考一本数学.pdf

书书书 建议教师将本简易参考答案复印提供给学生使用 第一章 三角函数 第 课时 任意角 变式训练 例 例 适合 的 有 例 自主成长 三或四 时 是第一象 限角 时 是 第三象限角 由 知 可以是第一或第三象限角 终边在 轴正半轴上时 终 边在 轴负半轴上时 综上所述 终边在 轴上的角的集合为 当 时 为第一象限角 当 时 为第三象限角 故 可能是第一或三象限角 第 课时 弧度制 变式训练 例 例 例 易知弧长为 则中心角为 弧度 故 扇形 自主成长 由已知 故 是第三象限角 设圆心为 弦为 则 槡 故 圆半径 扇形 当 为偶数 时 此时 的 终边落在 轴的非负半轴上 当 为奇数 时 此时 终边落在 轴的非正半轴上 第 课时 任意角的三角函数 变式训练 例 或 在第一象限 槡 槡 在第三象限 槡 槡 例 自主成长 为第四象限角 点 在 第三象限 槡 由已知 点 可化简为 槡 故 槡 槡 又点在第四象限 故 槡 槡 由已知得 槡 槡 又 当 时 第 课时 同角三角函数的基本关系 变式训练 例 当 时 角 的终边落在 轴上 此时 不存 在 当 时 角 的终边落在 轴上 此时 当 且 时 角 在第一 二象限时 槡 槡 角 在第三 四象限时 槡 槡 例 由 得 原式 例 由 槡 两边平方得 槡 自主成长 槡 由 又 槡 槡 且 是第二或第三象限角 若 是第二象限角 则 槡 槡 若 是第三象限角 则 由 得 即 由题意知 为第三象限角 则 原式 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 得证 第 课时 三角函数诱导公式 变式训练 例 槡 例 为偶数时 原式 槡 槡 为奇数时 原式 槡 例 槡 自主成长 由已知 又 槡 为第四象限角 故原式 槡 原式 原式 由 得 故原式 故 或 从而 或 为直角三角形或等腰三角形 第 课时 三角函数诱导公式 变式训练 例 例 例 自主成长 槡 槡 原式 原式 由 得 又 为第三象限角 槡 槡 槡 槡 由 槡 得 即 第 课时 正弦函数 余弦函数的图象 变式训练 例 例 函数 在同一坐标 系中画出 及 的图象后得到 的 图象 例 自主成长 如下左图所示 的取值范 围为 或 当 且 有意义 即 时 有 即 其图象如上右图 故 第 课时 正弦函数 余弦函数的性质 变式训练 例 画出图象研究周期性 例 例 为偶函数 自主成长 由 由 由 借助图象观察 既奇又偶函数 由 又 故 时 时 由已知 故 定义域为 故 为奇函数 第 课时 正弦函数 余弦函数的性质 变式训练 例 又 而 在 上为减函数 即 例 例 故 自主成长 槡 故 槡 令 得 时 时 由 得 故 的单调递增区间为 在 中 得 又 得 又 故 时 的递增区间为 由已知 又 由 知 在 上单调 递增 第 课时 正切函数的图象和性质 变式训练 例 由 得 例 由 得 函 数 的 单 调 递 减 区 间 为 例 在同一坐标系中 作出 和 槡 的图 象 如图 它们的交点为 槡 在 内满足 槡 的 为 原不等式的解集为 自主成长 个 槡 槡 当 时 函数取得最小值 当 槡 时 函数取得最大值槡 由 得 或 函数的定义域为 又 即 是奇函数 由 得 故 的定义域为 由 得 故 在区间 上递增 第 课时 函数 的图象 变式训练 例 它不是周期函数 例 例 取特殊值 则 自主成长 向左平移 个单位 周期 值域为 为奇函数 故 周期 将 代入得 第 课时 三角函数模型的简单应用 变式训练 例 如图所示 因为 故 槡 从而 槡 又 槡 即光线在玻璃 中的行程为 槡 例 依表中前 列的数 据作出散点图并连成光滑曲线如 图所示 依图可知 周期 将 向上平 移 个单位 得 例 如图 秒针由 均匀地旋转到 的时 间为 则 取 的 中点为 则 从而 在 中 自主成长 由图象可知 振幅 周期 由 得 收缩压为 舒张压为 心跳 次数为 次 由图可知 设 则周期 又当 时 即 而 故所求的解析式为 依题意 周期 即 又 故 的最小正整数值 为 由图可知 