中考典型数学压轴题(含答案).doc

1.（本题满分6分）如图,抛物线交轴于点A(1,0),交轴于点B,对称轴是=2.（1）求抛物线的解析式.（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在点P,使PAB的周长最小？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由. 1、（本题满分6分）解：（1）根据题意得 C(3，0)1分9-3b+c=01-b+c=0 1分 解得b=4 c=3 1分 所以二次函数的解析式为y=x24x+3 1分 (2)点A与点C关于X2对称，连接BC与X2交于点P，则点P即为所求，根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），y=x24x+3与Y轴的交点为（0,3） 设BC解析式为y=kx+b (k0) 根据题意: 解得: 1分 当x=2时,y=1 P（2，1） 1分考点：切线的性质；平行四边形的性质分析：（1）根据弦切角定理和圆周角定理证明ABC=ACB，得到答案；（2）作AFCD于F，证明AEHAEF，得到EH=EF，根据ABHACF，得到答案解答：证明：（1）AD与ABC的外接圆O恰好相切于点A，ABE=DAE，又EAC=EBC，DAC=ABC，ADBC，DAC=ACB，ABC=ACB，AB=AC；17（2）作AFCD于F，四边形ABCE是圆内接四边形，ABC=AEF，又ABC=ACB，AEF=ACB，又AEB=ACB，AEH=AEF，在AEH和AEF中，AEHAEF，EH=EF，CE+EH=CF，在ABH和ACF中，ABHACF，BH=CF=CE+EH2（12分）（2015柳州）如图，已知抛物线y=（x27x+6）的顶点坐标为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（xh）2+k（a0），并指出顶点M的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标；（3）以AB为直径作N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线MP是N的切线考点：二次函数综合题分析：（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式，然后根据二次函数的性质求出抛物线的顶点坐标；（2）连接BC，则BC与对称轴的交点为R，此时CR+AR的值最小；先求出点A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而求出其最小值和点R的坐标；（3）设点P坐标为（x，x2+x3）根据NP=AB=列出方程（x）2+（x2+x3）2=（）2，解方程得到点P坐标，再计算得出PM2+PN2=MN2，根据勾股定理的逆定理得出MPN=90，然后利用切线的判定定理即可证明直线MP是N的切线解答：（1）解：y=（x27x+6）=（x27x）3=（x）2+，抛物线的解析式化为顶点式为：y=（x）2+，顶点M的坐标是（，）；（2）解：y=（x27x+6），当y=0时，（x27x+6）=0，解得x=1或6，A（1，0），B（6，0），x=0时，y=3，C（0，3）连接BC，则BC与对称轴x=的交点为R，连接AR，则CR+AR=CR+BR=BC，根据两点之间线段最短可知此时CR+AR的值最小，最小值为BC=3设直线BC的解析式为y=kx+b，B（6，0），C（0，3），解得，直线BC的解析式为：y=x3，令x=，得y=3=，R点坐标为（，）；（3）证明：设点P坐标为（x，x2+x3）A（1，0），B（6，0），N（，0），以AB为直径的N的半径为AB=，NP=，即（x）2+（x2+x3）2=（）2，化简整理得，x414x3+65x2112x+60=0，（x1）（x2）（x5）（x6）=0，解得x1=1（与A重合，舍去），x2=2，x3=5（在对称轴的右侧，舍去），x4=6（与B重合，舍去），点P坐标为（2，2）M（，），N（，0），PM2=（2）2+（2）2=，PN2=（2）2+22=，MN2=（）2=，PM2+PN2=MN2，MPN=90，点P在N上，直线MP是N的切线点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到二次函数的图象与性质、待定系数法求一次函数的解析式、轴对称最短路线问题以及切线的判定等知识，综合性较强，难度适中第（3）问求出点P的坐标是解题的关键3（12分）（2015庆阳）如图，在ABC中，AB=AC，以AC为直径作O交BC于点D，过点D作O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F（1）求证：FEAB；（2）当EF=6，=时，求DE的长考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质.