流体动力学基础(工程流体力学)

1 第四章流体动力学基础 2 流体动力学基础 雷诺输运定理 运动微分方程 伯努利方程及其应用 系统与控制体 动量方程 连续方程式 微分方程的求解 角动量方程 能量方程 引言 Introduction 4 流体动力学基础 流体动力学研究流体在外力作用下的运动规律 即流体的运动参数与所受力之间的关系 本章主要介绍流体动力学的基本知识 推导出流体动力学中的几个重要的基本方程 连续性方程 动量方程和能量方程 这些方程是分析流体流动问题的基础 与工程流体力学的各部分均有一定的关联 因而本章是整个课程的重点 简单地说 就是三大守恒定律 质量 动量 能量守恒在流体力学中的体现形式 5 三大守恒定律 动力学三大方程 推广到流体中 流体动力学基础 4 1系统与控制体 SystemandControlVolume 7 系统 体系 流体动力学基础 工程热力学 闭口系统或开口系统 理论力学 质点 质点系和刚体 研究对象 均以确定不变的物质集合作为研究对象 8 系统 质量体 在流体力学中 系统是指由确定的流体质点所组成的流体团 如图所示 系统以外的一切统称为外界 系统和外界分开的真实或假象的表面称为系统的边界 定义 流体动力学基础 Lagrange方法 9 1 一定质量的流体质点的合集 2 系统的边界随流体一起运动 系统的体积 边界面的形状和大小可以随时间变化 3 系统的边界处没有质量交换 即没有流体流进或流出系统的边界 4 在系统的边界上受到外界作用在系统上的表面力 5 在系统的边界上可以有能量交换 即可以有能量输入或输出系统的边界 特点 流体动力学基础 10 多数流体力学实际问题中 对个别流体质点或流体团的运动及其属性并不关心 而更关心流体对流场中的物体或空间中某体积的作用和影响 系统 拉格朗日观点 应采用欧拉观点处理上述问题 流体动力学基础 11 控制体的边界面称为控制面 它总是封闭表面 定义 相对于某个坐标系来说 有流体流过的固定不变的任何空间的体积称为控制体 流体动力学基础 控制体 开系统 Euler方法 12 控制面的几何外形和体积是相对流动情况和边界条件选定的控制面相对于坐标系是固定的 在控制面上可以有质量交换 即可以有流体流进或流出控制面 在控制面上受到控制体以外物体施加在控制体内流体上的力 动量交换 在控制面上可以有能量交换 即可以有能量输入或输出控制面 控制面的特点 流体动力学基础 13 t时刻 t t时刻 系统 控制体 流体动力学基础 14 定义 控制体内某物理量的总和随时间的增长率称为局部导数定义 质量体内某物理量的总和随时间的增长率称为随体导数 随体导数 局部导数 质量体 控制体 经典定理应用方便 研究实际问题方便 输运公式 流体动力学基础 随体导数和局部导数 15 流体动力学基础 4 2雷诺输运定理 ReynoldsTransportEquation 17 回忆 物质导数是反映流体质点某一物理量对时间的变化率 即观察者随流体质点一起运动时看到的物理量变化率 也可称为质点导数或随体导数 流体质点的物质导数的欧拉变量表达式 借助雷诺输运定理 如何用欧拉变量表达式来表示对系统体积分的物质导数 流体动力学基础 18 定理 任意时刻 质量体内物理量的随体导数等于该时刻形状 体积相同的控制体内物理量的局部导数与通过该控制体表面的输运量之和 质量体 控制体 任一物理量 控制体表面外法向单位向量 雷诺输运定理 流体动力学基础 19 将拉格朗日法求系统内物理量的时间变化率转换为按欧拉法去计算的公式 推导过程 符号说明 B t时刻该系统内流体所具有的某种物理量 如质量 动量等 单位质量流体所具有的物理量 系统所占有的空间体积 控制体所占有的空间体积 t时刻 t t时刻 II II III II II I 雷诺输运定理 流体动力学基础 20 流体动力学基础 V II III V II I t 0 II II 21 流体动力学基础 22 流体动力学基础 第一项就是控制体内的当地时间变化率 第二项是 t时间内 流体通过控制面随着流体流入而带进来的相应物理量除以 t 第二项是 t时间内 流体通过控制面随着流体流出而带出去的相应物理量除以 t 23 流体动力学基础 控制体内物理量的变化率 流进流出控制体的净流通量 物理量的总导数 Reynolds输运定理表明 某个瞬间时刻 以某个控制体作为体系的系统中 某物理量的总量 其随流导数等于控制体内的该总量的当地时间变化率 加上从控制面上净输出的该物理量的通量 24 推导 流体动力学基础 另一种证明 25 把一个有限体积内流体的质点导数转化为Euler描述下的控制体导数 提供了一个Lagrange描述的质点力学向Euler描述的流体力学转换的桥梁 系统内部的某一物理量的时间变化率是由两部分组成 等于控制体内的该物理量的时间变化率加上单位时间内通过控制面的该物理量的净通量 雷诺输运定理的作用 流体动力学基础 26 在定常流动条件下 有也就是说 系统内物理量的变化只与通过控制面的流动有关 