第八章 梁的应力.doc

第八章 梁的应力一般情况下，梁内同时存在剪力和弯矩两种内力，这两种内力分别代表梁横截面上分布应力的合力。显然，只有横截面上切向分布的应力才能组成剪力；只有横截面上法向分布的应力才能组成弯矩，所以梁的横截面上将产生连续分布的正应力和剪应力。本章将介绍梁横截面上应力的分布规律，以及应力与内力之间定量关系，由此来建立梁的强度条件。 8-1 平面弯曲的概念及实例梁的弯曲变形是工程中常见的一种基本变形形式，如图8-1（a）所示桥梁的主梁，如图8-1（b）所示支承闸门启闭机的纵梁，如图8-1（c）所示挡土墙，都是以弯曲变形为主的构件。工程中常见的梁，其横截面一般都具有对称轴，如图8-2（a）所示。对称轴与梁轴线组成的平面称为纵向对称面，如图8-2（b）所示。如果所有外力都作用在该对称平面内时，且各力都与梁的轴线垂直，梁的轴线将在外力作用的同一纵向对称平面之内弯成一条平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲，本章所研究的弯曲问题都属于这种平面弯曲。 8-2 常用截面的几何量构件在外力作用下产生的应力和变形，都与构件截面的形状和尺寸有关，在研究梁横截面上应力之前，我们先来解决与其相关的几个几何量。一、形心匀质物体的形心位置与重心是重合的。较薄的匀质薄板，可以用平面图形来表示,其重力作用点称为形心，如圆形的形心在圆心，矩形的形心在对角线交点上。计算形心位置时，必须先建立参考坐标系，设有一平面图形如图8-3示，类似力矩计算，根据合力矩定理，有： 图8-3某些简单图形的形心可从工程手册中查到，几种常见简单形体的形心位置可查表8-1。由一些简单图形组合起来的组合图形，可以把组合图形分解成简单图形，按（8-1）式计算；有些组合图形可以看作是从某个简单图形中挖去另一简单图形的组合，这时用（8-1）式求组合图形形心坐标时，挖去图形的面积用负值代入。 二、 面积矩（静矩）设任意截面图形如图8-5所示，截面面积为，在坐标为、处取一微面积，则定义乘积和分别为微面积对轴和轴的面积矩(也称静矩)。而整个截面对轴和轴的面积矩记为和。若截面的形心坐标为，（为截面形心）， 则 式（8-2） 面积矩是对一定的轴而言的，它不仅与截面面积有关，还与截面在坐标系中的位置有关。面积矩的值可正，可负，也可为零，当坐标轴通过截面形心时，其形心坐标为零，则面积矩必为零，面积矩的单位为或。对由几个简单图形组成的组合截面而言，其面积矩等于各简单图形对该轴的面积矩的代表之和，即 式(8-3)三、截面的惯性矩、平行移轴公式（一）惯性矩 图8-7中任一微面积到两坐标轴的距离分别为和，乘积和分别定义为微面积对轴和轴的轴惯性矩，简称惯性矩。整个截面对轴和轴的惯性矩分别记为和，则 图8-7不同坐标轴的惯性矩是不相同的，惯性矩恒为正值，常用的单位为或。【例8-3】图8-8所示矩形截面的高为，宽为，试计算矩形截面对通过形心的轴（称形心轴）、的惯性矩和。【解】：先计算截面对轴的惯性矩。取平行于轴的狭长矩形作为面积，则对几种常见的简单图形的惯性矩可查表8-1，并要求熟记矩形截面、圆形截面及圆环截面的惯性矩。（二）平行移轴公式及其应用同一截面对于不同坐标轴的惯性矩是不同的，但同一截面对于两根平行轴的惯性矩之间存在着一定关系。图8-9为一任意形状的截面，面积为，、为通过该截面形心的一对坐标轴，为分别与、轴平形的另一对轴，平行轴间的距离分别为和 ，截面对、轴的惯性矩、已 知，截面对和轴的惯性矩记为、,则： 式 (8-5)利用平行移轴公式可以很方便地计算组合截面的惯性矩。由定义可知，组合截面对某轴的惯性矩，等于其各组成部分的简单图形对该轴惯性矩之和，即： 式(8-6)表8-1 几种常见图形的面积，形心和惯性矩【例8-4】试计算图8-10所示截面对形心轴、的惯性矩。