联创世华公务员考试辅导专家.pdf

联创世华联创世华联创世华联创世华 公务员考试辅导专家公务员考试辅导专家公务员考试辅导专家公务员考试辅导专家 数学运算数学运算专题讲座专题讲座 分数与百分数分数与百分数 1 迎春农机厂计划生产一批插秧机 现已完成计划的 56 如果再生产 5040 台 总产量就超过计 划产量的 16 那么 原计划生产插秧机多少台 解 已完成计划的 56 则未完成的还有原计划的 44 如果再生产 5040 台后就超过计划产量的 16 即 5040 台是原计划的 44 16 60 那么 原计划台数 5040 60 8400 台 2 圆珠笔和铅笔的价格比是 4 3 20 支圆珠笔和 21 支铅笔公用 71 5 元 问圆珠笔的单价是每支 多少元 解 因为圆珠笔和铅笔的价格比是 4 3 那么 20 支圆珠笔和 21 支铅笔的价格比就是 4 20 3 21 80 63 20 支圆珠笔的用了 71 5 80 80 63 40 元 每支圆珠笔的价格 40 20 2 元 3 李大娘把养的鸡分别关在东 西两个院内 已知东院养鸡 40 只 现在把西院养鸡数的 1 4 卖 给商店 1 3 卖给加工厂 再把剩下的鸡与东院全部的鸡相加 其和恰好等于原来东 西两院养鸡总数 的 50 原来东 西两院一共养鸡多少只 分析 再把剩下的鸡与东院全部的鸡相加 其和恰好等于原来东 西两院养鸡总数的 50 从这 里我们可以知道卖出的是原来东西两院总数的一半 即卖出的与剩下的相等 解 以下内容只有回复后才可以浏览 西院卖出后还剩下 1 1 4 1 3 1 7 12 5 12 西院卖出的比它剩下的多了 7 12 5 12 2 12 1 6 西院养鸡数 40 1 6 240 只 东西两院养鸡总数 40 240 280 只 4 用一批纸装订一种练习本 如果已装订 120 本 剩下的纸是这批纸的 40 如果装订了 185 本 则还剩下 1350 张纸 这批纸一共有多少张 分析 通过已装订 120 本 用掉这批纸的 60 我们就可以知道每本所用的纸占这批纸的比例 从 而可以得出 185 本所用的纸占整批纸的比例 解 每本练习本用纸占整批纸的比 1 40 120 1 200 以整批纸的数量为单位 1 那么 装订 185 本用纸 185 1 200 37 40 还剩下的纸是整批纸的 1 37 40 3 40 共 1350 张 所以 整批纸 1350 3 40 18000 张 5 有男女同学 325 人 新学年男生增加 25 人 女生减少 5 总人数增加 16 人 那么现在男同学 多少人 分析 知道男生增加人数 也知道总人数增加人数 那么就可以知道女生减少的人数 再由女生减 少人数所占的比例 就可以知道原来女生的总数了 解 女生减少人数 25 16 9 人 原来女生总人数 9 5 180 人 原来男生人数 325 180 145 人 现在男生人数 145 25 170 人 6 有一堆糖果 其中奶糖占 45 再放入 16 块水果糖后 奶糖就只占 25 那么 这堆糖果中有 奶糖多少块 选择联创世华 把握公考成功选择联创世华 把握公考成功选择联创世华 把握公考成功选择联创世华 把握公考成功http www http www http www http www L L L L 分析 总量数量是变化的 不能作为单位 1 但奶糖的数量没有变化 因此我们可以以奶糖的数 量作为基准 解 奶糖占 45 奶糖 水果糖 45 100 45 9 11 即原来水果糖是奶糖的 11 9 放入 16 块水果糖后 奶糖 水果糖 25 100 25 1 3 即后来水果糖是奶糖的 3 倍 3 11 9 16 9 即放入的 16 块水果糖占奶糖的 16 9 所以 奶糖数 16 16 9 9 块 7 甲乙两包糖的重量比是 4 1 如果从甲包取出 10 克放入乙包后 甲乙两包糖的重量比变为 7 5 那么两包糖重的总和是多少 分析 从甲包取出部分放入乙包 总重量不变 这样我们就可以将总重量看作单位 1 从拿出 10 克前后所占总重量的比例变化求得答案 解 甲包原来重量是总重量的 4 4 1 4 5 拿出 10 克后 甲包种粮食总重量的 7 7 5 7 12 相差 4 5 7 12 13 60 所以 总重量 10 13 60 600 13 46 又 2 13 克 8 有若干堆围棋子 每堆棋子数一样多 且每堆中白子都占 28 小明从某一堆中拿走一半棋子 而且拿走的都是黑子 现在 在所有余下的棋子中 白子将占 32 那么 共有棋子多少堆 分析 拿走的全部是黑子 那么白子的数量没有变 可以作为拿出前后的基准 解 拿出前 因为每堆棋子数一样多且白子都占 28 所以 白子 黑子 28 72 7 18 黑子是白子 的 18 7 拿出后 在拿出的那一堆中 白子 黑子 7 18 7 18 2 14 11 即拿出黑子数是这对白子 数的 18 7 11 14 25 14 在总数中 白子 黑子 32 68 8 17 黑子是白子的 17 8 黑子对白子总数相差 18 7 17 8 25 56 即拿出黑子数是白子总数的 25 56 所以 堆数 25 14 25 56 4 堆 转化思路 将每一堆白子占 28 的棋子看成是浓度 28 的溶液 那么 本题相当于浓度 28 100 50 56 的溶液 50 克中 需要加入多少克浓度 28 的溶液 才能使浓 度变为 32 原液 添加液 32 28 56 32 4 24 1 6 即需要添加 6 50 300 克 所以 共有棋子 300 