而与控制内的流动无关 大大简化了研究内容 流体动力学基础 4 3连续性方程 ContinuityEquation 28 当流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲面时 可以断定 1 若在某一定时间内 流出的流体质量和流入的流体质量不相等时 则这封闭曲面内一定会有流体密度的变化 以便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间 流体动力学基础 连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用 前提 流体是连续介质 它在流动时连续地充满整个流场 29 2 如果流体是不可压缩的 则流出的流体质量必然等于流入的流体质量 上述结论可以用数学方程式来表达 称为连续性方程 流体动力学基础 由哈维发现的人体血液循环理论是流体连续性原理的例证 30 雷诺输运公式可用于任何分布函数B 如密度分布 动量分布 能量分布等 令 1 由系统的质量不变可得连续性方程 积分形式的连续性方程 流体动力学基础 由流体系统满足质量守恒得 31 系统质量变化率 流出控制体的质量流率 控制体内质量变化率 流体动力学基础 上式表明 通过控制面净流出的质量流量等于控制体内流体质量随时间的减少率 在推导上式的时候 未作任何假设 因此只要满足连续性假设 上式总是成立的 32 固定的控制体对固定的CV 积分形式的连续性方程可化为 运动的控制体将控制体随物体一起运动时 连续性方程形式不变 只要将速度改成相对速度vr 流体动力学基础 33 1 对于均质不可压流体 const 可适用于均质不可压流体的定常及非定常流动 连续方程的简化 连续方程简化为 流体动力学基础 34 可适用于可压 不可压流体的定常流动 连续方程简化为 2 对于定常流动 流体动力学基础 35 出 入口截面上的质流量大小为设 流体动力学基础 有多个出入口 一般式 3 沿流管的定常流动 36 设出入口截面上的体积流量大小为Q VA 流体动力学基础 4 沿流管的不可压缩流动 一般式 有多个出入口 37 5 一维流 一维定常流不可压为什么河道窄的地方水流湍急 为什么水管捏扁了速度快 流体动力学基础 38 流体动力学基础 Ql Q2 Q3 Ql Q2 Q3 有汇流或分流的情况 39 解题的一般方法和步骤选取恰当的坐标系 使得在该坐标系中相对流动是定常的 选取恰当的控制体 控制体的界面上包括要求的未知量和尽可能多的已知量 一般可选固体壁面或流面作为控制面 使得在其上输运量为零或可求 积分型守恒方程的应用 流体动力学基础 40 解题的一般方法和步骤在控制面上物理量均匀分布 易求积分 动量方程是矢量方程 三个坐标方向三个方程 完整写出控制体上受外力 外力具有代数正负 与坐标方向一致为正 流体动力学基础 41 4 3 1 所有管截面均为圆形 d1 2 5cm d2 1 1cm d3 0 7cm d4 0 8cm d5 2 0cm 平均流量分别为Q1 6l min Q3 0 07Q1 Q4 0 04Q1 Q5 0 78Q1求 Q2及各管的平均速度 解 取图中虚线所示控制体 有多个出入口 液按不可压缩流体处理可得 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q2 Q1 Q3 Q4 Q5 Q1 0 07 0 04 0 78 Q 0 11Q1 0 66l min 流体动力学基础 42 各管的平均速度为 流体动力学基础 43 例4 3 2 思考题 要使注射器稳定地以300cm3 min注射 问推进速度Vp 已知Ap 500mm2关键 选控制体 流体动力学基础 44 利用Gauss公式来证明 流体动力学基础 微分形式的连续方程 45 在流场内取一固定不动的平行六面体微元控制体 并建立合适的坐标系 选取适当的微元控制体 分析系统 微元控制体 的流动 受力等情况 分析包括控制体内的物理量变化及受力 控制面上流入 流出的物理量流率以及受力等 并注意各物理量的正负号 列出守恒方程 整理 简化 如质量守恒方程 动量定理方程及能量守恒方程等 微分形式的连续方程的推导二 流体动力学基础 46 在流场的任意点处取微元六面体 如图所示 六面体中的质量随空间和时间变化 流体动力学基础 微分形式的连续方程的推导二 47 1 空间变化 对于x轴方向 单位时间流入微元六面体的质量为流出的质量为X方向其质量增加为 流体动力学基础 48 同样y z轴方向的质量增加分别为 流体动力学基础 2 时间变化 微元控制体内流体质量增长率 49 3 根据质量守恒定律流体运动的连续方程式为 流体动力学基础 50 物理意义 空间上流入流出质量的增加量应该等于由于密度变化而引起的质量增加量 流体动力学基础 连续方程两种形式 51 简化 1 定常压缩性流体 t 0 则连续方程变为 流体动力学基础 适用范围 理想 实际 可压缩 不可压缩的恒定流 52 2 非压缩性流体 