该天该地从 时至 时的最大温差是 图中从 时到 时的图象是函数 的半个周期的图象 由图可知 又上图为函数半个周期的图象 解得 把 代入得 则 这段曲线的解析式为 第 课时 第一章三角函数复习 变式训练 例 设内切圆半径为 由 故 圆 扇形 例 原式 例 由已知 时 达最 小值 故 由 故 例 重点习题 或 由题意知 代入 得 的解析式为 横坐标缩短后的函数解析式为 再 平移得 列表如下 在 上的图象为 由韦达定理 槡 原式 槡 由 槡 槡 槡 故 槡 依相关数据作散 点图 并连成光滑曲线如图 此图可用余弦函数来模拟 显 然周期 其 平衡位置 在 上 即 振幅 又 时 即 故 为 该海滨浴场的海浪函数表达式 依图象知 在白天的 这个时间段可供冲 浪爱好者进行冲浪运动 第二章 平面向量 第 课时 平面向量的实际背景与基本概念 变式训练 例 只有重力同时具有大小和方向 所以是向量 例 不正确 共线向量即平行向量 只要求方向相同 或相反即可 并不要求两个向量 在同一直线上 不正确 零向量的相反向量仍是零向量 但零向量与 零向量是相等的 正确 不正确 如图 与 共线 虽起点不同 但 其终点却相同 例 自主成长 千米 千米 且 三棱柱的三个侧面都是平行四边形 得 由 知 且方向相同 所以 第 课时 向量加法运算及其几何意义 变式训练 例 例 由例 可知 例 点 为线段 的中点 自主成长 槡 时 三点不一定能构成三角形 因 为 三点可能共线 而 三点是三角形三顶点 由 向量加法知 是对角线 和 的交点 在 中 同理 又 以上各式相加 得 连接 因为 为 三边中点 故四边形 为平行四边形 故 同理 在平行四边形 中 在平行四边形 中 得 第 课时 向量减法运算及其几何意义 变式训练 例 正确 例 例 得 故选 或 自主成长 与 分别表示平行四边形的 两条对角线 它们相等 即说明四边形 为矩形 即 则 且 故四边形 为平行四边形 第 课时 向量数乘运算及其几何意义 变式训练 例 例 由 为重心可知 则 故 例 与 共线 且有公共端点 三点共线 自主成长 即 则 不共线 为 中点 若 则 与 共线 故存在实数 使 第 课时 平面向量基本定理及坐标表示 变式训练 例 例 例 如图 设 交于点 则 自主成长 又 即 是错误的 即 是正确的 同理 而 则 即 是正确的 同理 即 是正确的 又 三点共线 则 即 设 则 槡 槡 槡 即 槡 所以 槡 由 共线 得 设 即 所以 故 第 课时 平面向量的坐标运算 变式训练 例 例 例 或 因为 的模等于 所以 与 平行的单位向量是 即 或 自主成长 中 即点 坐标为 代入选项可得 设 由 得 由已知得 槡 槡 又 时 取最大值为 第 课时 平面向量共线的坐标表示 变式训练 例 与 共线 槡 与 方向相同 槡 例 例 设 则 若 则 若 则 或 自主成长 解法一 与 平行 解得 解法二 因为 与 平行 则存在常数 使 即 根据向量共线的条件 知 向量 与 共线 故 因为 所以 解得 解得 若 则 显然 与 不平行 排除 若 则 即 且 与 反向 排除 故选 即 本题也可用坐标法 即 三点共线 第 课时 平面向量数量积的物理背景及其含义 变式训练 例 例 或 且 与 的夹角为锐角 即 且 可得 或 且 例 由 知 为 的重心 根据向量 的加法 则 自主成长 考查数量积的运算 槡 槡 由向量加法的平行四边形法则 知 可构成菱形 的两条相邻边 且 为起点处的对角线长等于菱形的边长 由 得 两式相加得 即 又 槡 设 由已知 且槡 槡 联立得 或 槡 不平行于 轴 槡 槡 槡 槡 槡 槡 在等腰 中 斜边 槡 槡 则 槡 又 则 槡 第 课时 平面向量数量积的坐标表示 模 夹角 变式训练 例 由已知 槡 例 向量 因 为两个向量垂直 故有 即 解得 例 由题意得 槡 即 槡 或 舍去 自主成长 槡 解得 由 得 故 即 槡 槡 槡 方向相同 由于 三点在一条直线上 则 而 又 联立方程组 解得 或 第 课时 平面几何中的向量方法 变式训练 例 如图 解析由于 而 则 且 