分析：（1）连接AD、OD，根据直径所对的圆周角是直角求出ADC=90，根据等腰三角形的性质证明D是BC的中点，得到OD是ABC的中位线，根据切线的性质证明结论；（2）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式计算得到答案解答：（1）证明：连接AD、OD，AC为O的直径，ADC=90，又AB=AC，CD=DB，又CO=AO，ODAB，FD是O的切线，ODEF，FEAB；（2）=，=，ODAB，=，又EF=6，DE=9点评：本题考查的是切线的性质和平行线分线段成比例定理，掌握圆的切线垂直于过切点的半径和等腰三角形的三线合一是解题的关键4（12分）（2015庆阳）如图，在平面直角坐标系中顶点为（4，1）的抛物线交y轴于点A（0，3），交x轴于B，C两点（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点P是抛物线上位于B，C两点之间的一个动点，问：当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？并求出此时四边形ABPC的面积（3）过点B作AB的垂线交抛物线于点D，是否存在以点C为圆心且与线段BD和抛物线的对称轴l同时相切的圆？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题.分析：（1）利用待定系数法求函数的解析式即可；（2）由题意可知当P点移动到抛物线的顶点是PBC的面积最大，根据四边形ABPC的面积的最大值为：SABC+SPBC求得即可；（3）已知ABD是直角，若连接圆心和切点（暂定为E），不难看出RtOAB、RtEBC相似，可据此求出C的半径，再将该半径与点C到对称轴l的距离进行比较即可解答：解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为y=a（x+4）21，把点A（0，3）代入得：3=16a1，解得a=，所以此抛物线的解析式为y=（x+4）21；（2）令y=0，则0=（x+4）21；解得x1=2，x2=6，B（2，0），C（6，0），BC=4，S四边形ABPC=SABC+SPBC，SABC=BCOA=43=6，要使四边形ABPC的面积最大，则PBC的面积最大，当P点移动到抛物线的顶点是PBC的面积最大，四边形ABPC的面积的最大值为：SABC+SPBC=6+41=6+2=8；（3）如图，设C与BD相切于点E，连接CE，则BEC=AOB=90A（0，3）、B（2，0）、C（6，0），OA=3，OB=2，OC=6，BC=4；AB=，ABBD，ABC=EBC+90=OAB+90，EBC=OAB，OABEBC，=，即=EC=设抛物线对称轴交x轴于F抛物线的对称轴x=4，CF=2，不存在以点C为圆心且与线段BD和抛物线的对称轴l同时相切的圆点评：此题是二次函数的综合题，主要考查的是利用待定系数法确定函数解析式、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系以及四边形的面积等重要知识点5（8分）如图，四边形ABCD是O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE(1) 求证：A=AEB(2) 连接OE，交CD于点F，OE CD求证：ABE是等边三角形考点：圆内接四边形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理.分析：（1）根据圆内接四边形的性质可得A+BCD=180，根据邻补角互补可得DCE+BCD=180，进而得到A=DCE，然后利用等边对等角可得DCE=AEB，进而可得A=AEB；（2）首先证明DCE是等边三角形，进而可得AEB=60，再根据A=AEB，可得ABE是等腰三角形，进而可得ABE是等边三角形解答：证明：（1）四边形ABCD是O的内接四边形，A+BCD=180，DCE+BCD=180，A=DCE，DC=DE，DCE=AEB，A=AEB；（2）A=AEB，ABE是等腰三角形，EOCD，CF=DF，EO是CD的垂直平分线，ED=EC，DC=DE，DC=DE=EC，DCE是等边三角形，AEB=60，ABE是等边三角形点评：此题主要考查了等边三角形的判定和性质，以及圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形对角互补6（9分）如图，在O中，AB是直径，点D是O上一点且BOD=60，过点D作O的切线CD交AB的延长线于点C，E为的中点，连接DE，EB（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；（2）已知图中阴影部分面积为6，求O的半径r7（12分）（2015凉山州）如图，已知抛物线y=x2（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y=x+3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴交于D、E两点（1）求m的值（2）求A、B两点的坐标（3）点P（a，b）（3a1）是抛物线上一点，当PAB的面积是ABC面积的2倍时，求a，b的值考点：二次函数综合题.