常数 则连续方程变为上式为不可压缩流体三维流动的连续性的方程 它的物理意义是 在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零 也就是说 在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等 流体动力学基础 上式三项之和为流体的体积变形率 膨胀率或收缩率 即单位时间内单位流体的膨胀量或缩小量 也就是说不可压缩流体的体积变形率为零 它的体积不会发生变化 53 在柱坐标系中 连续方程式为式中ur u uz是速度u在r z坐标上的分量 流体动力学基础 在球坐标系中 连续方程式为 其它坐标系的连续方程 4 7动量方程 MomentEquation 55 动量方程是动量定理 牛顿第二定律 在流体力学中的具体体现 它反映了流体运动的动量变化与作用力之间的关系 对于积分形式的动量方程其优点在于不必知道流动范围内部的过程 而只需要知道边界面上的流动情况即可 根据牛顿定律 质量体内动量的变化率等于该瞬间作用在质量体上的外力之和 流体动力学基础 只适用于惯性系 56 将雷诺输运定理应用于流体系统的动量定理公式中 流体动力学基础 动量方程 系统动量变化率 流出控制体的净动量流率 控制体内动量变化率 系统所受合外力 Ff 质量力 Fs 表面力 57 注意 1 动量方程是三维的 2 外力的各分量 以及各速度分量均有正 负 其取决于坐标轴方向的选择 3 矢量点积 V n ds也存在正负之分 流出为正 流入为负 流体动力学基础 在dt时间内 作用在控制体内流体上的合外力等于同时间间隔内从控制体净流出的流体动量与控制体内流体动量对时间的变化率之和 58 在流场中选择一个控制体 如图中虚线所示 使它的一部分控制面与要计算作用力的固定边界重合 其余控制面则视取值方便而定 控制体一经选定 其形状 体积和位置相对于坐标系是不变的 流体动力学基础 控制体动量定理另一种证明方法 59 设t时刻流体系统与控制体V重合 且控制体内任意空间点上的流体质点速度为 密度为 则流体系统在t时刻的初动量为 经过时刻以后 原流体系统运动到实线所示位置 这个流体系统在时刻的末动量为 流体动力学基础 60 式中 非原流体系统经控制面A1流入的动量 原流体系统经控制面A2流出的动量 控制体的全部控制面 于是 欧拉法表示的动量方程 流体动力学基础 61 式中 流体动力学基础 62 1 合力 是指作用在控制体上的质量力 正应力的和除正压力 质量力之外的一切外力之和 流体动力学基础 动量方程各项的简化 质量力 不考虑剪切力 也就是表面力只有正应力 63 2 净动量流率量 动量流进流出控制体的总和 流体动力学基础 一般流动是三维的 但可以简化为二维 一维流动加修正 3 定常流动 64 定常总流流束如图所示 把流线方向取为自然坐标s的正向 取如图中虚线所示的总流流束为控制体 则总控制体表面上有动量交换 令这两个过流断面上的平均速度为v1 v2 流体动力学基础 定常总流的动量方程 动量方程的简化 去掉时间偏导数 65 流体动力学基础 由于按平均流速计算得到的动量变化量和以实际流速计算的动量变化量是不同的 故引入一个动量修正系数 加以修正 根据实验测定值约为1 02 1 05 近似于l 所以为计算方便 在工程计算中通常取 1 不可压缩流体 控制体动量方程可化简为 66 流体动力学基础 一维流 具有多个一维出入口的控制体 67 注意 1 控制体的选取 2 或代表流出平均速度矢量 或代表流入平均速度矢量 3 动量方程中的负号是方程本身具有的 和在坐标轴上投影式的正负与坐标系选择有关 4 包含所有外力 大气压强 流体动力学基础 68 定常时 匀速运动控制体 坐标系固定在匀速运动的控制体上 是相对速度 输运公式为 有多个一维出入口时 为作用在控制体上的合外力 流体动力学基础 69 在定常流动中 可以有某一段流体进 出口的流速变化 而不需要知道这一流段的内部情况 就可以求出流体所受外力的合力 即管壁对流体的作用力 从而求出流体对管壁的作用力 动量方程是一个矢量方程 所以应用投影方程比较方便 应用时应注意 适当地选择控制面 完整地表达出控制体和控制面上的外力 并注意流动方向和投影的正负等 流体动力学基础 动量定理的应用 70 控制体应包括动量发生的全部流段 即应对总流取控制体 控制体的两端断面要紧接所要分析的流段 控制体的边界一般沿流向由固体边壁 自由液面组成 垂直于流向则由过流断面组成 注意速度 流率的正 负 动量方程的应用步骤 选取适当的过流断面与控制体 建立适当的坐标系 投影轴可任意选取 以计算方便为宜 分析系统 控制体 的受力情况 注意 不要遗漏 并以正负号表明力的方向 横界面压力的计算 分析控制体动量变化 列动量方程 结合使用连续性方程及伯努利方程等求解 流体动力学基础 71 如下图表示一水平转弯的管路 由于液流在弯道改变了流动方向 也就改变了动量 于是就会产生压力作用于管壁 因此在设计管道时 