【解】：（1）确定形截面的形心坐标，轴为对称轴，所以形心必在轴上。以图形顶边为基准，按形心坐标公式，则（2）计算、形心轴、如图所示。根据平行移轴公式： 8-3 梁的正应力一、实验观察与分析与圆轴扭转一样，梁纯弯曲时其正应力在横截面上的分布规律不能直接观察到，需要先研究梁的变形情况。通过对变形的观察、分析，找出它的分布规律，在此基础上进一步找出应力的分布规律。取一矩形截面梁，在其表面画一些与梁轴平行的纵线和与纵线垂直的横线，如图8-11（a）。然后，在梁的两端施加一对力偶，梁将发生纯弯曲变形，如图8-11（b）所示。这时将观察到如下的一些现象：（1）所有纵线都弯成曲线，靠近底面（凸边）的纵线伸长了，而靠近顶面（凹边）的纵线缩短了。（2）所有横线仍保持为直线，只是相互倾斜了一个角度，但仍与弯曲的纵线相垂直。（3）矩形截面的上部变宽，下部变窄。根据上面所观察到的现象，推测梁的内部变形，可作出如下的假设和推断：（1）平面假设（2）单向受力假设 二、正应力计算公式（一）计算公式由梁平面弯曲时变形几何关系、物理关系和静力平衡关系（推导过程读者可参阅其它材料力学教材），有： 式（8-7）公式表明：梁横截面任一点的正应力与截面上的弯矩和该点到中性轴的距离成正比，而与截面对中性轴的惯性钜成反比。（二）应力公式使用条件1.适用于纯弯曲梁，且梁的最大正应力不超过材料的比例极限。2.适用于所有横截面有纵向对称轴梁，如矩形、圆形、圆环形、工字形和T形截面等。3.横力弯曲是弯曲问题中最常见的情况。在这种情况下，梁横截面上不仅有正应力而且有剪应力。梁受载后，横截面将发生翘曲，平面假设不成立。但若梁跨度与横截面高度之比L/h大于5时，剪应力的存在对正应力的影响甚小，可以忽略不计。所以式（8-7）在一般情况下也可用于横力弯曲时横截面正应力的计算。【例8-5】简支梁受均布荷载作用，如图8-13所示。已知，梁的跨度，截面为矩形，。试求：截面上、三点处正应力以及梁的最大正应力及其位置。【解】：（1）计算截面的弯矩。因对称，支座反力及弯矩分别为 （2）计算截面对中性轴z的惯性矩。（3）计算各点的正应力。 （4）求梁最大正应力及其位置。由弯矩图可知，最大弯矩在跨中截面，其值为对等截面梁来说，梁的最大正应力应发生在截面的上下边缘处。由梁的变形情况可以判定，最大拉应力发生在跨中截面的下边缘处；最大压力发生在跨中截面上边缘处。最大正应力的值为 【解】：（1）作梁的剪力图和弯矩图。在截面处有最大弯矩。（2）计算应力由型钢表查得槽钢，中性轴到上边缘距离，到下边缘距离。由于截面上的弯矩是负弯矩，中性轴上部为拉伸区，下部为压缩区。最大拉应力发生在上边缘处 最大压应力发生在下边缘处 8-4 梁的剪应力横力弯曲时，梁的横截面上既有弯矩又有剪力，因而在截面上既有正应力又有剪应力。由剪应力互等定理可知，在平行于中性层的纵向平面内，也有剪应力存在。如果剪应力的数值过大，而梁的材料抗剪强度不足时，也要发生剪切破坏。本节主要讨论矩形截面梁弯曲剪应力的计算公式，对其他截面梁弯曲剪应力只作简要介绍。一、矩形截面梁横截面上的剪应力1.横截面上剪应力分布规律的假设（1）横截面上各点处的剪应力方向都平行于剪力。（2）剪应力沿截面宽度均匀分布，即离中性轴等距离各点处的剪应力相等。2.剪应力计算公式梁横截面上任一点处的剪应力用下面公式计算（推导过程可参阅有关力学教材）。式中:为所求剪应力点所在横截面上的剪力；为所求剪应力点处截面的宽度；为整个截面对中性轴的惯性矩；为所求剪应力点处横线以外的面积对中性轴的静矩。下面讨论剪应力沿截面高度的分布规律。上式表明：剪应力沿截面高度按二次抛物线规律变化，当时，即截面上下边缘处的剪应力为零；当时，即中性轴上剪应力最大，其值为 式（8-10）即矩形截面上的最大应力为截面上平均剪应力的1.5倍。