即三角形的中位线平 行于第三边且等于第三边长的一半 例 由 三点共线 可设 由 三点共线 可设 再由平面向量基本定理 得 则 为 的中点 即 例 建立平面直角坐标系 则 设 则 槡 槡 代入 解得 舍 点 在靠近点 的 的三等分处时 当 时 由 知 又 四点共圆 自主成长 对角线相等的平行四边形是矩形 由此知 则 最大 又 则 为直角三角形 设 则 又 由 知 即 又因为 在 直线 上 直线 的方程为 所以 解之得 所以 菱形 由 为平行四边形 由 知该四边形对角线互相垂直 故该四边形为菱形 又 则四边形 为平行四边形 又 槡 则四边形 为正方形 如图 又由已知 故 与 平行且相等 所以四边形 是平行四边形 第 课时 向量在物理中的应用举例 变式训练 例 槡 例 例 设 表示此人以 的速度向东行驶的向量 无 风时此人感到风速为 设实际风速为 那么此时人感到的 风速为 设 这就是感到由正北方向 吹来的风速 于是当此人的速度是原 来的 倍时 所感受到由东北方向吹来的风速就是 由题意 从而 为等腰直角三角形 槡 即 槡 实际风速是槡 的西北风 自主成长 逆风行驶的速度 且方向相反 设 后点 运动到点 则 北偏西 如图 渡船速度为 水流速度为 船实际垂直过江 的速度为 依题意 由于 为平行四边 形 则 又 在 中 航向为 北偏西 过点 作向量 使之分别与力 相等 由于 的合力为 则以 为邻边的平行 四边形的对角线 与 的长度相等 又由于力 的大小相等 则 和 均为正 三角形 即任意两个力的夹角均为 如图 设此人实际速度为 水流速度为 故游泳速度为 在 中 槡 槡 槡 槡 槡 此人游到对岸所需时间 槡 槡 故此人游泳的方向与河岸夹角的余弦值为槡 实际前进 速度的大小为 槡 到达对岸需用 第 课时 第二章平面向量复习 变式训练 例 例 例 例 由 得 解之得 又 重点习题 又 故 在 方向上的投影为 另一条对角线长为 槡 槡 槡 故另一对角线长为槡 设 由 有 由 与 夹角为 有 可得 则 解 得 或 即 或 则 槡 第三章 三角恒等变换 第 课时 两角和与差的余弦公式 变式训练 例 因为 点的坐标为 根据三角函数定 义可知 因为 为正三角形 所以 所以 槡 槡 例 两边平方得 两边平方得 两式相加得 例 因为 所以 所以 槡 槡 所以 槡 槡 槡 自主成长 槡 槡 由条件得 由 得 即 又 由 均为锐角 且 槡 槡 则 槡 槡 可求得 槡 得 由已知得 原式 解得 故 由 槡 槡 第 课时 两角和与差的正弦公式 变式训练 例 又 又 例 故所求 的周期为 最大值为 最小值为 例 因为 所以 于是 槡 槡 槡 槡 槡 槡 自主成长 槡 槡 由 得 槡 原式 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 将已知两式平方 得 得 由 得 由 得 原式 槡槡 第 课时 两角和与差的正切公式 变式训练 例 槡 槡 槡槡槡 槡 槡 槡 例 例 由 得 又 自主成长 解得 原式 槡 槡 槡 槡 槡 槡 由题意 则 由 得 第 课时 二倍角的正弦 余弦 正切公式 变式训练 例 又 槡 槡 例 原式 例 槡 自主成长 槡 由 槡 得 槡 槡 槡 原式 槡 所以最小正周期 原式 又 且 则 槡 当 即 时 的最大值为 解法一 由 及 得 或 即 或 故函数 的零点的集合为 或 解法二 由 得槡 于是 或槡 即 或 槡 或 故函数 的零点的集合为 或 第 课时 简单的三角恒等变换 变式训练 例 原式 例 例 由 得 槡 槡 槡 槡 槡 于是 槡 槡 槡 自主成长 槡 槡 槡 槡 由题意得 槡 则 槡 槡 槡 槡 槡 由 得 则 原式 槡 的最大值为槡 此时 解得 即 的集合为 槡 又 槡 又 第 课时 简单的三角恒等变换 变式训练 例 例 又 又 例 设正方形钢板边长为 截后的正方形边长为 则 即 槡 槡 因为 则 槡 槡 槡 槡 槡 槡 或 或 自主成长 原式 槡 为 奇函数 由条件 原式 原式 由 槡 槡 则 当 即 时 取最小值 槡 槡 槡 即 第 课时