100 100 4 堆 9 幼儿园大班和中班共有 32 名男生 18 名女生 已知大班男生数与女生数的比为 5 3 中班中男 生数与女生数的比为 2 1 那么大班有女生多少名 解 假设 18 名女生全部是大班 则 大班男生数 女生数 5 3 30 18 即男生应有 30 人 实际男生有 32 人 32 30 2 相差 2 个人 中班男生数 女生数 2 1 6 3 以 3 个中班女生换 3 个大班女生 每换一组可增加 1 个男生 需要换 2 组 所以 大班女生有 18 3 2 12 个 联创世华联创世华联创世华联创世华 公务员考试辅导专家公务员考试辅导专家公务员考试辅导专家公务员考试辅导专家 10 某校四年级原有 2 个班 现在要重新编为 3 个班 将原一班的 1 3 与原二班的 1 4 组成新一班 将原一班的 1 4 与原二班的 1 3 组成新二班 余下的 30 人组成新三班 如果新一班的人数比新二班的人 数多 10 那么原一班有多少人 解 原一班的 1 3 与原二班的 1 4 原一班的 1 4 与原二班的 1 3 7 12 总人数 余下 1 7 12 5 12 是 30 人 所以总人数 30 5 12 72 人 72 30 42 人 新一班与新二班的人数和为 42 人 新一班的人数比新二班的人数多 10 新一班人数 新二班人数 11 10 新一班 42 11 10 11 22 人 新二班 42 22 20 人 多 22 20 2 人 即原一班的 1 3 1 4 1 12 比原二班的 1 12 多 2 人 原一班比原二班共多 12 2 24 人 所以 原一班有 24 72 24 2 48 人 11 有两包糖 每包糖内装有奶糖 水果糖和巧克力糖 已知 第一包糖的粒数是第二包糖的 2 3 在第一包糖中 奶糖占 25 在第二包糖中 水果糖占 50 巧克力糖在第一包糖中所占的面分比 是在第二包糖中所占百分比的两倍 当两包糖合在一起时 巧克力糖占 28 那么水果糖所占百分比等 于多少 解 由 第一包糖的粒数是第二包糖的 2 3 知道 第一包数量 第二包数量 2 3 第一包占总数的 2 2 3 2 5 第二包占总数的 3 5 由 巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占百分比的两倍知道 第一包糖中巧克力糖占总数的比 第二包糖中巧克力糖占总数的比 2 2 5 3 5 4 3 因为当两包糖合在一起时 巧克力糖占 28 所以 第一包糖中巧克力糖占总数的比 28 4 4 3 16 巧克力糖在第一包糖中所占的百分比 16 2 5 40 所以 水果糖在第一包糖中所占的百分比 100 25 40 35 水果糖在总数中所占的比 35 2 5 50 3 5 44 12 某次数学竞赛设一 二 三等奖 已知 甲 乙两校获一等奖的人数相等 甲校获一奖的 人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为 5 6 甲 乙两校获二等奖的人数总和占 两校获奖人数总和的 20 甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的 50 甲校获二等奖的人数是乙 校获二等奖人数的 4 5 倍 那么 乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少 解 1 甲 乙两校获一等奖的人数相等 且甲校获一奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应 的百分数的比为 5 6 甲乙两校获奖总人数的比 6 5 甲校占两校获奖总数的比 6 6 5 6 11 乙校 5 11 2 甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的 50 占两校获奖总人数的比 6 11 50 3 11 3 甲 乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的 20 且甲校获二等奖的人数是乙校获 二等奖人数的 4 5 倍 所以 甲校获二等奖的人数占总数的比 4 5 5 5 20 9 55 所以 甲校获一等奖的人数占两校获奖总数的比 6 11 3 11 9 55 6 55 占该校总数的比 6 55 11 6 1 5 20 那么 乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分比 20 6 5 24 选择联创世华 把握公考成功选择联创世华 把握公考成功选择联创世华 把握公考成功选择联创世华 把握公考成功http www http www http www http www L L L L 13 某校毕业生共有 9 个班 每班人数相等 已知一班的男生人数比二 三班两个班的女生总数多 1 四 五 六班三个班的女生总数比七 八 九三个班的男生总数多 1 那么该校毕业生中男 女人数 比是多少 14 某商品按原定价出售 每件利润为成本的 25 后来按原定价的 90 出售 结果每天售出的件 数比降价前增加了 1 5 倍 问后来每天经营这种商品的总利润比降价前增加了百分之几 解 本题可以采用设数法 假设降价前每天销售 100 件 每件原定价 100 元 则 原来每天利润 100 1 4 5 100 2000 元 降价后每天利润 100 90 4 5 100 1 1 5 2500 