分析：（1）抛物线的顶点在x轴的正半轴上可知其对应的一元二次方程有两个相等的实数根，根据判别式等于0可求得m的值；（2）由（1）可求得抛物线解析式，联立一次函数和抛物线解析式可求得A、B两点的坐标；（3）分别过A、B、P三点作x轴的垂线，垂足分别为R、S、T，可先求得ABC的面积，再利用a、b表示出PAB的面积，根据面积之间的关系可得到a、b之间的关系，再结合P点在抛物线上，可得到关于a、b的两个方程，可求得a、b的值解答：解：（1）抛物线y=x2（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上，方程x2（m+3）x+9=0有两个相等的实数根，（m+3）249=0，解得m=3或m=9，又抛物线对称轴大于0，即m+30，m=3；（2）由（1）可知抛物线解析式为y=x26x+9，联立一次函数y=x+3，可得，解得或，A（1，4），B（6，9）；（3）如图，分别过A、B、P三点作x轴的垂线，垂足分别为R、S、T，A（1，4），B（6，9），C（3，0），P（a，b），AR=4，BS=9，RC=31=2，CS=63=3，RS=61=5，PT=b，RT=1a，ST=6a，SABC=S梯形ABSRSARCSBCS=（4+9）52439=15，SPAB=S梯形PBSTS梯形ABSRS梯形ARTP=（9+b）（6a）（b+4）（1a）（4+9）5=（5b5a15），又SPAB=2SABC，（5b5a15）=30，即ba=15，b=15+a，P点在抛物线上，b=a26a+9，15+a=a26a+9，解得a=，3a1，a=，b=15+=8（12分）（2015曲靖）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线ly轴于点B（0，2），A为OB的中点，以A为顶点的抛物线y=ax2+c与x轴交于C、D两点，且CD=4，点P为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆（1）求抛物线的解析式；（2）若P与y轴的另一交点为E，且OE=2，求点P的坐标；（3）判断直线l与P的位置关系，并说明理由考点：二次函数综合题.分析：（1）根据题意可知A（0，1），C（2，0），D（2，0），从而可求得抛物线的解析式；（2）根据OE=2可知点E的坐标为（0，2）或（0，2），从而可确定出点P的纵坐标为1或1；（3）设点P的坐标为（m，），然后求得圆P的半径OP和点P到直线l的距离，根据d=r，可知直线和圆相切解答：解：（1）点A为OB的中点，点A的坐标为（0，1）CD=4，由抛物线的对称性可知：点C（2，0），D（2，0），将点A（0，1），C（2，0），D（2，0）代入抛物线的解析式得：，解得：，抛物线得解析式为y=（2）如下图：过点P1作P1FOEOE=2，点E的坐标为（0，2）P1FOEEF=OF点P1的纵坐标为1同理点P2的纵坐标为1将y=1代入抛物线的解析式得：x1=，x2=2点P1（2，1），P2（2，1）如下图：当点E与点B重合时，点P3与点A重合，点P3的坐标为（0，1）综上所述点P的坐标为（2，1）或（2，1）或（0，1）（3）设点P的坐标为（m，），圆的半径OP=，点P到直线l的距离=（2）=+1d=r直线l与圆P相切点评：本题主要考查的是二次函数与圆的综合应用，根据题意确定出点E的坐标，然后再得出点P的纵坐标是解题的关键9（9分）（2015云南）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y=kx+n（k0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC=5（1）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题.专题：综合题分析：（1）由C的坐标确定出OC的长，在直角三角形BOC中，利用勾股定理求出OB的长，确定出点B坐标，把B与C坐标代入直线解析式求出k与n的值，确定出直线BC解析式，把A与B坐标代入抛物线解析式求出a的值，确定出抛物线解析式即可；（2）在抛物线的对称轴上不存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形，如图所示，分两种情况考虑：当PCCB时，PBC为直角三角形；当PBBC时，BCP为直角三角形，分别求出P的坐标即可解答：解：（1）C（0，3），即OC=3，BC=5，在RtBOC中，根据勾股定理得：OB=4，即B（4，0），把B与C坐标代入y=kx+n中，得：，解得：k=