二、其他截面梁的剪应力1.工字形截面及T形截面工字形截面由腹板和上下翼缘板组成，如图8-16所示，横截面上剪力的绝大部分为腹板所承担。在上下翼缘板上，也有平行于的剪应力分量，但分布情况比较复杂，且数值较小，通常并不进行计算。2.圆形及圆环形截面对于圆形截面和圆环形截面，弯曲时最大剪应力仍发生在中性轴上（图8-18），可认为沿中性轴均匀分布，其值为圆形截面 圆环形截面 式中：为截面上的剪力；为圆形或圆形截面的面积。【例8-7】试求图8-19所示工字形号截面简支梁的最大正应力值和最大剪应力值以及所在的位置，并求最大剪力截面上腹板与翼缘分界的点处的剪应力值。 8-5 梁的强度条件有了应力公式后，便可以计算梁中的最大应力，建立应力强度条件，对梁进行强度计算。一、最大应力1.最大正应力2.最大剪应力二、梁的强度条件1.正应力强度条件运用正应力强度条件，可解决梁的三类强度计算问题。（1）强度校核（2）设计截面（3）确定许可荷载 【例8-7】如图8-21所示，一悬臂梁长，自由端受集中力作用，梁由No22a工字钢制成，自重按计算，材料的许用应力。试校核梁的正应力。【解】（1）求最大弯矩。最大弯矩在固定端截面处（2）确定。 查附录型钢表，No22a工字钢的抗弯截面系数（3）校核正应力强度。 满足正应力强度条件。本题若不计梁自重时，。可见，对于钢材制成的梁，自重对强度的影响很小，工程上一般不予考虑。【例8-8】一圆形截面木梁，梁上荷载如图8-22所示，已知，弯曲时木材的许用应力，试选择圆木的直径。图 8-22【例8-9】形截面悬臂梁尺寸及荷载如图8-23（a）所示，若材料的许用拉应力，许用压力，截面对形心轴的惯性矩,，试计算该梁的许可荷载。【解】：（1）确定最大弯矩。作弯矩图如图8-23（b）所示。由图可见，在固定端截面处有最大正弯矩，。在截面有最大负弯矩，。由于中性轴不是截面的对称轴，材料又是拉、压强度不等的材料，故应分别考虑、两截面的强度来确定许可荷载。（2）截面强度条件确定。截面弯距为正，下拉上压。由强度条件得：， 所以。， 所以（3）截面强度条件确定。截面弯矩为负，上拉下压。由强度条件得： 所以 ， 所以。 由以上的计算结果可见，为保证梁的正应力强度安全，应取。2.剪应力强度条件 与梁的正应力强度计算一样，为了保证梁能安全正常工作，梁在荷载作用下产生的最大剪应力，也不能超过材料的许用剪应力。即剪应力强度条件为： 【8-10】如图8-24所示的一个I20a号工字钢截面的外伸梁，已知钢材的许用应力，许用剪应力，试校核此梁强度。 【解】：（1）确定最大弯矩和最大剪力。 作梁的剪力、弯矩图，见图（b）、（c），得：（2）查型钢表确定工字钢I20a有关的量：， （3）确定正应力危险点的位置，校核正应力强度。工字形截面有水平对称轴，故最大弯矩所在 的横截面（点处横截面）的上、下边缘处为正应力危险点，其正应力为： 虽然，但工程设计上允许最大正应力略超过许用应力。只要最大正应力超过许用应力的相对值小于，仍认为是安全的。故认为该梁仍满足正应力强度条件。（4）确定剪应力危险点的位置，校核剪应力强度。 由剪力图可知，最大剪力发生在左横截面上，其值，该横截面的中性轴处各点为剪应力危险点，其剪应力为：故该梁满足剪应力强度条件。三、提高梁弯曲强度的措施（一）合理安排梁的支座和荷载来降低最大弯矩值2.荷载的合理布置在工作条件允许的情况下，应尽可能合理地布置梁上的荷载。例如图8-26中把一个集中力分为几个较小的集中力，分散布置。梁的最大弯矩就明显减少。（二）采用合理的截面形状1从应力分布规律考虑，应使截面面积较多的部分布置在离中性轴较远的地方。