元 每天利润增加 2500 2000 2000 1 4 25 15 赢利百分数 卖出价 买入价 买入价 100 某电子产品去年按定价的 80 出售 能获得 20 的赢利 由于今年买入价降低 按同样定价的 75 出售 却能获得 25 的赢利 那么今年买入价 去年 买入价是多少 解 本题同样可以用设数法来解 假设定价为 100 元 那么 去年买入价 去年卖出价 5 6 100 80 5 6 200 3 元 今年买入价 今年卖出价 4 5 100 75 4 5 60 元 所以 今年买入价 去年买入价 60 200 3 9 10 联创世华联创世华联创世华联创世华 公务员考试辅导专家公务员考试辅导专家公务员考试辅导专家公务员考试辅导专家 数学运算数学运算专题讲座专题讲座 鸡兔同笼鸡兔同笼 一 基本问题一 基本问题 鸡兔同笼 是一类有名的中国古算题 最早出现在 孙子算经 中 许多小学算术应用题都可以转 化成这类问题 或者用解它的典型解法 假设法 来求解 因此很有必要学会它的解法和思路 例例 1 1 1 1 有若干只鸡和兔子 它们共有 88 个头 244 只脚 鸡和兔各有多少只 解 我们设想 每只鸡都是 金鸡独立 一只脚站着 而每只兔子都用两条后腿 像人一样用两 只脚站着 现在 地面上出现脚的总数的一半 也就是 244 2 122 只 在 122 这个数里 鸡的头数算了一次 兔子的头数相当于算了两次 因此从 122 减去总头数 88 剩 下的就是兔子头数 122 88 34 有 34 只兔子 当然鸡就有 54 只 答 有兔子 34 只 鸡 54 只 上面的计算 可以归结为下面算式 总脚数 2 总头数 兔子数 上面的解法是 孙子算经 中记载的 做一次除法和一次减法 马上能求出兔子数 多简单 能够这 样算 主要利用了兔和鸡的脚数分别是 4 和 2 4 又是 2 的 2 倍 可是 当其他问题转化成这类问题时 脚数 就不一定是 4 和 2 上面的计算方法就行不通 因此 我们对这类问题给出一种一般解法 还说例 1 如果设想 88 只都是兔子 那么就有 4 88 只脚 比 244 只脚多了 88 4 244 108 只 每只鸡比兔子少 4 2 只脚 所以共有鸡 88 4 244 4 2 54 只 说明我们设想的 88 只 兔子 中 有 54 只不是兔子 而是鸡 因此可以列出公式 鸡数 兔脚数 总头数 总脚数 兔脚数 鸡脚数 当然 我们也可以设想 88 只都是 鸡 那么共有脚 2 88 176 只 比244 只脚少了 244 176 68 只 每只鸡比每只兔子少 4 2 只脚 68 2 34 只 说明设想中的 鸡 有 34 只是兔子 也可以列出公式 兔数 总脚数 鸡脚数 总头数 兔脚数 鸡脚数 上面两个公式不必都用 用其中一个算出兔数或鸡数 再用总头数去减 就知道另一个数 假设全是鸡 或者全是兔 通常用这样的思路求解 有人称为 假设法 现在 拿一个具体问题来试试上面的公式 例例 2 2 2 2 红铅笔每支 0 19 元 蓝铅笔每支 0 11 元 两种铅笔共买了 16 支 花了 2 80 元 问红 蓝铅笔 各买几支 解 以 分 作为钱的单位 我们设想 一种 鸡 有 11 只脚 一种 兔子 有 19 只脚 它们共有 16 个头 280 只脚 现在已经把买铅笔问题 转化成 鸡兔同笼 问题了 利用上面算兔数公式 就有 蓝笔数 19 16 280 19 11 24 8 3 支 选择联创世华 把握公考成功选择联创世华 把握公考成功选择联创世华 把握公考成功选择联创世华 把握公考成功http www http www http www http www L L L L 红笔数 16 3 13 支 答 买了 13 支红铅笔和 3 支蓝铅笔 对于这类问题的计算 常常可以利用已知脚数的特殊性 例 2 中的 脚数 19 与 11 之和是 30 我们 也可以设想 16 只中 8 只是 兔子 8 只是 鸡 根据这一设想 脚数是 8 11 19 240 比 280 少 40 40 19 11 5 就知道设想中的 8 只 鸡 应少 5 只 也就是 鸡 蓝铅笔 数是 3 30 8 比 19 16 或11 16 要容易计算些 利用已知数的特殊性 心算来完成计算 实际上 可以任意设想一个方便的兔数或鸡数 例如 设想 16只中 兔数 为 10 鸡数 为 6 就有脚数 19 10 11 6 256 比 280 少 24 24 19 11 3 就知道设想 6 只 鸡 要少 3 只 要使设想的数 能给计算带来方便 常常取决于你的心算本领 下面再举四个稍有难度的例子 例例 3 3 3 3 一份稿件 甲单独打字需 6 小时完成 乙单独打字需 10 小时完成 现在甲单独打若干小时后 因有事由乙接着打完 共用了 7 小时 甲打字用了多少小时 解 我们把这份稿件平均分成 30 份 30 是 6 和 10 的最小公倍数 甲每小时打 30 6 5 份 乙 每小时打 30 10 3 份 现在把甲打字的时间看成 兔 头数 乙打字的时间看成 鸡 头数 总头数是 7 兔 的脚数是 5 鸡 的脚数是 3 总脚数是 30 就把问题转化成 鸡兔同笼 问题了 根据前面的公式 兔 数 30 3 7 5 3 4 5 鸡 数 7 4 5 2 5 也就是甲打字用了 4 5 小时 乙打字用了 2 5 小时 答 甲打字用了 4 小时 30 分 例例 4 4 4 4 今年是 1998 年 父母年龄 整数 和是78 岁 兄弟的年龄和是 17 岁 四年后 2002 年 父的 