离散型随机变量的均值(1).ppt

2 3 1离散型随机变量的均值 数学期望 引入 对于离散型随机变量 可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率 但在实际问题中 有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征 例如 要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平 很重要的是看平均分 要了解某班同学数学成绩是否 两极分化 则需要考察这个班数学成绩的方差 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征 最常用的有期望与方差 如果你期中考试各门成绩为 90 80 77 68 85 91那你的平均成绩是多少 算术平均数 加权平均数 你的期中数学考试成绩为70 平时表现成绩为60 学校规定 在你学分记录表中 该学期的数学成绩中考试成绩占70 平时成绩占30 你最终的数学成绩为多少 加权平均数 权 称棰 权衡轻重的数值 加权平均 计算若干数量的平均数时 考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同 分别给予不同的权数 按3 2 1的比例混合混合糖果中每一粒糖果的质量都相等如何给混合糖果定价才合理 18元 kg 24元 kg 36元 kg 定价为可以吗 你能解释在该问题中权数代表的实际含义吗 将按3 2 1混合的糖果看作总体 任取的1kg糖果看作一个样本 样本中的每个糖果看成一个个体 设样本中含有n个个体 则其中各种价钱的糖果大约各占 在样本中任取一颗糖果 权数代表该糖果是哪个价位的概率 现在混合糖果中任取一个 它的实际价格用 表示 的分布列为 合理价格 18 24 36 18 P X 18 24 P X 24 36 P X 36 代表X的平均取值 数学期望 若离散型随机变量X的分布列为 则称 EX x1p1 x2p2 xipi xnpn为随机变量X的均值或数学期望 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 理解概念 可能取值的算术平均数为 X的分布列 随机抛掷一个骰子 求所得骰子的点数X的均值 随机变量x的均值与x可能取值的算术平均数何时相等 随机变量的均值是常数 而样本的平均值随着样本的不同而变化 因而样本的平均值是随机变量 例如取糖果问题 将每次取出的糖果价格定为样本 每次取糖果时样本会有变化 样本的平均值也会跟着变化 而随机变量的均值是常数 对于简单随机样本 随着样本容量的增加 样本的平均值越来越接近总体的平均值 因此 我们常用样本的平均值来估计总体的平均值 期望的线性性质 若X是一个随机变量 则Y aX b仍然是一个随机变量 其中a b是常数 EY E aX b aEX b 例1 在篮球比赛中 如果某运动员罚球命中的概率为0 7 那么他罚球一次得分设为X X的均值是多少 解 该随机变量X服从两点分布 P X 1 0 7 P X 0 0 3所以 EX 1 P X 1 0 P X 0 0 7 如果随机变量X服从两点分布 那么EX p 例2 某射手射击所得环数的分布列如下 求n次射击的平均环数 如果这次射击中射击所得奖金与环数 的关系为 2 1 试求随机变量 的期望 探究 如果我们只关心他是否打中10环 则在他5次射击中 打中10环的次数设为X 则求X的均值 如果X服从二项分布 则EX 若X B n p 则EX np 例2 一次单元测验由20个选择题构成 每个选择题有4个选项 其中仅有一个选项是正确的 每题选对得5分 不选或选错不得分 满分100分 学生甲选对任意一题的概率为0 9 学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选出一个 分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值 解 设X1表示甲选对的题数 X2表示乙选对的题数它们都满足二项分布 X1 B 20 0 9 X2 B 20 0 25 所以 EX1 np 20 0 9 18EX2 np 20 0 25 5甲所得分数的均值为 18 5 90乙所得分数的均值为 5 5 25 解 设Y1表示甲所得分数 Y2表示乙所得分数则Y1 5X1Y2 5X2所以 EY1 E 5X1 5EX1 90EY2 E 5X2 5EX2 25 思考 甲同学一定会得90分吗 不一定 他的成绩是一个随机变量 可能取值为0 5 10 95 100 这个随机变量的均值为90分 其含义是在多次类似的考试中 他的平均成绩大约是90分 数学期望小结 EX表示X所表示的随机变量的均值 E aX b aEX b两点