2009年C题.doc

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 河南科技大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 夏胜林 2. 程子宝 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2010 年8月22日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：142009高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：C题卫星和飞船的跟踪测控摘要 卫星或飞船在发射和运行过程中，测控网的覆盖范围要尽量的大，理论上，建立的观测点的个数越多，覆盖率就越高，但考虑实际情况，需要对测控点的个数进行优化计算。在第一问中，利用以有限观测站点来实现对卫星和飞船进行全程跟踪测控，每个测控站的测控范围是有限的，这就需要多个测控站联合完成测控任务。由于卫星或飞船的所有测控站都与其运行轨道共面，我们可以算出测控点的测控范围所对应的圆心角，根据几何知识可知：（）。计算发现，所需最少测控点是随着卫星或飞船运行高度的增大而减小，但当运行高度大于等于7643.10千米时，所需测控站点不再减小，并且一直保持在3个。我们用神七的有关数据进行带入公式，算得最少测控点数为11个，与表格中的数据相符。 第二问中卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，其运行轨迹就是在离地面高度为的球面s上一个环形区域。每个站点的可测控区域与飞船运行轨迹相交为圆，若用圆与圆彼此相切进行覆盖测控，必然会留下盲区，因此需要将圆形区域进行相交覆盖。因圆内接正六边形替代圆覆盖的效果最佳，可用圆内接正六边形进行覆盖。用该环形区域的面积除以圆内接正六边形的面积，得出最少测控站数。我们发现神舟七号的最少测控站数与实际个数相差较大，由此可知，神舟七号在运行过程中没有达到全程监控。 第三问可以先收集神舟七号运行资料和发射时测控站点的经纬度，然后利用第二问的结论来分析测控站点的测控范围，建立模型，利用网格法求出16个测控站点的近似覆盖率。 关键词： 最少测控站数 球冠公式 网格法 覆盖率 一、问题重述卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对它们的发射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要组成部分，理想的状况是对卫星和飞船（特别是载人飞船）进行全程跟踪测控。测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域。为了达到全程跟踪，在一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往有多个测控站联合完成测控任务。 根据自己的假设，建立模型分析卫星或飞船的测控情况，解决以下问题：问题一：在卫星或飞船的所有测控站都与其运行轨道共面的情况下，对其进行全程跟踪测控至少需要建立几个测控站。问题二：如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H的球面S上运行。考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，分析要想对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的至少需建立多少个测控站。问题三：收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析这些测控站点对该卫星所能测控的范围。二、模型假设1.假设地球是一个规则的球体；2.假设飞船或卫星在发射和运行过程中不受阻力、电磁波等一切外界干扰条件的影响；3.假设只考虑飞船或卫星在轨道的运行过程，不考虑其发射和回收过程；4.假设卫星或飞船相对地球为一质点；5.