求导在解高考数学函数压轴题中的应用.doc

求导在解高考数学函数压轴题中的应用【理2010全国卷一第20题】已知函数.（）若，求的取值范围；（）证明：先看第一问，首先由可知函数的定义域为，易得则由可知，化简得，这时要观察一下这个不等式，显然每一项都有因子，而又大于零，所以两边同乘可得，所以有，再对求导有，即当时，0，在区间上为增函数；当时，；当时，0，在区间上为减函数。所以在时有最大值，即。又因为，所以。再看第二问。要证，只须证当时，；当时，即可。由上知，但用去分析的单调性受阻。我们可以尝试再对求导，可得，显然当时，；当时，即在区间上为减函数，所以有当时， ，我们通过二次求导分析的单调性，得出当时，则在区间上为增函数，即，此时，则有成立。下面我们再接着分析当时的情况，同理，当时，即在区间上为增函数，则，此时，为增函数，所以，易得也成立。综上，得证。下面提供一个其他解法供参考比较。解：（），则题设等价于。令，则。当时，；当时，是的最大值点，所以 。综上，的取值范围是。（）由（）知，即。当时， 因为0，所以此时。当时，。所以【理2010全国卷三第21题】设函数。（）若，求的单调区间；（）若当时，。求的取值范围。第一问没有任何难度，通过求导数来分析的单调即可。当，令，得；当时，；当时，。所以在区间上为减函数，在区间上为增函数。第二问，其实第一问算是个提示，即当时，在区间上为增函数，故，显然满足题意。下面我们分别分析和两种情况。当时，在区间上显然，综上可得在区间上成立。故满足题意。当时，显然，当在区间上大于零时，为增函数，满足题意。而当在区间上为增函数时，也就是说，要求在区间上大于等于零，又因为在区间上为增函数，所以要求，即，解得。综上所述，的取值范围为。【理2010安徽卷第17题】（本小题满分12分）设为实数，函数。（）求的单调区间与极值；（）求证：当且时，。第一问很常规，我们直接看第二问。首先要构造一个新函数，如果这一着就想不到，那没辙了。然后求导，结果见下表。 ，继续对求导得 减极小值增由上表可知，而，由知，所以，即在区间上为增函数。于是有，而，故，即当且时，。【理吉林省实验中学2012高考模拟第21题】（本小题满分12分）已知函数（）求函数的单调区间；（）若，求在区间上的最大值；（III）设函数，（），试讨论函数与图象交点的个数解（），其定义域为1分（2分），当时，；当时，故函数的单调递增区间是；单调递减区间是（4分）（）由（）知，函数的单调递增区间是；单调递减区间是当时，在区间上单调递增，的最大值；当时，在区间上单调递增，在上单调递减，则在处取得极大值，也即该函数在上的最大值，此时的最大值；在区间上的最大值（8分）（）讨论函数与图象交点的个数，即讨论方程在上根的个数该方程为，即只需讨论方程在上根的个数， （9分）令，因，令，得，当时,；当时, ，当时,； 当时,， 但此时，且以轴为渐近线 如图构造的图象，并作出函数的图象当即时，方程无根，没有公共点；当即时，方程只有一个根，有一个公共点；当即时，方程有两个根，有两个公共点（12分）【理2012东北三校高考第一次模拟考试第21题】（本小题满分12分） 已知函数。（1）设a=1，讨论的单调性；（2）若对任意，求实数a的取值范围。解：（），定义域为 2分设，则因为，所以在上是减函数，又，于是，；，所以的增区间为，减区间为 6分（）由已知，因为，所以（1）当时，不合题意 8分（2）当时，由，可得设，则，设，方程的判别式若，在上是增函数，又，所以， 10分若，所以存在，使得，对任意，在上是减函数，又，所以，不合题意综上，实数的取值范围是 12分【理2010山东第22题】 (本小题满分14分)已知函数.()当时，讨论的单调性；（）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.（）当时，在（0，1