美国大学生数学建模比赛2011年A题.pdf

一个关于滑雪板半管状设计的数学模型 9253 队 2 月 14 日 目录 1 简介 3 1 1 背景 3 1 2 问题重述 4 2 符号和假设 5 2 1 基本条件和变量 5 2 2 模型假设 6 3 模型 7 3 1 滑动的路线 7 3 2 模型方程和示范 7 4 讨论模型的结果 11 4 1 约束条件 11 4 2 垂直的空气 12 4 3 转折 最大旋转角度 16 4 4 应用程序在实践中 17 5 模型评估 17 引用 19 1 简介简介 1 1 背景背景 就算之前从没留意过滑雪板运动 人们也会被肖恩 怀特极致的自旋翻转和技 巧表演所震惊时对这项运动一见钟情 作为最有天赋的滑雪板运动员之一和冬奥 会冠军 肖恩 怀特在滑雪板运动领域是一个传奇并不是单纯名义上的 除了优 越的天赋 完美的技术和大量的练习 还有其他元素使得肖恩 怀特跻身顶尖运 动员之列 这是一个混合的因素 最终 怀特的飙升表演都回到了原始的力量 路易斯 布卢姆菲尔德 1 从物理学的角度看 主要规律和因素可以概括如下 牛顿运动定律 2 当滑雪板运动员在半管状滑道上滑行时 这些是他们所中 意的最基本的原则 重力 重力作用于质心的滑雪板有助于滑下斜坡以及把他们从边缘起飞后拖回 到地面 摩擦 这有两个基本类型的阻力 动摩擦和空气阻力作用于滑雪板运动员的运 动 滑雪者可以给滑雪板打蜡来减少摩擦力 而在其他条件下 摩擦可以用来帮 助滑雪板运动员减速 能量 能量守恒容许运动员在不同情形下调整斜坡的高度来存储潜在的重力势 能 详细分析 我们发现 当忽略运动员的本身和滑雪板的质量不计时 这些因素都可 以被半管的形状设计所影响 当我们开始搜索信息和数据 我们发现 最初的半管 只是半切管 自 1980 年代 半管与平地之间由四分之一管来填充的 3 然后 出现许多钢管的设计如迷你管 绿色的半管和超级管 今天所用于滑雪板运动的半管通 常是用国际滑雪运动联合会推荐的形状所制造的 4 虽然人们普遍认为半管的性质主要取决于四个特质 过渡半径和草木的高度 平 底的宽度和管道的坡度角 我们可以很难找到组织良好的物理和数学分析或不同 形状设计的半管的比较 1 2 问题重述问题重述 首次观察到在现在使用的最流行的钢管 我们推测这些半管的设计之间存在一些 联系 垂直气流 指的是离半管边缘的最大垂直距离 而最大可的翻转可以通过熟 练滑雪运动在空中实现 实际上 理论论证相当简单 正如大家所见 显而易见的事实是一个运动员跳的 越高 他将有更多的时间在空中完成他的动作 因此 一旦我们把运动过程从滑 雪运动员从嵌入式起跳的那一刻他 她飞出时算起作为一个整体算起 飞出速度 垂直气流是至关重要的影响一个运动员是否可以实现动作 根据是人在初始状态 所具有的机械能和滑动时热能的损失 依据是能量守恒定律 我们的目标是通过讨论和解释在一定约束条件下我们模型所提供的最终结果 来优化半管的形状 我们将用以下部分的物理和数学理论来开始我们的数学分析 和制定模型关于滑动过程的 图 1 半管的横截面 2 符号和假设符号和假设 2 12 1 基本条件和变量基本条件和变量 首先 我们想解释一些基本的术语广泛用于描述在我们半管的形状 图 1 下面的部分定义了广泛使用的重要变量 本文虽然一些额外的参数只局限于特 定的部分 以后可以定义 半管的倾斜角 X 轴方向和 0 V方向的夹角 滑动时法线方向和 y 轴的夹角 l 半管的长度 h 草木的高度 R 管的直径 H 从地面到管道顶部的高度 0 V 滑雪板运动员的进入速度 2 V 0 V到 Y Z 平面的分速度 B V B 点的瞬时速度 C V C 点的瞬时速度 D V 起跳速度 f 摩擦力 r f Y Z 平面摩擦力的分量 N作用在滑雪运动中的法向力 摩擦系数 f W 滑行时摩擦力所做的功 max v 滑动的过程中最大速度 G 作用于运动员的重力加速度 max G一个良好的平衡状态下运动员能承受的最大重力加速度 2 22 2 模型假设模型假设 当我们注意的不再是运动员 