假设每个测控点只能测控与地面夹角3度以上的空域；三、符号约定：卫星或飞船离地面的高度（单位：千米）： 地球的半径（单位：千米）： 观测站点的个数: 观测点的切平面与测控范围边界的夹角: 测控范围在卫星轨道上的边界点与地心和观测站连线的夹角: 测控范围在卫星轨道上的边界点与地心连线的夹角：卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面的固定夹角：测控站的观测范围圆面得半径：观测范围在地球表面的投影圆的半径C：地球赤道周长：观测范围在地球表面的投影圆的半径与地球赤道周长C的比例四、问题分析4.1对第一问的分析：由于每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域，测控范围是有限的，这就需要多个测控站联合完成测控任务。问题中，卫星或飞船的所有测控站都与其运行轨道共面，我们可以算出一个测控点的测控范围所对应的圆心角，根据几何知识可知：， 其中是三角形的内角，则的取值范围为，所以，且随着的增大而减小。4.2 对第二问的分析：第一问与第二问的区别在于第二问中卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，因此，卫星或飞船这样运行了很多圈之后，其运行轨迹就是在离地面高度为的球面s上，且是覆盖以赤道为中心线的一个环形区域。我们可以求出一个测控站的监控范围，用该环形区域的面积除以一个测控站的监控范围，这样就可以求出为达到全程跟踪测控目的需建立的最少测控站数。4.3 对第三问的分析： 第三问可以先收集神舟七号运行资料和发射时测控站点的经纬度，然后利用第二问的结论来分析测控站点的测控范围，建立模型，利用网格法求出16个测控站点的近似覆盖率。 五、模型建立与求解5.1 问题一的模型建立与求解模型一： 根据假设，所有测控站都与卫星的运行轨道共面，因此可以把卫星轨道和所有测控站看成是两个同心圆。不考虑地球自转等其它的因素的影响，每个测控站的测控范围的边界与地平面成的夹角，我们可求出测控范围在卫星轨道上的边界点与地心连线的夹角，然后建立卫星或飞船测控站的个数与卫星轨道高度之间的关系，最终算出卫星轨道高度和其对应的测控站的个数，并列出表格。根据题意及假设，画出测控站测控卫星运行中的简易图：图（一）地球测控原理简易图由正弦定理可得：则 （式1）由三角形内角和可求得圆心角： （式2）由周角公式可得: （式3）联立（1）（2）（3）可得与的关系式： （其中=3）收集资料可知R=6371.004千米，利用matlab软件求得卫星或飞船运行高度与测控点个数之间的数量关系，如下表：高度（范围区间）（单位：千米）测控点的最少个数161514131211109876543由上表可知，随着卫星或飞船运行高度的不断增大，所需测控点的最少个数在不断减小，但当运行高度大于等于7643.10千米时，所需测控站点的个数不再减小，并且一直保持在3个。从另一角度说，由与之间的关系，我们也可以得到的个数始终不小于3。当卫星或飞船运行高度到达一定程度后，只需三个测控站就能进行全程监控。收集神舟七号飞船的有关数据：（千米），（千米），进行验证：这时结合实际情况可知对神舟七号进行全程监控所需最少的测控点的个数为： 。5.2 问题二的模型建立与求解：与问题1不同的是卫星运行轨道与赤道平面有固定的夹角，而且考虑到地球自转时该卫星在运行过程中相继两圈的经度存在差异。卫星或飞船这样运行了很多圈之后，其运行轨迹就是在离地面高度为的球面s上，且是覆盖以赤道为中心线的一个环形区域。要对卫星或飞船进行全程监控，则测控站的监控范围就必须覆盖着一个环形区域。对于此类问题，我们可以先求出一个测控站的监控范围，然后用该环形区域的面积除以一个测控站的监控范围，这样就可以求出为达到全程跟踪测控目的需建立的最少测控站数。卫星实际运行轨迹示意图如图（二）：（即球s去掉上下球冠后的球面图）图（二）测控站所观测范围图如第一问中的图（一）：地球测控原理简易图卫星运行轨迹球面S的总表面积： 根据球冠公式得球面S的球冠为： 则卫星轨迹的面积为： 根据问题一中的公式得： 整理可得： 测控站的观测范围面积： 由于观测点的测控范围的边界与轨道球面S相交的部分是一个圆形区域，要想对卫星或飞船的运行进行全程监控，那么观测范围必然会有相交的部分。如果用多个圆形区域对卫星的轨迹进行覆盖，若圆与圆彼此相切进行覆盖，就必然会留下盲区，不能全程监控，我们就需要将圆形区域进行相交覆盖。这样的话，我们就可以用圆的内接正多边形进行覆盖，已达到全程监控。