机械工程控制基础课件-第二章.ppt

机械工程控制基础 学时 40教师 谭心 钟金豹 张文兴 邢静宜学院 机械工程学院 CyberneticsFoundationforMechanicalEngineering 第二章系统的数学模型 对建模的要求 准确 简化 传递函数状态空间表达式 基本概念 1 微分方程 2 传递函数 3 方框图 4 相似原理 模型 基础章节 一 系统数学模型基本概念 应用机械动力学 电子学等基础知识建立系统数学模型的基本方法 典型例子 二 传递函数的基本概念 其数学 物理意义 求取方法 输入输出信号与传递函数的关系 三 系统方框图 闭环控制系统及其传递函数 方框图的等效简化 工程中典型的机 电系数的传递函数 本章内容 2 1系统的微分方程 一 线性系统与非线性系统 1 线性特性 叠加原理 多个输入量同时作用产生的响应 可单个处理叠加 2 非线性 实际只是一定的工作范围内 保持线性关系 特点 不能叠加线性化 一定的范围内 二 线性系统微分方程的列写设线性定常系统的输入为 输出为 则描述系统输入 输出动态关系的微分方程为 例1 弹簧 质量 阻尼机械系统 输入外力 输出位移 试写出系统的微分方程 解 例2 m k振动系统 输入外力 输出 求其动力学方程 三 系统非线性微分方程的线性化 略 P31页四 列写系统微分方程的一般步骤 1 分析系统工作原理和系统中各变量间的关系 确定系统的输入量和输出量 2 从系统的输入端开始 依物理定律 依次列写系统各元件的动力力学方程 其中要考虑相邻元件间的负载效应 3 将各方程式中的中间变量消去 求出输入量 输出量间的微分方程4 在列写微分方程时 对非线性项进行线性化处理 2 2拉普拉斯 Laplace 变换 1 熟悉L变换的定义2 典型函数的拉氏变换3 拉氏变换的基本原理4 部分分式展开式及待定系数法5 查L表 1 方便求解 以时间表示的微分方程变为以S表示的代数方程2 对零初始条件下 引入传递函数和传递矩阵的概念 直接在复 频 域中研究系统的动态特性 以及对系统进行综合 校正 具实际意义 要求 若f t 为t的函数 且t 0时 f t 0 则f t 的拉氏变换定义为 象函数 一 拉氏变换的定义 原函数 1 单位阶跃函数 二 一些常用函数的拉氏变换 2 单位脉冲函数 3 单位斜坡函数 速度函数 4 指数函数 为正实数 5 正弦函数 为正实数 补 6 余弦函数 同理 7 抛物线函数 加速度函数 原函数f t 象函数F S 附 拉氏变换表 续 拉氏变换表 1 叠加性质 如 三 常用的拉氏变换性质 不作证明 2 微分定理 若这些初始值为0 则 如 3 积分定理 若这些初始值为0 则 4 位移定理 如图原函数f t 沿时间轴平移 为 如 5 初值定理 时间函数f t 的初值为只有f 0 存在时才能应用 用来确定系统的初值 而勿需知道原函数 如 求 或 6 终值定理 时间函数f t 的稳定值 终值 为 如 求 或 象原 为根 可为实 复数 1 分母B S 无重根 四 拉氏反变换 繁 简单方法 原函数典型象函数叠加f t 查L表 如 试求 的拉氏反变换解 为复数中的实数部分 常遇到如下形式的有理分式 使分母为0的S值 极点使分子为0的S值 零点 可通过部分分式展开法求1 只含不同单极点的情况 为极点处的留数 将X S 进行 得 Eg 试求的拉氏反变换 解 2 含共轭复数极点情况 令上式两边实 虚部相等 可求得可通过配方 化成正 余 弦象函数形式 如 试求 的拉氏反变换解 的两个根为 将X S 式两边同乘 并令及得 故 3 含多重极点的情况 根据 Eg 试求 的拉氏反变换 故 解 如 解方程 其中 五 用拉氏变换求常系数线性微分方程 解 微分定理 由上例可见 用L解微分方程的步骤 1 对微分方程进行L 2 做因变量的求出微分方程的时间解上例中 假设初始条件为0 如 系统最初是静止的 假定有一单位脉动使系统开始运动 求系统的运动规律 令 可见 在冲击力作用下 系统运动为 正弦振动 振幅是角频率为 则 求解微分方程一般步骤 1 考虑初始条件 对微分方程L 时域微分方程S域的代数方程 2 求解代数方程 得到在S域的解3 求S域的 微分方程的解 如 已知 为阶跃函数 幅值8N 求 此系统的输出响应 解 作业 2 求 的拉氏反变换 1 已知象函数 求原函数的初值和终值 2 3传递函数 数学模型 传递函数的定义 定义 当系统初始条件为0时 系统输出量与输入量的拉氏变换之比 当初始条件和为0时 对上式两边做拉氏变换 得传函 1 传函的概念只适用于线性定常系统 2 传函原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律 3 传函的形式只取决于系统或元件的结构和参数 与输入信号的形式无关 且不能具体表达系统或元件的物理结构 4 传递函数是复变量s的有理真分式函数 所有的系数均为实数 5 一定的传函有一定的零 极点分布图与之对应 传递函数的性质 零点和极点 传函可写成如下形式 零 极点增益模型 当时 均能使 故称为的零点 当时 均能使取极值 故称为的极点 K 系统的放大倍数 传函若有复数零 极点 则必为共轭复数 零点 极点和放大倍数决定系统的瞬态性能和稳态性能 求性能指标的主要途径 线性常微分方程 