在管路拐弯处必须考虑这个作用力 并设法加以平衡 以防管道破裂 流体动力学基础 1 流体作用于弯管的力 72 现在我们用动量方程来确定这种作用力 在x y方向上分别应用动量方程 首先看x轴 流体动力学基础 沿x轴方向的动量变化为 以流出动量为正 流入为负 1截面动量 2截面动量 总动量变化 73 沿x轴方向的作用力 流体动力学基础 上面应用了连续性方程 u1 u2 u 沿x轴方向的作用力总和为 1截面所受力 2截面所受力 壁面对水的作用力 74 同理 对于y轴方向有 从以上公式可求出与 从而可以计算R 代入动量方程有 流体动力学基础 75 注意 若求解所取流体系统对壁面的作用力 则取绝对压强 若求管 板 的受力 则选择表压强 必须注意 如果要考虑弯管的受力 因为弯管放置在大气中 所以管外侧受到大气压的作用 考虑互相抵消的问题 根据反作用力原理 流体对管壁的作用力为 流体动力学基础 76 弯管受力分析的扩展 已知 无粘理想流体 已知进 出口的P V A不计重力求水对弯头的作用力 x y方向分别考虑 流体动力学基础 77 流体动力学基础 如左图的容器在液面下深度等于h处有一比液面面积小得多的出流孔 其面积为A 在出流孔很小的前提下 假使只就一段很短的时间来看 其出流过程就可以当作近似的稳定流看待 这时理想流体的出流速度是 2 射流的背压 反推力 这一瞬时 容器由流体水平方向的动量变化将决定于单位时间内由容器流出来的动量 78 表明 射流反推力 背压 的大小恰好等于出流孔处的流体静压力的两倍 如果容器能够运动 射流就可能克服容器移动的阻力 而使容器向流体射出速度的反方向运动 火箭 卫星 飞机等运动原理 流体动力学基础 根据动量定理 这一动量变化当然在大小上 方向上 位置上恰好等于器壁在水平方向加在流体上的压力合力 流动流体则反过来对容器壁上作用一个方向与出流速度相反的水平推力 这个力的大小也就等于容器内流体的动量变化率 即 79 流体动力学基础 3 求射流对弯曲对称叶片的冲击力计算公式 解 1 对于喷嘴和叶片均为固定的情况 射流的压强等于周围气体的压强 根据能量方程式 如果不计水头损失 各断面流速值应保持不变 80 流体动力学基础 81 4 喷嘴的受力 已知 无粘不可压流体p1 V1 A1和Ae 不计流体重力1 求气体对喷嘴的冲击力2 求螺栓受力 思考 如何确定速度Ve 流体动力学基础 4 4理想流体的运动微分方程 Themomentequationofideafluid 83 考虑如下图所示的边长为dx dy dz的微元直角六面体 其中角点A坐标为A x y z 作用在此直角六面体上的外力有两种 表面压力和质量力 对于理想流体 忽略剪切力 只有正压强体积力一般只考虑重力 设在x y z轴方向上的单位质量力为fx fy fz 理想流体的运动微分方程 积分形式的动量方程 不涉及流体内部受力 现在我们分析一下流体微团的受力及运动之间的动力学关系 建立理想流体动力微分方程 即欧拉方程 流体动力学基础 84 作用在流体微元上的力 流场中的分布力 表面力 切向应力 重力场 重力势 法向应力p 单位质量流体 体积力 重力 惯性力 单位体积流体 电磁力 流体动力学基础 85 设中心点M的坐标为x y z 压强为p 只考虑x轴方向受力分析 和 表面力为 质量力为 利用泰勒级数 ABCD和EFGH中心点处的压强分别为 惯性力为 欧拉运动微分方程 流体动力学基础 86 根据牛顿第二定律得x方向的运动方程式为 上式简化后得 同理可得 流体动力学基础 87 展开随体导数 则有 上面二式即是理想流体运动的微分方程式 也叫做欧拉运动微分方程式 流体动力学基础 欧拉方程组 88 流体动力学基础 流动定常时Euler方程为 式中x y z t为四个变量 为x y z t的函数 是未知量 也是x y z的函数 一般是已知的 4 4伯努利方程及其应用 BernoulliEquation 90 在一般情况下 作用在流体上的质量力fx fy和fz是已知的 对理想不可压缩流体其密度 为一常数 在这种情况下 上面方程组中有四个未知数u v w和p 而已有三个方程 再加上不可压缩流体的连续性方程 从理论上就可以求解这四个未知数 运用上面得到的运动微分方程求解各种流动问题时 需要对运动方程进行积分 但由于数学上的困难 目前还无法在一般情况下进行 下面先讨论在恒定条件下理想流体运动方程沿流线的积分 流体动力学基础 Euler运动微分方程组 91 1 无粘 理想 动量方程 流体动力学基础 伯努利方程的导出 2 定常流动 利用变换 92 改写成 流体动力学基础 伯努利方程的导出 3 沿流线 假设流体微团沿流线的微小位移dl在三个坐标轴上的投影为dx dy和dz 成立条件 沿同一流线 无旋w 0 93 注意到 流体动力学基础 伯努利方程的导出 4 只考虑重力场 94 积分 流体动力学基础 伯努利方程的导出 5 不可压 广义伯努利方程 伯努利方程 95 动能定理 某一运动物体在某一时段内的动能增量 