我们可以对圆的内接正四边形、正五边形、正六边形、正八边形进行比较分析，如下图：内接正四边形内接正五边形内接正六边形内接正八边形分析可知，正五边形和正八边形的内角不能360整除，而内接正六边形比正四边形重叠面积小，因此我们选择正六边形来计算。面积替代示意图圆的内接正六边形覆盖效果图：图中一个正六边形的面积为：所需卫星测控站数：（千米），代入神舟七号飞船的数据： （千米）进行验证：计算结果与实际相差较大，由此可知，神舟七号在运行过程中没有达到全程监控。 5.3 问题三的模型建立与求解：我们将神州七号飞船相关数据带入模型二中，发现有一定的差距，可见模型二是建立在在理想情况下，于是我们将问题实际化，以神舟七号在人飞船为例进一步建立模型，通过上网查阅资料，搜集了我国神州7号飞船运行资料和相关测控站点的分部信息，从网上查得每个测控点经纬度，列表如下：站名纬度经度主场站北纬401东经10017东风站北纬3941东经9830喀什站北纬3924东经7606和田站北纬3706东经7955青岛站北纬3611东经12018渭南站北纬3429东经10930厦门站北纬2435东经11758纳米比亚站北纬2240东经1431卡拉奇站北纬2451东经6700马林迪站南纬313东经4006圣地亚哥站南纬3326东经7038远望一号南纬20西经150远望二号南纬31西经125远望三号北纬1东经0远望五号北纬30东经135远望六号北纬32东经180飞船运行在轨道倾角42.4度、近地点高度200公里、远地点高度350公里的椭圆轨道上，实施变轨后，进入343公里的圆轨道。根据测控站在卫星轨道上的测控范围的边界点与地心连线得出在地球表面上与该范围对应区域并建立相应模型，利用网格法，算出测控站点对神州7号所能测控的覆盖率。根据第一问得：由第二问可知，一个测控站的观测范围圆域的半径为：根据三角形相似得：整理可得到观测范围在地球表面的投影圆的半径：用matlab软件求得：因为地球赤道周长为4万千米，可求出观测范围在地球表面的投影圆的半径与地球赤道周长C的比例：根据资料就可知，神舟七号的运行轨迹投影到地球上是一个环形带状区域，用收集到的数据及，可画出16个站点的测控范围，如下图：我们可采用网格法，画出732个网格，画出每个测控站点的测控范围在地球上的投影的分布，如下图：采用网格法，在上图中数出16个测控站点的测控范围在地球上的投影所占的网格数为36。可近似算出测控覆盖率为16.07%。通过收集资料知道神舟七号测控站的实际覆盖率为14%-16%，与估计值比较接近。由此可以推测飞船在进入运行轨道后大部分时间都处于不能测控的盲区状态。六、结果分析第一问中，我们利用几何知识，求出进行全程监控所需的最少测控站数，并给出了飞船和卫星在不同高度所需的最少测控站数，发现随着卫星或飞船运行高度的不断增大，所需测控点的最少个数在不断减小，但当运行高度大于等于7643.10千米时，所需测控站点的个数不再减小，并且一直保持在3个。最后我们用神舟七号的有关数据进行了检验。第二问中，卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，卫星或飞船这样运行了很多圈之后，其运行轨迹就是在离地面高度为的球面s上，且是覆盖以赤道为中心线的一个环形区域。我们可以求出一个测控站的监控范围，用监控范围圆域的内接正六边形来覆盖这个环形带状区域，用该环形区域的面积除以内接正六边形的面积，这样就可以求出为达到全程跟踪测控目的需建立的最少测控站数。我们用神舟七号的有关数据进行模型检验，发现计算结果与实际相差较大，由此可知，神舟七号在运行过程中没有达到全程监控。第三问中，先收集神舟七号运行资料和发射时测控站点的经纬度，然后利用第二问的结论来分析测控站点的测控范围，建立模型，利用网格法求出16个测控站点的近似覆盖率16.07%。通过收集资料知道神舟七号测控站的实际覆盖率为14%-16%，与估计值比较接近。七、模型评价与推广优点：在第一问中不考虑地球自转和角度等方面的影响，使模型的建立变得简单。在第二问中考虑了地球自转以及赤道面与卫星轨道面的夹角，使得问题更实际精确。第三问运用第二问得出的模型，对实际例子（神七）进行分析建模，使得模型在实际中得到应用。缺点与改进：三问中建立的模型虽然都用神州七号的有关数据进行了检验，但我们的计算毕竟是在理想条件下的，比如在问题三中测控站经纬度并不精确，在卫星发射和变轨阶段考虑欠佳，卫星发射轨迹可以看作抛物线，而测控站测控的高度就与理想化中的高度不