AC2BC2 =5232 =16AB= 4AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，. 求：BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长. 解析：作于D，则因，（的两个锐角互余）（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中，. 根据勾股定理，在中，. . 总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理. 举一反三【变式1】如图，已知：，于P. 求证：. 思路点拨: 图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样，实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系.解析：连结BM，根据勾股定理，在中，. 而在中，则根据勾股定理有. 又 （已知），. 在中，根据勾股定理有，. 【变式2】已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。解析：延长AD、BC交于E。A=60，B=90，E=30。AE=2AB=8，CE=2CD=4，BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=。 DE2= CE2-CD2=42-22=12，DE=。S四边形ABCD=SABE-SCDE=ABBE-CDDE=经典类型题类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得： （3x）2+（4x）2202 化简得x216； 直角三角形的面积3x4x6x296总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。举一反三【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。【答案】如图，等边ABC，作ADBC于D则：BDBC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）ABACBC2（等边三角形各边都相等）BD1在直角三角形ABD中，AB2AD2+BD2，即：AD2AB2BD2413ADSABCBCAD注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a。【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得：由（1）得：x+y7，（x+y）249，x2+2xy+y249 (3)(3)(2)，得：xy12直角三角形的面积是xy126（cm2）【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：（n+1）2+（n+2）2（n+3）2化简得：n24n2，但当n2时，n+110，n2总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c2a2+b2的变形：b2c2a2（ca）（c+a）来判断。例如：对于选择D，82（40+39）（4039），以8，39，40为边长不能组成直角三角形。同理可以判断其它选项。【答案】：A【变式5】四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。解：连结ACB=90，AB=3，BC=4AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）AC=5AC2+CD2=169，AD2=169AC2+CD2=AD2ACD=90（勾股定理逆定理）S四边形ABCD=SABC+SACD=ABBC+ACCD=36类型二：勾股定理的应用2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN30，点A处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。 解析：作ABMN，垂足为B。 在 RtABP中，ABP90，APB30， AP160， ABAP80。 （在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半） 点 A到直线MN的距离小于100m,这所中学会受到噪声的影响。 如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC100(m)，由勾股定理得： BC21002-8023600, BC60。 同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD100(m)，BD60(m),CD120(m)。 拖拉机行驶的速度为 : 18km/h5m/s t120m5m/s24s。 答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。 总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。 3、 典例精讲典例剖析：例1、如图。一艘轮船以16千米/时的时速离开港口O向东南方向NOEBA航行，另一艘轮船在同时同地向西南方向航行，已知它们离开港口1.5小时分别到达A、B两点，此时它们相距30千米，试求另一艘轮船的速度。ABDC例2、如图，A、B两个小镇在河岸CD的同侧，到河的距离分别是CD=10km，BD=30km，现在要在河边建一水厂，向A、B两个镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请同学们在河岸CD上选择水厂的位置M，使铺设的费用最低，并求出最低费用。CBA观测点例3、如图，一辆汽车在一条东西走向的城市公路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路边的车速检测仪的正前方30米处，过了2秒后，测得小汽车与车速检测仪的距离为50米，问这两小汽车是否超速（中华人民共和国交通管理条例规定，小汽车在城市公路上行驶的速度不得超过70km/时）？例4、如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是55cm、10cm、6cm，A、B两点是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃食物，请同学们想想，这只蚂蚁从A点出发沿台阶爬到B点的最短路程是多少？CAOBD例5、如图，在一张长48cm，宽10cm的长方形边上竖直放一平面镜，一束光线从纸片顶点A处射入，恰好由O点反射后经过B点，求光线在纸片上通过的距离。AEBCD例6、如图，铁路上A、B相距为25千米，C、D为两个村庄，DAAB于A点，CBAB于B点，已知DA=15，CB=10，现在要在铁路AB上建一个货运站E，使C、D两个村庄到E的距离相等，问E站应建在距A多远处？ 课内练习与训练1、 基础题 一、选择题1、把直角三角形的两直角边均扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的几倍？（ ）A、2 B、4 C、3 D、5 2、等腰ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，则腰长AB的长为（ ） A10 B.12 C.15 D.203、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱 形水杯中，如右图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（ ）A、h17cm B、h8cm C、15cmh16cm D、7cmh16cm二、填空题1、如果梯子底端离建筑物5m，那么13m长的梯子可达到建筑物的高度是_m。2、如图，一圆柱高，底面半径，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程是 cm （2题图） （3题图） （ 4题图）3、如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为 。4 一个零件的形状如图，按规定这个零件的与都要是直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4,AB=3,DC=12,BC=13,BD=5。这个零件符合要求吗？、5.如图，南北方向MN为我国领海线，即MN以西是我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方向有