等于在该时段内作用于此物体上所有的力所做的功之和 元流段的动能增量 重力所作的功为 根据动能定理 压力所作的功为 得 4 18 用微元流束分析法推导出不可压缩均质理想流体恒定元流的伯努利方程 流体动力学基础 96 Bernoulli方程 成立条件1 无粘理想流体2 定常流3 沿同一流线4 重力场5 不可压 正压流场 流体动力学基础 单位质量流体 单位体积流体 单位重量流体 97 有旋 沿同一流线积分同一流线常数相等 不同流线常数不同 流体动力学基础 Bernoulli方程 特例静止流体 V 0 即静力学基本方程 无旋流场所有常数都相等 98 Bernoulli方程的物理意义 不可压理想流体在重力场中作定常流动时 同一流线上各点的单位重量流体的总机械能时守恒的 但动能 压力势能和位置势能是可以相互转换的 流体动力学基础 动量方程沿流线积分而来 能量方程 单位重量流体所具有的重力势能 单位重量流体的动能 单位重量流体的压力能 99 Bernoulli方程的几何意义 不可压理想流体在重力场中作定常流动时 同一流线上各点的单位重量流体的总水头为常数 但位置水头 压力水头和速度水头是可以相互转换的 流体动力学基础 各项单位都是米 工程流体力学称为水头 z 单位重量流体的位置水头P pg 单位重量流体的压力水头v2 2g 单位重量流体的速度水头 100 流体动力学基础 101 理想流体微元流束的伯努利方程 在工程中广泛应用于管道中流体的流速 流量的测量和计算 伯努利方程的应用 流体动力学基础 皮托管 小孔出流 虹吸管 文丘里流量计 102 流体动力学基础 一 皮托管 皮托 Pitot 管是指将流体动能转化为压能 进而通过测压计测定流体运动速度的仪器 常用于测量河道 明渠 风管中的流速 还可测量物体在流体中的运动速度 如船舶 飞机等的航行速度的测量 常用的是由装有一半圆球探头的双层套管组成 并在两管末端联接上压差计 探头端点A处开一小孔与内套管相连 直通压差计的一肢 外套管侧表面沿圆周均匀地开一排与外管壁相垂直的小孔 静压孔 直通压差计的另一肢 测速时 将皮托管放置在欲测速度的恒定流中某点A 探头对着来流 使管轴与流体运动的方向相一致 流体的速度接近探头时逐渐减低 流至探头端点处速度为零 103 皮托管测量原理示意图 流体动力学基础 104 流体动力学基础 皮托管有简单和复合之分 其机构如图所示 复合毕托管1 2 105 设测速管中上升的液柱高h 其流速为零 形成一个驻点A 驻点A的压强PA称为全压 在入口前同一水平流线未受扰动处 例如B点 的液体压强为PB 速度为V 应用伯努利方程于同一流线上的 两点 则有 简易皮托管是依据驻点流速为零 其动能转变为压力能 从而使管内液面上升的原理设计成的 流体动力学基础 a 简易皮托管 106 V B A Z Z 简易皮托管测速原理 流体动力学基础 107 上式表明 只要测量出流体的运动全压和静压水头的差值h 就可以确定流体的流动速度 由于流体的特性 以及皮托管本身对流动的干扰 实际流速比上式计算出的要小 因此 实际流速为 式中 流速修正系数 一般由实验确定 0 97 流体动力学基础 108 如果测定气体的流速 则无法直接用皮托管和静压管测量出气柱差来 必须把两根管子连接到一个 形差压计上 从差压计上的液面差来求得流速 如下图所示 则 流体动力学基础 代入前式有 用皮托管和静压管测量气体流速 109 流体动力学基础 工程中使用的皮托管都必须经过严格标定 说明测量条件和流体种类 而且在安装时应按说明书要求去做 以减少测量误差 在工程应用中多将静压管和皮托管组合成一件 称为皮托 静压管 又称动压管 由差压计给出总压和静压的差值 从而测出测点的流速 b 复式皮托管 110 例 复式皮托测速管 已知 设皮托管正前方的流速保持为v 静压强为p 流体密度为 U形管中液体密度 m 求 用液位差 h表示流速v a AOB线是一条流线 常称为零流线 沿流线AO段列伯努利方程 解 设流动符合不可压缩无粘性流体定常流动条件 流体动力学基础 111 b 端点O v0 0 称为驻点 或滞止点 p0称为驻点压强 由于zA z0 可得 流体动力学基础 称为动压强 p0称为总压强 AB的位置差可忽略 c 112 因vB v 由上式pB p 在U形管内列静力学关系式 由 c d 式可得 k称为毕托管系数 由 e 式可得 d e 流体动力学基础 113 假设容器非常大水位近似恒定 且薄壁出流 也就是锐缘孔口出流 流体与孔壁只有周线上接触 孔壁厚度不影响射流形态 求出流速度 流体动力学基础 二 小孔出流 托里拆里公式及缩颈效应 例 已知 图示一敞口贮水箱 孔与液面的垂直距离为h 淹深 设水位保持不变 求 1 出流速度v 2 出流流量Q 114 小孔出流 托里拆里公式及缩颈效应 1 设流动符合不可压缩无粘性流体定常流动条件 解 从自由液面上任选一点1画一条流线到小孔2 并列伯努利方程 a 流体动力学基础 115 液面的速度可近似取为零v1 0 液面和孔口外均为大气压强p1 