而是集中精力于半管的特点分析 我们把滑雪板在 一个给定的技术水平来简化我们的模型 下面的列表包含了具体信息和技术水平 层次上的陈述 滑雪运动员 板的重量是均匀分布的 与此同时滑雪板和运动员在滑行中总是在 模拟粘合在一起 如果忽略了扭曲和重心位置变化 齿轮 我们可以假定这两个作为一个质点 伴 随着环 只要入口坡道是精心设计的滑雪板玩家进入一个 u 型管与给定速度 0 V 除此之外 据我们分析 我们也做了几个半管简化模型的关键假设 有雪牢固的半管覆盖的管道的表面是平面 一般来说 滑雪从高处相对于管道相同的地方开始 在这点上 所有的能量 都是重力势能 环境条件的影响 如地理位置 与气候 不能让半管的外形设计的影响超出我 们考虑 我们假定半管在真空空间中 忽略空气阻力 我们将仅调查半圆形凹半管在我们的模型中情况 如果时间允许 在我们 的论文的部分将讨论在特制的坡道半管的情况 3 模型 3 1 滑动路线 基于以上的 U 型过程中如何滑动 由在哈尔滨学院体育系 5 班的田晓建 和陈伟光分析影响起飞的高度 我们假设滑雪板进入槽的速度为 v0 并给定路 线 图 2 这是广泛地滑动 该管中的第一个起飞发生之前 认为导致的能量 损失最小 此外 考虑到损耗的能量 并在劣化活力接下来的时间 空气高度和 扭转之后 我们演示的过程中一般每减少玩家飞行的时候 当从滑雪者首先进 入半管沟的那一刻时 他正在起飞的嘴唇开始 3 2 模型方程与示范 由图 图 2 所示 我们建立一个基于 XYZ 路径的坐标系 通过定义的半 管作为 YZ 平面的横截面 并且起点为该系统的 O 点 为了简化我们的分析 我 们还定义 2 暗淡的 X Y 坐标系统的对应的 XYZ 坐标系统 该系统的原点为 A 点 假设该方向速度为 v0 在条件满足下 它总是保持与 X 轴相同的角度 这 样 如果该凹面展开成一个平面我们会得到一个直线路径 图 2 移动路径 这将在本文的假设部分限定 可以分为三个部分 在该凹斜面的 向下滑动路径 AB 直线移动路径 BC 在平面轨道和向上滑动路线光盘 这使得在 每个部分的观察相对独立 在我们对曲线路径 AB 和 CD 的运动调查中 滑雪板可以分为两个更容易制定 的运动 直线移动沿 X 轴和圆周运动与 R 中的 YZ 平面半径 由经典力学提供的 方法 因此 我们可以这样写 X X Y X tan Y R 由徐世俊和晓玲制定的数字解决方案 6 是刺激并已被广泛用于分析上的圆 形轨道的摩擦 然而 由于他们所提出的解决方案是一个 2 维的 它需要放大以 适应我们的数据 首先 我们分解 v0 滑雪板的速度 相对于所述 X 轴和 Y Z 平面 然后进行 分解 以摩擦引起的滑雪板的上下滑动的力 并注意到在 Y Z 平面的划分摩擦力 为 fr 关于在 XY 截面 图 3 的滑雪板我们可以得到整个作用力 根据能量守 恒定律 我们可以描述的物理过程中切向方程和独立法线方向与初始条件 V0 2 2cosr dv ffm dt 1 2 2 v Nfm r 2 其中 fr 用 f 定义sin r fN 和 f2 是重心在 Y Z 平面的投射力 它可以由 f2 给出 2 cosfmg 此外 我们可以得到 2 22 cos2 dvdNd fmv dtdtdt 这是在制造偏导相对于变量 t 的结果该方程的两边 2 把 2 vrddt 和方程 1 代入前式 我们有 22 cos2 cossin dNdd ffN dtdtdt 可改写为 2 2sin3cosdNNf 3 正如我们所看到的 它是一个一阶线性非齐次微分方程 使用任意常数变异的方 法 我们可以得到 22 3cos exp 2cossinsin exp 2sin 14 sin mq Nc 4 另外 滑雪板和平板之间的滑动摩擦记为fN 则有 22 3cos exp 2 cos sinsin exp 2sin 14 sin mq fc 5 取初始条件是滑动速度 v0 滑雪者在 A 点 让0 2 0sin v Nm R 我们可以得到 2 0 