时间相应 求解 性能指标 观察 传递函数 频率特性 拉斯变换 s jw 傅里叶变换 拉斯反变换 估算 频率响应 稳 快 准 令 可求得系统在时域内的输出 量纲取决于系统的输入与输出 可有 可无 如 1 2 系统时域输出 无源网络实例 例1 已知一无源网络 如右图 试列出网络微分方程 解 据基尔霍夫定律 列出微分方程如下 求解得 机械转动系统实例 例2 由惯性负载和粘性摩擦阻尼器组成的机械转动系统 转动惯量J 粘性阻尼c 如右图所示 试列出外力矩M t 为输入 角位移 t 为输出的数学模型 列出微分方程如下 典型环节的传递函数 系统的微分函数和传函可能是高阶的 但不管阶次有多高 均可化为零阶 一阶 二阶等环节 分析 1 分子分母有零根 分母出现 2 分子分母有实数根 对应于zi wi pi i的分子与分母的因式可变为 其中 典型环节的传递函数 系统的微分函数和传函可能是高阶的 但不管阶次有多高 均可化为零阶 一阶 二阶等环节 所以 分析 3 分子分母有共轭复根 典型环节的传递函数 由于上式包含六种因子 所以任何控制系统都可看作是这6种因子表示的环节在某种情况下的串联组合 1 放大环节一阶微分环节2 二阶微分环节3 积分环节 4 惯性环节5 振荡环节6 延时环节 放大环节 比例环节 零阶环节 它的输出量以一定的比例复现输入量 而毫无失真和时间滞后 动力学方程 传递函数 例1 如图齿轮传动中 若忽略啮合间隙 则主动齿轮与从动齿轮的转速有 惯性环节 一阶环节 在这类环节中 总含有储能元件 以致对于突变形式的输入来说 输出不能立即复现 使它的输出量的变化落后于输入量 动力学方程 传递函数 惯性环节的性质取决于参数T T 时间常数 表示环节的惯性 例1 质量 弹簧 阻尼系统 m很小 忽略不计 惯性环节 一阶环节 例2 积分环节 输出量的变化速度等于输入量 即 输出量与输入量间呈积分关系 若输入为单位阶跃信号 对阶跃输入 在t T时 输出 输入 有滞后 积分环节 例1 齿轮齿条传动 D n t x t 传函 例2 电容器充电的电流i t 与电容电压uc t 的关系 传函 积分环节 例3 如图所示液压缸 输入为流量q 输出为活塞位移x 传函 振荡环节 二阶振荡环节 包含2种形式的储能元件 且储存能量可以转换 微分方程 令 振荡环节的所有特性取决于2个参数 称为特征方程 1 只有当阻尼比时 有共轭复根 振荡 2 若 有实根不产生振荡分解2个惯性环节 振荡环节 二阶振荡环节 令 例1 R L C电路 令 2 4传递函数方框图及其简化 方框图 不包含与系统物理结构有关的信息 不同的物理系统 可用同一方块图表示 输入 输出 比较点 分支点 方框图的运算法则 1 串联运算法则 每个串联环节的传函乘积 方框图的运算法则 2 并联运算法则 每个并联环节的传函代数和 方框图的运算法则 3 反馈运算法则 方框图的变换 原则 移动前后输出信号不变 1 分支点移动 前移 后移 方框图的变换 2 相加点移动 后移 前移 方框图的变换 方框图的变换 方框图的简化 方框图的简化 方框图的简化 方框图的简化 上例可直接写出 作业 试求出图示系统的传递函数 2 5反馈控制系统的传递函数 一般系统 微分方程 传函 L 复杂系统 已知方框图 传函 典型控制系统方框图 令 断开反馈信号线 一 系统的开环传函 2 5反馈控制系统的传递函数 二 被控信号对于控制信号的闭环传函 2 5反馈控制系统的传递函数 若 为单位反馈系统 三 被控信号对于干扰信号的闭环传函 2 5反馈控制系统的传递函数 令 闭环优点 干扰引起误差最小 若开环系统无法消除 全部形成误差 若 系统同时受到信号和信号的作用 2 5反馈控制系统的传递函数 应用叠加原理 可求出被控信号为 故 只要知道 即可求出总输出 四 偏差信号对于控制信号的闭环传函 2 5反馈控制系统的传递函数 令 五 偏差信号对于干扰信号的闭环传函 2 5反馈控制系统的传递函数 若控制信号对于干扰信号同时作用于系统 应用叠加原理 得偏差信号为 2 5反馈控制系统的传递函数 故 只要知道 即可求出总偏差 规则 所有闭环传函的公式中 分母均为 分子为输入输出所经过传函的乘积 例 试简化图示控制系统的方框图 并求 2 5反馈控制系统的传递函数 2 5反馈控制系统的传递函数 2 5反馈控制系统的传递函数 2 5反馈控制系统的传递函数 2 6相似原理 2 6相似原理 相似系统 相同的数学模型来描述的物理系统相似量 在微分方程或传函中占相同位置的物理量 机械 电气 液压系统中 1 阻尼电阻流阻 耗能元件2 质量电感流感3 弹簧电容流容体系中增加一个储能元件 其内部增加一层能量交换 微分方法就增高一阶 储能元件 看系统中有几个储能元件 就是几阶系统但要注意 每储能元件是否独立 如中间图 若将C去掉 K1 K2只起一个弹簧作用二阶 实际中的系统很复杂 往往不能仅凭表面上的储能元件的个数决定微分方程的阶数 2 6相似原理 对物理系统 根据物理原理 选定系统输入和输出微分方程传函 2 7物理系统传函的推导 切削深度 apo切削力 F变形 y刀架变形y反馈 实际切削深度1 以名义切深u0为输入 刀架变形位移y为输出 则实际切深 切削力公式 拉斯变换 切削力与切削深度之比 切削力与切削深度变化率之比 切削深度变化率 2