p2 0 表压 由 a 式可得 b 2 在小孔出口 发生缩颈效应 设缩颈处的截面积为Ae 缩颈系数 小孔出流量 流体动力学基础 116 收缩系数 与孔口边缘状况有关 实际孔口出流应乘上一速度修正系数k 1 上式中 k 称为流量修正系数 由实验测定 内伸管 0 5 流线型圆弧边 1 0 锐角边 0 61 流体动力学基础 117 讨论3 各种影响因素 由于粘性作用 流体动力学基础 大孔 取一条流线为准定常流 然后积分 由于孔的形状 孔壁的厚薄 速度系数 面积收缩系数 118 b 小孔出流的扩展 虹吸管分析管最高点2处的压力假设 H恒定 1 2截面的压力P1 2 Pa pgh 水流会变细 流体动力学基础 119 例 流体动力学基础 120 三 虹吸管 具有自由面的液体 通过一弯管使其绕过周围较高的障碍物 容器壁 河堤等 然后流至低于自由液面的位置 这种用途的管子成为虹吸管 这类现象称虹吸现象 右图为一虹吸管的示意图 该虹吸管从水槽中吸水 再从右下端出口流出 假定水槽很大 在虹吸过程中自由水面的下降速度为零 且不计流体的粘性 因此 该问题可用理想不可压缩流体的一元定常流动模型来近似 流体动力学基础 121 分别选取水槽的自由水面 最高位置截面 出口截面为计算表面 位置高度基准取在水槽自由面处 对1 3截面列伯努利方程得 对2 3截面列伯努利方程得 因此 因此 流体动力学基础 122 从虹吸管流速公式可知 引起虹吸管内流动的能源来自于其出口与自由液面间的高度差 即由重力势能转换而来 因此 从理论上讲 高度差L越大 则流速越大 从最高截面处压力公式发现 其最高截面处压强小于当地大气压 且其真空度等于 H L 可见 当最高截面至自由液面的高度差H达到一定值时 最高截面处压强已等于水流在该温度下的饱和蒸汽压 水将沸腾并产生大量蒸汽 破坏了流动的连续性 虹吸管不能正常工作 注意 液体中常溶解有气体 当压强降低到一定程度时 此时压强一般高于该状态下的饱和蒸汽压 气体会释放出来形成气穴 在变截面管道流动 流速较高或位置较高的流动区域会发生类似现象 流体动力学基础 123 例 一个虹吸管 已知a 1 8m b 3 6m 水自池引至C端流入大气 若不计损失 设大气压为10m水柱 求 1 管中流速及B点之绝对压力 2 若B点绝对压力下降到0 24m水柱以下时 将发生汽化 如C端保持不动 问欲不发生汽化 a不能超过多高 解 以C端及水面列出伯努利方程 水面处流速近似为零 出口端压力近似为大气压 则立即有即 流体动力学基础 124 再对水面及B端实用伯努利方程 得为使B点不发生汽化 必须因此 流体动力学基础 125 Bernoulli方程的求解应用 1分析是否满足成立条件不可压 重力场易满足可以忽略粘性 加修正定常2选取一根流线定常时可以选迹线3确定流线上两点高度 速度 压力等两点位置尽量选容易确定的 如出口 自由面等 流体动力学基础 126 伯努利方程是流体力学的基本方程之一 与连续性方程和流体静力学方程联立 可以全面地解决一维流动的流速 或流量 和压强的计算问题 用这些方程求解一维流动问题时 应注意下面几点 1 弄清题意 看清已知什么 求解什么 是简单的流动问题 还是既有流动问题又有流体静力学问题 2 选好有效截面 选择合适的有效截面 应包括问题中所求的参数 同时使已知参数尽可能多 有效截面通常选在大容器的自由液面或者大气出口截面 流体动力学基础 伯努利方程应用时特别注意的几个问题 127 3 选好基准面 基准面原则上可以选在任何位置 但选择得当 可使解题大大简化 通常选在管轴线的水平面或自由液面 要注意的是 基准面必须选为水平面 4 求解流量时 一般要结合一维流动的连续性方程求解 伯努利方程的p1和p2应为同一度量单位 同为绝对压强或者同为相对压强 p1和p2的问题与静力学中的处理完全相同 5 有效截面上的参数 如速度 位置高度和压强应为同一点的 绝对不许在式中取有效截面上 点的压强 又取同一有效截面上另一点 的速度 流体动力学基础 128 例 有一贮水装置如图所示 贮水池足够大 当阀门关闭时 压强计读数为2 8个大气压强 而当将阀门全开 水从管中流出时 压强计读数是0 6个大气压强 试求当水管直径d 12cm时 通过出口的体积流量 不计流动损失 流体动力学基础 129 解 当阀门全开时列1 l 2 2截面的伯努利方程 流体动力学基础 当阀门关闭时 根据压强计的读数 应用流体静力学基本方程求出 值 130 所以管内流量 流体动力学基础 代入到伯努利方程 131 例 水流通过如图所示管路流入大气 已知 形测压管中水银柱高差 h 0 2m h1 0 72mH2O 管径d1 0 1m 管嘴出口直径d2 0 05m 不计管中水头损失 试求管中流量qv 流体动力学基础 132 解 首先计算1 1断面管路中心的压强 因为A B为等压面 列等压面方程得 流体动力学基础 列1 1和2 2断面的伯努利方程 133 由连续性方程 流体动力学基础 管中流量 将已知数据代入上式 