1 22 sin 3cos 2sin 14 sin v mg cmm R 6 因此 摩擦对路径 AB 的作用 11 22 3cos exp 2 cos sinsin exp 2sin 14 sin mq fc 7 由于能源的守恒 22 0 11 sinsincos 22 f mvmg xmgRwmv 8 其中 wf 是由摩擦产生的 用公式 1 8 我们可以在计算出的滑雪板的速度 我们想知道的曲线 路径AB 当然也包括对每一个点玩家B点的速度 注意它为Vb 那么我们就可以讨论路径BC 在此过程中 该滑雪板是使直线 运动并作用于滑雪板的力的权重W 该法向力N和摩擦力f2 由于滑雪板的议案 此外 W的方向垂直于平面和f2是相反的运动方而N是指向X轴 很显然 我们可 以写 2 sinfmg 9 根据能量守恒定律 我们可以得到 22 11 sin 22 cf mvmg xwmv 10 这给我们的即时速度vc在C点当涉及到路由光盘 类似的分析可以用来作为半管 的对称性质量 让 2 sin cos c v Nmmg R 与方程结合 4 我们得到 2 2 2 2 sin 3 exp sin cos 1 4 sin v mg cmgm R 11 应用等式 5 我们有 32 22 3cos exp 2 cos sinsin exp 2sin 14 sin mg fc 12 fv被表示为速度V的标号溶液函数 然而 当考虑到实际中 我们只计算瞬时速度 上所需要的的点AD曲线由MATLAB程序画出 v vfy 13 4 4 模型结果的讨论模型结果的讨论 4 1 4 1 约束条件约束条件 这确定了半管形状的特点是倾斜角度 该VERT的长度 过渡半径 平面的宽 度 等等 鉴于该滑雪板在一个固定的方向上滑出凹面的 边缘正上方的最大垂直距离仅涉 及起飞速度 以提出滑雪板的功能为代价 过程中管道的VERT墙不会有助于增加滑动的能 量 相反 VERT部分甚至可以降低速度滑出凹斜坡 因此 为了获得垂直的速度 我们设置的VERT壁的高度H为模型中的零 然后 我们考虑倾斜角度 正如我们在引言部分提到的 FIS 为玩家提供了 一系列建议 角度没有详细的解释 现在 我们将提供一个公式来估算坡度 sincoscosmgmg 我们从一个独特的情况 得到这个公式的滑雪板以一个恒定的速度在平底与 路径角度滑动 只要 和 给出 我们可以计算出倾斜角度 让 0 1 70 我们可以得到的结果16 3 虽然其他给定参数 我们可 以很容易地得到有关单位的宽度一些结论 当70 骑车人正在减速时在平坦的底部的区域 和ve增加而D下山 只有具备这些简单的情况下 我们显然不能得到 D 的值或其他参数 然而 这样的分析 我们至少可以给约束条件下所提供 假设车手是在同一技术级 约束 1 滑动速度 v 的最大 max 是有限的事业滑雪会以一定的速度失去控制 约束 2 最大重力加速度 G 作用在滑雪时对球员的限制 只能保持平衡 和移动自己的身体放心下了一定的调压计的 约束 3 通过管道的平坦区域中提供的反应时间应足以满足单板滑雪者调整 其滑动 4 2 立式气压 为了说明使用上述模型 我们首先做一个样本计算 m kg G m s 2 V0 d R 60 9 8 16 3 70 8 8 3 0 1 例如 让我们说 在一个给定的时刻 0v 8m s g 9 8m 2 s 16 3 70 d 8m 0 1 m 60kg 过渡半径 R 3m 一般在运动的全过程中 单板滑 雪的速度趋势如图所示被提出了 图 4 是单板滑雪的速度的一般趋势 是角 使骑手以恒定的速度滑动 我们在前一部分的计算中 如图显示 滑 雪的滑动速度曲线与我们以前做的分析很好的吻合 因此 我们可以确认我们的 模型具有良好的仿真结果 图 5 是起飞速度 v 随 r 变化的变化曲线 然后 保持其它参数保持不变 让半径 R 以每隔 0 2 米的间隔从 2 5 变化到 5 5 我们取 得了一系列成果 利用这些结果 我们制造了如何利用图 5 所示的速度起飞 找出随着 R 