年龄是弟的年龄的 4 倍 母的年龄是兄的年龄的 3 倍 那么当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时 是公元哪一 年 解 4 年后 两人年龄和都要加 8 此时兄弟年龄之和是 17 8 25 父母年龄之和是 78 8 86 我们可以把兄的 年龄看作 鸡 头数 弟的年龄看作 兔 头数 25是 总头数 86是 总脚数 根据公式 兄的年龄 是 25 4 86 4 3 14 岁 1998 年 兄年龄是 14 4 10 岁 父年龄是 25 14 4 4 40 岁 因此 当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时 兄的年龄是 联创世华联创世华联创世华联创世华 公务员考试辅导专家公务员考试辅导专家公务员考试辅导专家公务员考试辅导专家 40 10 3 1 15 岁 这是 2003 年 答 公元 2003 年时 父年龄是兄年龄的 3 倍 例例 5 5 5 5 蜘蛛有 8 条腿 蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀 蝉有 6 条腿和 1 对翅膀 现在这三种小虫共 18只 有 118 条腿和 20 对翅膀 每种小虫各几只 解 因为蜻蜓和蝉都有 6 条腿 所以从腿的数目来考虑 可以把小虫分成 8 条腿 与 6 条腿 两种 利用公式就可以算出 8 条腿的 蜘蛛数 118 6 18 8 6 5 只 因此就知道 6 条腿的小虫共 18 5 13 只 也就是蜻蜓和蝉共有 13 只 它们共有 20 对翅膀 再利用一次公式 蝉数 13 2 20 2 1 6 只 因此蜻蜓数是 13 6 7 只 答 有 5 只蜘蛛 7 只蜻蜓 6 只蝉 例例 6 6 6 6 某次数学考试考五道题 全班52 人参加 共做对 181 道题 已知每人至少做对 1 道题 做对1 道的有 7 人 5 道全对的有 6 人 做对 2 道和 3 道的人数一样多 那么做对 4 道的人数有多少人 解 对 2 道 3 道 4 道题的人共有 52 7 6 39 人 他们共做对 181 1 7 5 6 144 道 由于对 2 道和 3 道题的人数一样多 我们就可以把他们看作是对 2 5道题的人 2 3 2 2 5 这样 兔脚数 4 鸡脚数 2 5 总脚数 144 总头数 39 对 4 道题的有 144 2 5 39 4 1 5 31 人 答 做对 4 道题的有 31 人 习题 习题 1 龟鹤共有 100 个头 350 只脚 龟 鹤各多少只 2 学校有象棋 跳棋共 26 副 恰好可供 120 个学生同时进行活动 象棋 2 人下一副棋 跳棋 6 人下 一副 象棋和跳棋各有几副 3 一些 2 分和 5 分的硬币 共值 2 99 元 其中 2 分硬币个数是 5 分硬币个数的 4 倍 问5 分硬币有 多少个 4 某人领得工资 240 元 有2 元 5 元 10 元三种人民币 共50 张 其中 2 元与 5 元的张数一样多 那么 2 元 5 元 10 元各有多少张 5 一件工程 甲单独做 12 天完成 乙单独做 18 天完成 现在甲做了若干天后 再由乙接着单独做 完余下的部分 这样前后共用了 16 天 甲先做了多少天 6 摩托车赛全程长 281 千米 全程被划分成若干个阶段 每一阶段中 有的是由一段上坡路 3 千 米 一段平路 4 千米 一段下坡路 2 千米 和一段平路 4 千米 组成的 有的是由一段上坡路 3 千米 一段下坡路 2 千米 和一段平路 4 千米 组成的 已知摩托车跑完全程后 共跑了 25 段 上坡路 全程中包含这两种阶段各几段 7 用 1 元钱买 4 分 8 分 1 角的邮票共 15 张 问最多可以买 1 角的邮票多少张 选择联创世华 把握公考成功选择联创世华 把握公考成功选择联创世华 把握公考成功选择联创世华 把握公考成功http www http www http www http www L L L L 数学运算数学运算专题讲座专题讲座 路程问题路程问题 1 A B 两城相距 450 千米 甲 乙两辆汽车同时从 A 城开往 B 城 甲车每小时行 52 千米 乙 车每小时行 38 千米 甲车到达 B城后立即返回 两车从出发到相遇共需多少小时 分析 两车从出发到相遇所走的路程正好是两个 A B 城之间的距离 所以两车从出发到相遇所 用的时间相当于两车行了两个 450 千米所需的时间 解答 450 2 52 38 900 90 10 时 答 两车从出发到相遇共需 10 小时 2 哥哥以每分钟 50 米的速度从学校步行回家 12 分钟后弟弟从学校出来骑车追哥哥 结果在距学 校 800 米处追上哥哥 求弟弟骑车的速度 分析 根据题意画图如下 当弟弟追上哥哥时 距学校 800 米 这 800 米是哥哥两次所行路程的和 一次是 12 分钟内行的路 程 另一次是弟弟从出发到追上哥哥所用时间内 追及时间 哥哥行的路程 解答 弟弟追上哥哥的时间 追及时间 800 12 50 50 800 600 50 200 50 4 分 弟弟的速度 800 4 200 米 答 弟弟骑车每分钟行 200 米 3 东 西两镇相距 100 千米 甲 乙两车分别从两镇同时出发相向而行 4 小时后相遇 已知甲比 乙每小时快 3 千米 甲 乙两车的速度是多少 分析 100 千米是两车所行的总路程 4 小时为相遇时间 根据相遇问题的数量关系式 就可求出 两车的速度和 又已知两车的速度差 