得 134 其中 积分得通过总流两过流断面的总机械能之间的关系式为 在工程实际中要求我们解决的往往是总流流动问题 如流体在管道 渠道中的流动问题 因此还需要通过在过流断面上积分把它推广到总流上去 将伯努利方程各项同乘以 gdQ 则单位时间内通过微元流束两过流断面的全部流体的机械能关系式为 流体动力学基础 总流上的伯努利方程 135 其中 1 它是单位时间内通过总流过流断面的流体位能和压能的总和 在急变流断面上 各点的不为常数 积分困难 在渐变流断面上 流体动压强近似地按静压强分布 各点的为常数 因此 若将过流断面取在渐变流断面上 则积分 流体动力学基础 136 2 它是单位时间内通过总流过流断面的流体动能的总和 由于过流断面上的速度分布一般难以确定 工程上常用断面平均速度来表示实际动能 即 式中为动能修正系数 工程计算中常取 流体动力学基础 137 将上述两式代入原方程中 考虑到稳定流动时 Q1 Q2 Q3 化简后得 这就是理想流体总流的伯努利方程 式中 因此实际流体总流的伯努利方程为 实际流体有粘性 由于流层间内摩擦阻力作功会消耗部分机械能转化为热能 流体动力学基础 138 实际流体总流的伯努利方程 流体动力学基础 139 总流伯努利方程的应用 例题 一救火水龙带 喷嘴和泵的相对位置如图所示 泵出口压力 A点压力 为2个大气压 表压 泵排出管断面直径为50mm 喷嘴出口C的直径20mm 水龙带的水头损失设为0 5m 喷嘴水头损失为0 1m 试求喷嘴出口流速 泵的排量及B点压力 1 一般水力计算 流体动力学基础 140 解 取A C两断面写能量方程 通过A点的水平面为基准面 则 在大气中 水的重度重力加速度 水柱 即 将各量代入能量方程后 得 流体动力学基础 141 解得喷嘴出口流速为 而泵的排量为 为计算B点压力 取B C两断面计算 即 通过B点作水平面基准面 则 代入方程得 解得压力 流体动力学基础 142 2 节流式流量计 下面以文丘里管为例 推导流量计算公式 文丘利管是一种测量有压管道中流体流量的仪器 它由光滑的收缩段 喉道和扩散段三部分组成 如图所示 当管路中液体流经节流装置时 液流断面收缩 在收缩断面处流速增 压力降低 使节流装置前后产生压差 基本原理 分类 孔板 喷嘴和圆锥式 文丘里管 流体动力学基础 图文丘里流量计 143 取断面1 1和2 2 计算点均取在管道上 基准面0 0置于管道下方某一固定位置 并取 对1 1 2 2两过流断面列总流的伯努利方程有 由连续性方程可得 联立上面二式可得 流体动力学基础 a 144 故通过流量计的体积流量为 考虑到流体粘性的影响 上式右端需乘以一个流量修正系数 则 流体动力学基础 一般地 z1 z2 b 145 A1 A2截面上为缓变流 压强分布规律与U形管内静止流体一样 可得 3 5 位于等压面上 p3 p5 由压强公式 及 c d 将上两式代入 d 式可得 e 流体动力学基础 146 将 c e 式代入 a 式 整理后可得 f 可得大管的平均速度为 上式中 称为流速系数 文丘里管的流量公式为 流体动力学基础 综合利用伯努利方程 连续性方程和动量定理的例题 148 例 弯曲喷管受力分析 压强合力的影响 已知 设固定的收缩管的前半部向下弯曲 偏转角为 A0 0 00636m2 Q 0 02m3 s d0 9cm d3 2cm 出口端水喷入大气 忽略重力作用 求 1 水流对喷管的作用力F的表达式 2 若 30 求水流对喷管的作用力 解 1 只包含水流的控制体 2 建立如图所示坐标系oxy 流体动力学基础 149 3 由一维不可压缩流体连续性方程 流体动力学基础 4 由伯努利方程 因相对压强p3 0 p0 395332 85pa 150 5 由一维定常流动动量方程 设水对喷管的作用力F如图所示 本例中对控制体的合外力包括喷管对水流的反作用力 F和压强合力 作用在控制面上的压强用表压强表示 本例中入口截面压强为p0 方向沿x轴正向 出口截面压强为零 1 F的表达式为 2 设 30 F在x y方向的分量式为 流体动力学基础 151 流体动力学基础 152 Bernoulli方程的扩展 忽略重力作用匀速转动下 水轮机 水泵和风机 离心力有能量输入 出粘性流体的伯努利方程 流体动力学基础 153 沿流束的水头形式 常数 沿流线的不可压缩流体不定常流欧拉运动方程 不定常伯努利方程 沿流线从位置1积分到位置2 沿流线 流体动力学基础 能量方程 EnergyEquation 155 能量方程的本质是体系 系统 中的能量守恒定理 惯性参考系中 在控制体上的表现 由流体系统的能量守恒定理得 其中 了解 流体动力学基础 遵照热力学第一定律 质量体内总能量的变化率等于单位时间内外力对质量体所做的功和由外界输入质量体内的热量之和 156 单位质量流体所具有的能量 外界和系统间传递的热量流率 向系统传热为正 外界与系统间做功功率 对系统做功为正 流体动力学基础 方程左端是流体的内能 右端第一项是体积力做功 第二项是表面力做功 