变化的最大速度 起飞速度随 R 的变化如图所示 趋势是相反的 因此 为了到达垂直的 空气 过渡半径的设计应以最小的 从这个角度来看 我们得出的结论是 一个最好的形状 半管 可以最大限度的发挥 垂直的空气 是没有生产管转换 显然 这一结论是荒谬的 和不符合实际的现状 图 6 最大速度的改变线随着 R 而变化 然而 我们在前一节讨论中 考虑了三个约束时 那么定义 G 由下面的公式和取代的 13 成如下所示 我们得到 G 在整个路线的过程中的变化趋势 再次 可以使用相同的参数和令 R 的值以 0 2 微米的间隔从 2 5 到 5 5 米 我们模拟了 最大的改变线 重力加速度雪板以当 R 如图 8 所示变化处理 图 7 G 在整条路线的过程中的变化趋势 图 8 最大重力加速度变化的线路 目前为止 仍然没有讨论的平坦区域的宽度 因此 我们需要进一步观察平板滑动过程 然后我们发现 根据我们的模型 该平面滑动部分实际上使骑车人的滑动速度变小 此外 对于原因 平坦的地面最初是给运动员时间来恢复着陆后的平衡 和更多的时间来为下一个 比赛做准备 我们可以断言 平底的宽度应不能设计较长 只要其提供了足够的时间供运动 员调整就行 4 34 3 旋转的最大角度旋转的最大角度 第二个问题 我们的目标就是要设计的形状最大的弯曲 使它最优化 我们 已经了解到 滑雪板做各种旋转和跳跃的时候 为了简化我们的分析 我们分类 所有旋转和跳 做成 2 种提案 直架子和旋转 旋转也称为曲折 包括垂直旋转 水平旋转和组合旋转 因此 我们可以重新定义这个问题作为设计的形状可以帮 助滑雪实现在垂直和水平方向旋转的最大角度 首先 让我们来回顾一下在我们的模型中所做的假设 这里我们假设 垂直 空气 由技术熟练的滑雪板制造 是关系到速度的第一个问题 此外 我们认为 滑雪 和电路板作为一个质量点 将垂直墙高为零 但在这个部分 我们将采取 垂直壁考虑 该垂直壁可以帮助推出滑雪 使到高空中去 不仅通过影响速度 从 XY 平面 为 XZ 平面 使用类似的分析方法 在前一部分中 我们可以得出一个结论 关键 因素决定的最大转折是 如果运动员要求在空中扭动身体的程度达到最大 我们 应该尽量保证他们在一个稳定的的速度 因此 我们需要给运动员一些额外的时间来进行这些操作 除了对于给定的 时间尽可能地飞行 我们想出改善的方法 这种现象建设一个垂直过渡后 在运 动员可以做准备动作 此外 如 图 8 所示 Gmax 也是一个重要因素 在 MATLAB 的帮助下 我们知道 在一个圆周运动中 运动员将受到很多用来 提供支持力量的向心力 而一旦运动员垂直进入后 只有引力 那么他们将恨轻 松 仿佛他们突然删除了沉重的负担 它是用来调整运动员的最佳时机 这也是 为什么我们增加了垂直的原因 生物学研究结果表明 大多数人的反应时间应该是 0 2 秒以上 训练有素的 运动员不应该是小于 0 1 秒 而且我们也知道 一个好的滑雪板的输出速度不大 于 15 米 秒 这样我们就得到了垂直壁的高度范围是从 15 30 厘米 在这个范 围之下 我们不能保证运动员可以自己调整到最佳状态 而超过这个范围 它们 的能量就会失去 这也可以对得分有不良影响 4 44 4 在实践中的应用在实践中的应用 根据我们的了解 在实际应用中 除了在我们的模型中所讨论的参数和限制 以 下因素也应考虑到 1 建设水平 半管建筑设计的形状必须符合实际施工条件 尽管许多研究表明 半椭圆优于半圆 但在半圆仍具有较好的知名度下 施工条件是主要限制因 素之一 2 用户 不同的用户可能有不同要求的半管 例如 微型管是指管道无垂直壁 大多适用于初学者练习技巧 而晚饭管道更适合熟练的滑雪者 以实现更复 杂的空中姿势 安全也是一个重要的考虑因素 特别是对于初学者来说 3 费用 预算永远是建设的主要考虑因素之一 4 因地制宜 实用 当然设计也应该是如此 通过把环境条件考虑在内 5 5 评估模型评估模型 为了评估我们的模型 我们想建议使 worldphysics 作为比较研究 在他们的研究中