根据和差问题 两车速度就解决了 解答 两车速度和 100 4 25 千米 甲的速度 25 3 2 14 千米 乙的速度 25 14 11 千米 答 甲的速度为每小时 14 千米 乙的速度为每小时 11 千米 4 一辆货车以每小时 65 千米的速度前进 一辆客车在它的后面 1500 米处 以每小时 80 千米的速 度同向行驶 客车在超过货车前 2 分钟 两车相距多少米 分析 客车超过货车的一瞬间 也就是客车追上货车 这时两车所行的路程是相等的 客车超过货 车前 2 分钟两车相距的路程即客车与货车 2 分钟内的路程差 解答 客车与货车 1 小时的路程差 80 65 15 千米 联创世华联创世华联创世华联创世华 公务员考试辅导专家公务员考试辅导专家公务员考试辅导专家公务员考试辅导专家 客车与货车 2 分钟的路程差 15 1000 60 2 500 米 答 客车在超过货车前 2 分钟 两车相距 500 米 说明 做完题后回过头来再想一想 发现已知条件客车在货车后面 1500 米是多余的 不管开始两 车相距多远 客车在超过货车前 2 分钟 两车相距的路程是不变的 本题还要注意单位的互化 5 甲乙两人骑车同时从南北两地相向而行 甲每小时行 23 千米 乙每小时行 18 千米 两人在距 两地中点 10 千米处相遇 南北两地相距多少千米 分析 根据题意画图如下 从图中可以看出 甲走了南北距离的一半多 10 千米 乙走了南北距离的一半少 10 千米 从出发到 相遇 甲比乙多走了两个 10 千米 又已知甲每小时比乙多行 23 18 5 千米 多少小时后甲就比乙多行 20 千米 这个时间就是甲乙相遇时间 有了相遇时间 南北两地的距离 就可求出了 解答 甲乙相遇时间 10 2 23 18 20 5 4 时 南北全程 23 18 4 41 4 164 千米 答 南北两地相距 164 千米 说明 本题表面现象是相遇 实质上有追及的特点 因此可以按照追及问题来解答 在做题过程中 要抓住题目的本质 究竟考虑速度和 还是考虑速度差 要针对题目中的条件认真思考 千万不要 两 人面对面 就是 相遇 两人一前一后 就是 追及 6 小红和小蓝练习跑步 若小红让小蓝先跑 20 米 则小红跑 5 秒就可追上小蓝 若小红让小蓝先 跑 4 秒钟 则小红 6 秒钟追上小蓝 小红 小蓝的速度各是多少 分析 小红让小蓝先跑 20 米 则 20 米就是小红 小蓝的路程差 小红跑 5 秒钟追上小蓝 5 秒就 是追及时间 由此可求出他们的速度差 若小红让小蓝先跑 4 秒钟 则小红 6 秒钟追上小蓝 在这个过 程中 6 秒为追及时间 根据上一个条件 由速度差和追及时间可求出在这个过程中的路程差 这个路 程差即是小蓝 4 秒钟所行的路程 因此可求出小蓝的速度 解答 两人的速度差 20 5 4 米 小蓝的速度 6 4 4 6 米 小红的速度 6 4 10 米 答 小红每秒跑 10 米 小蓝每秒跑 6 米 7 甲乙两站相距 360 千米 客车与货车同时从甲站开往乙站 客车每小时行 60 千米 货车每小时 行 40 千米 客车到达乙站后停留半小时 又以原速返回甲站 两车相遇的地点离乙站多少千米 分析 由于客车在乙站停留时 货车仍然行驶 因此可以分段考虑 选择联创世华 把握公考成功选择联创世华 把握公考成功选择联创世华 把握公考成功选择联创世华 把握公考成功http www http www http www http www L L L L 解答 客车到达乙地的时间 360 60 6 时 客车返回时 货车已行的路程 40 6 0 5 260 千米 货车这时距乙地的路程 360 260 100 千米 客车返回与货车相遇时所用的时间 100 40 60 1 时 相遇点离乙地的距离 60 1 60 千米 答 相遇时距乙地 60 千米 8 甲 乙两人同时从东 西两地分别出发 如果两人同向而行 甲 28 分钟追上乙 如果两人相向 而行 8 分钟相遇 已知乙每分钟行 50 米 东西两地相距多少米 分析 根据题意画图如下 从图中可以看出甲 28 8 20 分 内所走的路程与乙 28 8 36 分 内所走的路程是相同的 又已知乙的速度 因此可求出甲的速度 东西两地的全程就可求 解答 甲的速度 50 28 8 28 8 50 36 20 1800 20 90 米 东西两地间距离 90 60 8 150 8 1200 米 答 东西两地相距 1200 米 9 甲乙两人从相距 50 千米的两地同时出发 相向而行 甲每小时行 6 千米 乙每小时行 4千米 甲带着一只狗 狗每小时跑 12 千米 这只狗同甲一道出发 碰到乙的时候 它就掉头朝甲这边跑 碰 到甲时又往乙那边跑 直到两人相遇 这只狗一共跑了多少千米 分析 对于这道题 读完以后觉得很复杂 要求狗一共跑的路程 就要把狗与乙相遇跑的路程 与 甲相遇跑的路程 再与乙相遇跑的路程 都求出来 然后再相加 算出结果 但是 仔细想一想 狗在 甲乙两人之间要跑多少个来回 每次来回所用的时间是多少 这些量求起来很繁琐 再认真审题 换个角度思考 不难发现 狗所跑的路程等于狗的速度乘以狗所跑时间 无论狗在甲 乙两人之间要跑多少个来回 狗跑的路程所用的总时间等于甲 乙两人相遇所用的时间 所以要求狗跑 的时间 也就是求出甲 乙两人的相遇时间 因此原问题就转化成求甲 乙两人相遇时间的问题 解答 甲乙两人的相遇时间是 50 4 6 5 时 由于甲 乙两人相遇的时间就是狗来回跑所用的时间 所以狗一共跑的路程为 12 5 60 