第三项是热源 第四项是外界传入的热量 再加上其它外界功 具体到流体系统有 157 按雷诺输运公式 把随体导数写出局部导数 为单位质量流体储存能 为外界输入控制体的传热率 为控制体内流体对外所做功率 控制体内总能量的变化率 通过控制面流入的能量 外力所做的功 外界所传导的热量 流体动力学基础 158 外界做功和热的交换用Q W来表示 能量方程的简化 定常流动 理想无粘流体 表面力为正应力 体积力只有重力 一维定常流形式 流体动力学基础 159 能量方程与伯努利方程的比较 单位质量流体一维定常流动能量方程 有用功 比热能率 比轴功率 比摩擦功率 流体动力学基础 不考虑外界热量和做功 1 可压缩流体绝热流动 q 0 ws wv 0 忽略重力 160 能量方程与伯努利方程的比较 2 不可压缩粘性流体 Ws Wv 0 水头形式 称为水头损失 与粘性耗散有关 流体动力学基础 3 不可压缩理想流体 伯努利方程 4 7角动量定理 MomentEquation 162 设为某参考点至流体速度矢量的作用点的矢径 则用此矢量对动量方程两端进行矢性积运算 可得动量矩方程为 流体动力学基础 在一般力学中 一个物体单位时间内对转动轴的动量矩的变化 等于作用于此物体上所有外力对同一轴的力矩之和 这就是动量矩定理 163 等式左端是控制体上合外力对于坐标原点的合力矩 等式右端第一项是控制体内动量矩对时间的变化率 在定常流动时 第一项等于零 等式右端第二项是通过控制面流出与流入的流体动量矩之差 或通过控制面的净动量矩 流体动力学基础 1 对定轴定常旋转流场 外力矩仅考虑轴距Ts 动量矩方程为 164 欧拉涡轮机方程 转子平面投影式 流体动力学基础 3 当控制体固结于匀速旋转的转子上时 忽略重力和表面力 动量矩方程为 式中为相对速度 向心加速度 柯氏加速度 165 现以定转速的离心式水泵或风机为例来推导叶轮机中的定常流动的动量矩方程 如图所示 取叶轮出 入口的圆柱面与叶轮侧壁之间的整个叶轮流动区域为控制体 1 入口 2 出口 牵连速度 流体在叶轮内的相对速度 流体的绝对速度 流体动力学基础 166 假定叶轮叶片数目无限多 每个叶片的厚度均为无限薄 则流体在叶片间的相对速度必沿叶片型线的切线方向 于是将动量矩方程式用于叶轮机时 需用绝对速度代替质点速度 由于定常运动 故得叶轮机中的定常流动的动量矩方程 由上图中所示的速度三角形可以看出 因而动量矩可以写成 流体动力学基础 167 因为叶轮机的角速度为 故叶轮机的功率 或单位重量流体所作的功为 这是泵与风机的基本方程 它首先由欧拉在1754年得到 故又称欧拉方程 对于涡轮类机械 如水轮机等 流体从叶轮外缘2流入内缘1 基本方程为 流体动力学基础 168 例 混流式离心泵 固定控制体动量矩方程 已知 一小型混流离心泵如图 d1 30mm d2 100mm b 10mm n 4000转 分 vr2 3m s 求 1 输入轴矩Ts 2 输入轴功率 解 取包围整个叶轮的固定控制体CV 忽略体积力和表面力 设流动是定常的 由连续性方程可得 流体动力学基础 169 V 1 0 由欧拉涡轮机方程 输入功率为 叶轮旋转角速度为 2 n 60 2 4000 60 418 88 1 s 出口切向速度为 V 2 R2 d2 2 418 88 0 1 2 20 94 m s 流体动力学基础 170 已知 洒水器示意图 R 0 15m 喷口A 40mm2 30 Q 1200ml s 不计阻力 求 1 Ts 0时 旋转角速度 1 s 例 洒水器 有多个一维出入口的动量矩方程 2 n 400转 分的轴矩Ts和轴功率 解 取包围整个洒水器的控制体CV 就整个控制体而言 从平均的意义上可认为是定常的 对圆心取动量矩 当地变化率为零 流体动力学基础 171 设喷口流体的绝对速度为V 牵连速度为U及相对速度为Vr 1 设Ts 0 V 1 0 由多出口动量矩方程 流体动力学基础 不同位置上的动量矩流量迁移项中的作用是相同的 作为具有两个一维出口的定常流动处理 172 2 当n 400转 分时 400 2 60 41 89 1 s 0 3 41 89 0 15 15 cos30 1 2 1 21 N m 流体动力学基础 4 8微分形式的守恒方程 GoverningEquationindifferentialform 174 积分型方程 流动问题的总体性能关系 如合力 合力矩 总能量等 不需要考虑流场内部细节微分型方程 流场的细节 即每一时刻 每一空间点上流动参数的分布 流体动力学基础 175 微分形式的动量方程 流体应力场 1 一点的表面应力矩阵 该矩阵是对称矩阵 只有6个分量是独立的 2 应力矩阵的常用表达式 在运动粘性流体中压强 压强项 偏应力项 流体动力学基础 176 作用在流体微团上的力1 体积力设单位质量上的体积力为fx fy fz则x方向总的体积力为 fxdxdydz2 表面力利用Taylor展开 x方向的受力为 流体动力学基础 177 流入 流出流体微