拿矩形截面来看，由于弯曲正应力沿梁截面高度按直线分布，截面上、下边缘正应力最大，在中性轴附近应力很小，所以靠近中性轴处的一部分材料未能充分发挥作用。如果将中性轴附近的阴影面积（图8-27）移至虚线位置。这样，就形成了工字形截面，其截面面积大小不变，而更多的材料可较好地发挥作用。所以从应力分布情况看，凡是中性轴附近用料较多的截面就是不合理的截面。即截面面积相同时，工字形比矩形好；矩形比正方形好；正方形比圆形好。2. 从抗弯截面系数考虑：由式可知，梁所能承受的最大弯矩与抗弯截面模量成正比。所以从正应力强度角度看，当截面面积一定时，值愈大愈有利。通常用抗弯截面模量与横截面面积的比值衡量梁的截面形状的合理性和经济性，其比值越大，则其截面的形状越合理、越经济。表8-2中列出了几种常见的截面形状及其值。3. 从材料的强度特性考虑：合理地布置中性轴的位置，使截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到材料的许用应力。对抗拉和抗压强度相等的塑性材料梁，宜采用对称于中性轴截面形状，如矩形、工字形、槽形、圆形等。对于拉、压强度不等的材料，一般采用非对称截面形状，使中性轴偏向强度较低的一边，如形等。设计时最好使 即截面受拉、受压的边缘到中性轴的距离与材料的抗拉、抗压许用应力成正比，这样才能充分发挥材料的潜力。（三）采用等强度梁小 结本章的重点是惯性矩的计算，平行移轴公式，梁弯曲时的正应力，剪应力的计算及按正应力进行强度校核。一、惯性矩的计算简单图形：按定义通过积分运算或查表。组合图形：利用简单图形的已知结果，通过平行移轴公式来计算组合图形的惯性矩。平行移轴公式：由平行移轴公式，也说明图形对于通过形心轴的惯性矩是所有平行轴的惯性矩中最小一个。二、梁的正应力三、梁的剪应力1.剪应力计算公式2.剪应力强度条件四、梁的强度计算的步骤归纳如下1.根据外力情况画梁的弯矩图与剪力图2.一般根据绝对值最大的弯矩值求出最大正应力，并由为强度条件，设计合理的截面。3.依据最大剪应力，校核剪应力是否满足强度条件对于一般的梁，强度条件是由正应力控制的，剪应力是次要的，特别是圆形，矩形这一类实体截面梁，一般可以不校核剪应力，但是工字形截面梁，剪应力比较大，常需要校核。第八章 练习一、思考题8-1 图8-1所示形截面，为形心，为形心轴，问轴上、下两部分对轴的面积矩存在什么关系？8-2 已知图示三角形截面对轴的惯性矩为用平行移轴公式求得该截面对轴的惯性矩为对不对？为什么？8-3 如图8-3所示各梁的横截面形状，当梁发生平面弯曲时，试绘出截面上沿直线和的正应力分布图，（点为截面形心）。思考题83图 8-7 为了提高梁的弯曲强度，需采取哪些措施？8-8 是否弯矩最大的截面，一定就是梁的最危险截面？二、填空题8-1 平面弯曲梁其内力有两种，一是 ，二是 。 作用在与轴垂直的截面内； 作用在纵向对称平面内。8-2 圆截面构件受力如图，判断力使产生 变形。力偶使产生 变形力偶使产生 变形填空题82图8-3 平面弯曲的梁内最大正应力发生在 最大横截面，且距中性轴 位置。三、选择题8-1 在梁的（ ）的截面，弯矩具有极大值或极小值。A.剪力为零 B.剪力为极大值C.剪力为极小值 D.和剪力无关 选择题8-6图 8-7 圆形截面直径为，其抗弯截面模量为（ ）。A. B. C. D. 8-8 截面为圆形，直径为，对通过圆心的轴的惯性矩为（ ）。A. B. C. D. 四、计算题8-1 在图示的对称形截面中，,。（1） 求形心的位置（2）求阴影部分对轴的面积矩8-2 求题8-1中截面对轴的惯性矩。8-3 计算矩形截面对其形心轴的惯性矩；已知,.如按图中虚线所示，将矩形截面的中间部分移至两边缘变成工字型，计算此工字型截面对轴的惯性矩。求工字型截面的惯性矩较矩形截面的惯性矩增大的百分比。8-5 图示对称截面中