千米 答 这只狗一共跑了 60 千米 联创世华联创世华联创世华联创世华 公务员考试辅导专家公务员考试辅导专家公务员考试辅导专家公务员考试辅导专家 说明 有时在解题过程中会被题目中的情节或条件所迷惑 因此这时再换个角度思考就会出现 柳 暗花明又一村 的感觉 10 甲乙两人同时从 A B两地出发相向而行 两人在离 A 地 90 米处第一次相遇 相遇后两人仍 以原速继续行驶 并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回 途中两人在距 B地 70 米处第二次相 遇 两人从第一次相遇到第二次相遇恰好经过了 5 分钟 甲 乙两人的速度是多少 分析 根据本讲例 4 分析 先求出 A B间距离 再根据所给的时间就可求出两人的速度 解答 A B 间距离 90 3 70 270 70 200 米 甲的速度 90 5 2 90 2 5 36 米 乙的速度 200 70 90 5 220 5 44 米 答 甲的速度为每分钟 36 米 乙的速度为每分钟 44 米 说明 两人第一次相遇时 合行的路程是 A B 之间的距离 两人从出发到第二次相遇时 合行的 路程是三个 A B 之间的距离 即从第一次相遇到第二次相遇所行的路程应是从出发到第一次相遇的两 倍 因此甲从第一次相遇到第二次相遇所行的时间也是从出发到第一次相遇时间的两倍 所以甲行 90 米用了 5 分钟的一半时间 巧设单位巧设单位 解答行程难题解答路程问题解答行程难题解答路程问题 一般都要有路程 速度 时间三种量中的任意两个量 但是 在一些题中 往往只有时间这一种量 根本不明示两个运动体的相向相遇 或者同向追及是在多少路程中发生的 因此 给解题增加了一定的 难度 如果在解答的过程中 能根据题意恰当地设某段路程为单位 以此为标准 来度量两个或几 个运动 体在不同的时间内 所行驶的路程的长短 这样 就能使数量关系明朗化 就能驾轻就熟 将 问题化难为易 例 甲 乙 丙三人各以一定的速度 从 地到 地 丙出发 分钟后乙才出发 乙用 分钟 追上丙 甲又比乙晚出发 分钟 经过 分钟才追上丙 甲出发后 需用多少分钟才能追上乙 设乙追上丙所走的这段路程为单位 则 乙每分钟能行这段路程的 丙每分钟能行这 段路程的 根据 丙出发 分钟后乙才出发 甲又比乙晚出发 分钟 则甲比丙晚出发 分钟 因此 当甲 出发时 丙已行驶了这段路程的 甲 追上丙 比丙多行了这段路程的 花了 分钟 根据追及问题的关系式 可知甲比丙每分钟 多行这段路程的 因此 甲每分钟能行这段路程的 选择联创世华 把握公考成功选择联创世华 把握公考成功选择联创世华 把握公考成功选择联创世华 把握公考成功http www http www http www http www L L L L 通过所设的乙追上丙所走的这段路程为单位 已推出了甲和乙速度之间的关系 因而甲追上 乙所需 的时间就可知是 分 例 某人沿公路骑自行车匀速前进 他发现这一公路上的公共汽车 每隔 分钟就有一辆车超 过他 每隔 分钟就有一辆车和他迎面相遇 如果这路车的两个车站 都以间隔相同的时间发一辆 车 那么 每隔 多少分钟发一辆车 由于两个车站都是以间隔相同的时间发车 所以在这两个车站间的这段公路上 不论是什么时刻 同 向行驶的所有车辆 两车间的距离都是相等的 如果把这两车间的间距设为单位 题中 每隔 分钟 就有一辆车超过他 即自行车和汽车同向前进 汽车比自行车多行一个 间距 需 分 钟 也就是每分 钟汽车比自行车多行 间距 的 速度差 每隔 分钟就有一辆车和他 迎面相遇 同样可知 自行车和汽车在一分钟内 能共行 间距 的 速度和 已知自行车和汽车在 分钟内的速度的 和 与 差 由和差问题的关系式 可知汽车每分钟能 行 间 距 的 因此 这路车发车的间隔时间为 分 例 甲骑自行车到城里去办事 走后 乙发现他忘了一物 立即骑摩托车去追 乙追了 分钟 还没追上 连忙问路旁的人 路旁的人回答说 甲在 分钟前经过这里 乙看看手表 这时离甲出 发时间一小时 乙需再行几分钟就能追上甲 乙追了 分钟还没追上 如果把乙追甲这 分钟所行的这段路程看作单位 那么乙每 分钟可行这段路程的 由题中条件可知 甲已出发一小时 并在 分钟前经过这里 说明甲 走这段 路程花了 分 钟 可知 甲每分钟能行这段路程的 并且还可以 推知 当乙询问 路旁人时 乙还距甲的路程是这段路程 单位 的 根 据追及问题的关系式 可以求得乙还需多少分钟才能追上甲 因此 本题的综合算式是 分 数学运算数学运算专题讲座专题讲座 牛顿问题牛顿问题 牛顿问题 俗称 牛吃草问题 牛每天吃草 草每天在不断均匀生长 解题环节主要有四步 1 1 求出每天长草量 求出每天长草量 2 2 求出牧场原有草量 求出牧场原有草量 3 3 求出每天实际消耗原有草量求出每天实际消耗原有草量 牛吃的草量牛吃的草量 生长的草量生长的草量 消耗原有草量消耗原有草量 4 4 最后求出可吃天数 最后求出可吃天数 例例 1 1 牧场上有一片青草 牛每天吃草 草每天以均匀的速度生长 这片青草供给 10 头牛可以吃 20 天 供给 15 头牛吃 可以吃 10 天 供给 25 头牛吃 可以吃多少天 分析 如果草的总量一定 那么 牛的头数与吃草的天数的积应该相等 现在够 10 头牛吃 20 天 够 15 头 牛吃 10 天 10 20 和 15 10 两个积不相等 这是因为 10 头牛吃的时间长 长出的草多 所以 用这 两个积的差 除以吃草的天数差 可求出每天的长草量 求每天的长草量 10 20 15 10 20 10 5 单位量 联创世华联创世华联创世华联创世华 公务员考试辅导专家公务员考试辅导专家公务员考试辅导专家公务员考试辅导专家 说明牧场每天长出的草够 5 头牛吃一天的草量 求牧场原有草量 因为牧场每天长出的草量够 5 头牛吃一天 那么 10 头牛去吃 每天只有 10 5 5 头 牛吃原 有草量 20 天吃完 原有草量应是 10 5 20 100 单位量 或 10 头牛吃 20 天 一共吃草量是 10 20 200 单位量 一共吃的草量 20 天共生长的草量 原有草量 200 100 100 单位量 求 25 头牛吃每天实际消耗原有草量 因为牧场每天长出的草量够 5 头牛吃一天 25 头牛去吃 吃的 长的 消耗原草量 即 25 5 20 单位量 25 头牛去吃 可吃天数 牧场原有草量 25 头牛每天实际消耗原有草量 可吃天数 100 20 5 天 解 10 20 15 10 20 10 50 10 5 单位量 每天长草量 10 5 20 5 20 100 单位量 原有草量 100 25 5 100 20 5 天 答 可供给 25 头牛吃 5 天 例例 2 2 牧场上有一片青草 草每天以均匀的速度生长 这些草供给 20 头牛吃 可以吃 20天 供给100 头羊吃 可以吃 12 天 如果每头牛每天的吃草量相当于 4 只羊一天的吃草量 那么 20 头牛 100 只羊 同时吃这片草 可以吃几天 分析 1 头牛每天相当于 4 只羊一天的吃草量 那么 20 头牛就相当于 4 20 80 只 羊吃草量 每天长草量 80 20 100 12 20 12 400 8 50 单位量 原有草量 80 50 20 30 20 600 单位量 20 头牛和 100 只羊同时吃的天数 600 80 100 50 600 130 4 天 注 四又十三分之八 答 20 头牛 100 只羊同时吃这片草 可以吃 4 8 13 天 例例 3 3 有三片牧场 牧场上的草长得一样密 一样快 它的面积分别是 3 3 公顷 2 8 公顷和 4 公顷 22 头牛 54 天能吃完第一片牧场原有的草和新长出的草 17 头牛 84 天能吃完第二片牧场原有的 草和新长出的草 问 多少头牛经过 24 天能吃完第三片牧场原有的草和新长出的草 选择联创世华 把握公考成功选择联创世华 把握公考成功选择联创世华 把握公考成功选择联创世华 把握公考成功http www http www http www http www L L L L 分析 第一片牧场 22 头牛 54 天吃完 3 3 公顷所有的草 那么 每公顷草量是 包括生长的 22 54 3 3 360 单位量 第二片牧场 17 头牛 84 天吃完 2 8 公顷所有的草 那么 每公顷草量是 17 84 2 8 510 单位量 每公顷每天的长草量是 510 360 84 54 5 单位量 每公顷原有草量是 360 5 54 90 单位量 第三片 4 公顷 24 天共有草量是 90 4 5 24 4 840 单位量 可供多少头牛吃 24 天 840 24 35 头 解 17 84 2 8 22 54 3 3 84 54 150 30 5 单位量 每公顷每天长草量 22 54 3 3 5 54 360 270 90 单位量 每公顷原有草量 90 4 5 4 24 360 480 840 单位量 4 公顷 24 天共有草量 840 24 35 头 答 35 头牛经过 24 天能吃完第三片牧场原有的草和新长出的草 例例 4 4 用 3 台同样的水泵抽干一个井里的泉水要 40 分钟 用 6 台这样的水泵抽干它只要 16分钟 问 用 9 台这样的水泵 多少分钟可以抽干这井里的水 分析 用水泵抽井里的泉水 泉水总是按一定大小不断往上涌 这就跟牧场的草一样均匀地生长 因此 把它当作牛吃草问题同解 每分钟泉水涌出量 3 40 6 16 40 16 2 4 24 1 单位量 井里原有水量 3 1 40 2 40 80 单位量 9 台几分钟可以抽干 80 9 1 80 8 10 分钟 答 用 9 台这样的水泵 10 分钟可以抽干这井里的水 例例 5 5 火车站的售票窗口 8 点开始售票 但 8 点以前早就有人来排队 假如每分钟来排队的人一样 联创世华联创世华联创世华联创世华 公务员考试辅导专家公务员考试辅导专家公务员考试辅导专家公务员考试辅导专家 多 开始售票后 如果开 3 个窗口售票 30 分钟后 不再有人排队 如果开 5 个窗口售票 15 分钟后 不再有人排队 求第一个来排队的人是几点钟到的 分析 到窗口排队售票的人 包括两部分 一部分是 8 点以前已等候的人 相似于牛吃草问题中的原有草 量 另一部分是开始售票时 逐步来的人 相似于每天长草量 开售票窗口多少 相似于 吃草的牛 多少 售票时间相似于 牛吃草 天数 因此 按 牛吃草问题 来解答 每分钟来排队的人 3 30 5 15 30 15 15 15 1 人 售票前已到的人数 3 30 1 30 90 30 60 人 售票前已到的人共用的时间 60 1 60 分钟 60 分钟是 1 小时 即第一个来排队的人是售票前 1 小时到达的 8 1 7 答 第一个来排队的人是 7 点钟到达的 牛吃草问题 综合练习 牛吃草问题 综合练习 牧场上有一片牧草 可供 27 头牛吃 6 周 或者供 23 头牛吃 9 周 如果牧草每周匀速生长 可供 21 头牛吃几周 有一口水井 如果水位降低 水就不断地匀速涌出 且到了一定的水位就不再上升 现在用 水吊水 如果每分吊 4 桶 则 15 分钟能吊干 如果每分钟吊 8 桶 则 7 分吊干 现在需要 5 分钟吊 干 每分钟应吊多少桶水 有一片牧草 每天以均匀的速度生长 现在派 17 人去割草 30 天才能把草割完 如果派 19 人去割草 则 24 天就能割完 如果需要 6 天割完 需要派多少人去割草 有一桶酒 每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒 现在这桶酒如果给 6 人喝 4天可喝完 如果由 4 人喝 5 天可喝完 这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天 一水库存水量一定 河水均匀入库 5 台抽水机连续 20 天可抽干 6 台同样的抽水机连续 15 天可抽干 若要 6 天抽干 需要多少台同样的抽水机 数学运算数学运算专题讲座专题讲座 装错信封问题装错信封问题 问题的提出问题的提出 1 同室四人各写一张贺年卡 先集中起来 然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡 则 四张贺年卡的不同分配方式有 A 6 种B 9 种C 11种 D 23 种 2 有 5 个客人参加宴会 他们把帽子放在衣帽寄放室内 宴会结束后每人戴了一顶帽 子回家 回家后 他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子 问 5 个客人都不戴自己帽子的 选择联创世华 把握公考成功选择联创世华 把握公考成功选择联创世华 把握公考成功选择联创世华 把握公考成功http www http www http www http www L L L L 戴法有多少种 上述两个问题 实质上是完全一样的 是被著名数学家欧拉 Leonhard Euler 1707 1783 称为 组合数论的一个妙题 的 装错信封问题 的两个特例 装错信封问题 是由当时 最有名的数学家约翰 伯努利 Johann Bernoulli 1667 1748 的儿子丹尼尔 伯努利 DanidBernoulli 1700 1782 提出来的 大意如下 一个人写了 n 封不同的信及相应的 n 个不同的信封 他把这 n 封信都装错了信封 问 都装错信封的装法有多少种 建立数学模型建立数学模型 装错信封问题 及两个特例 其实就是 n 个不同元素的一类特殊排列问题 本文试就 给出这类问题的数学模型及求解公式 为方便 我们先把 n 个不同的元素及相应的位置都 编上序号 1 2 n 并且约定 在 n 个不同元素的排列中 1 若编号为 i i 1 2 n 的元素排在第 i 个位置 则称元素 i 在原位 否则称元素 i 不在原位 2 若所有的元素都不在原位 则称这种排列为 n 个不同元素的一个错排 若每个元素 都在原位则称为序排 按照上面约定 装错信封问题 即为 n 个不同元素的错排问题 则可构建 装错信封问 题 的数学模型为 在 n 个不同元素的全排列中 有多少种不同的错排 模型求解模型求解 应用集合中的容斥原理 我们就可得到 装错信封问题 的数学模型的求解公式 设 I 表示 n 个不同元素的全排列的集合 Ai i 1 2 n 为元素 i 在原位的排列的集合 Ai Aj 1 i j n 为元素 i 与 j 在原位的排列的集合 A1 A2 An为 n 个元素的序排的集合 则它们的排列数 即各个集合中元素的个数 分别为 I n Ai n 1 Ai Aj n 2 A1 A2 An n n 0 所以 根据容斥原理即得 装错信封问题 的数学模型的求解公式 即 n 个不同元素的错 排数 为 联创世华联创世华联创世华联创世华 公务员考试辅导专家公务员考试辅导专家公务员考试辅导专家公务员考试辅导专家 应用举例应用举例 一个元素的错排数显然为 0 二个不同元素的错排数为 1 三个不同元素的错排数为 2 均可由公式验证 由公式还可求得四个不同元素的错排数为 五个不同元素的错排数为 则本文开头的问题 1 共有 9 种不同的分配方式 故选 B 问题 2 共有 44 种不同的戴 法 下面再举几例说明公式的应用 例例 1 1 1 1 设有编号为 1 2 3 4 5 的五个球和编号为 1 2 3 4 5 的五个盒子 现将 这五个球投放入五个盒内 要求每个盒内投放一个球 并且恰好有两个球的编号与盒子的 编号相同 则这样的投放方法的总数为 A 20 种 B 30 种 C 60 种 D 120 种 解 本题实质上是三个元素的错排问题 但由于题中未指明是哪三个元素进行的错排 故本题可分两步求解 第二步 对已选出的三个元素进行错排 有 2 种 例 2 某省决定对所辖 8 个城市的党政一把手进行任职交流 要求把每个干部都调到另 一个城市去担任相应的职务 问共有多少种不同的干部调配方案 解 实质上本题即为 8 个不同元素的错排问题 一种干部调配方法对应于 8 个不同元素 的一个错排 故由公式可求得不同的干部调配方案数为 选择联创世华 把握公考成功选择联创世华 把握公考成功选择联创世华 把握公考成功选择联创世华 把握公考成功http www http www http www http www L L L L 数学运算数学运算专题讲座专题讲座 最短路线问题最短路线问题 通常最短路线问题是以 平面内连结两点的线中 直线段最短 为原则引申出来的 人 们在生产 生活实践中 常常遇到带有某种限制条件的最