立体几何中的向量方法二.ppt

教育类精品资料 3 2立体几何中的向量方法 二 温故知新 利用空间向量证明线线平行利用空间向量证明线线平行的方法 1 建立适当的坐标系 求出相应点的坐标 2 求出直线的方向向量 3 证明两向量共线 4 证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在直线上 即表示方向向量的有向线段不共线 即可得证 例2 如图所示 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB 4 AD 3 AA1 2 P Q R S分别是AA1 D1C1 AB CC1的中点 求证 PQ RS 规范解答 以D为原点 DA DC DD1所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 则P 3 0 1 Q 0 2 2 R 3 2 0 S 0 4 1 3 2 1 3 2 1 由图形易知PQ与RS不共线 所以PQ RS 利用空间向量证明线面平行利用空间向量证明线面平行的方法 方法一 先证直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面 即满足则共面 方法二 证明直线的方向向量与平面内某一向量共线 转化为线线平行 利用线面平行判定定理得证 方法三 先求直线的方向向量 然后求平面的法向量 证明方向向量与平面的法向量垂直 变式训练 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别是C1C B1C1的中点 求证 MN 平面A1BD 解题提示 可采用以下思路证明 思路一 证明与平面A1BD中的一个向量平行 思路二 利用向量共面定理 思路三 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 证明 方法一 如图所示 以D为原点 DA DC DD1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 设正方体的棱长为1 则可求得 M 0 1 N 1 1 D 0 0 0 A1 1 0 1 于是得 又DA1与MN不共线 DA1 MN 而DA1 平面A1BD MN 平面A1BD MN 平面A1BD 方法二 即可用与线性表示 故与是共面向量 平面A1BD 而MN 平面A1BD MN 平面A1BD 方法三 建立如方法一中的空间直角坐标系 B 1 1 0 于是 1 1 0 设平面A1BD的一个法向量是 x y z 则 0且 0 得取x 1 得y 1 z 1 1 1 1 又 1 1 1 0 又MN 平面A1BD MN 平面A1BD 利用空间向量证明面面平行证明面面平行的方法 1 利用空间向量转化为线线平行或线面平行 2 建立空间直角坐标系 分别求出两个平面的法向量 证明两个法向量平行 8 在长方体ABCD A1B1C1D1中 DA 2 DC 3 DD1 4 M N E F分别是棱A1D1 A1B1 D1C1 B1C1的中点 求证 平面AMN 平面EFBD x y z 证明 方法一 建立如图所示的空间直角坐标系 分别取MN DB及EF的中点R T S 连结AR ST 则A 2 0 0 M 1 0 4 N 2 4 D 0 0 0 B 2 3 0 E 0 4 F 1 3 4 R 4 S 4 T 1 0 1 0 1 0 4 4 又MN与EF AR与TS不共线 MN EF AR TS MN 平面EFBD AR 平面EFBD 又MN平面AMN AR平面AMN MN AR R 平面AMN 平面EFBD 方法二 建系同方法一 由方法一可知 A 2 0 0 M 1 0 4 N 2 4 D 0 0 0 E 0 4 F 1 3 4 则 1 0 4 0 4 0 4 1 3 4 设平面AMN 平面EFBD的法向量分别为 x1 y1 z1 x2 y2 z2 则 即 令x1 1 得z1 y1 1 即 令y2 1 得z2 x2 1 即 平面AMN 平面EFBD 利用空间向量证明线线垂直利用空间向量证明线线垂直的方法用向量法证明空间两条直线相互垂直 其主要思路是证明两直线的方向向量相互垂直 具体方法为 1 坐标法 根据图形的特征 建立适当的直角坐标系 准确地写出相关点的坐标 表达出两直线的方向向量 证明其数量积为零 2 基向量法 利用向量的加减运算律 结合图形 将要证明的两直线所在的向量用基向量表达出来 利用数量积运算说明两向量的数量积为0 P111练习3 已知正方体ABCD A B C D BC 和CB 相交于点O 连结DO 求证 DO BC x y z 利用空间向量证明线面垂直用向量法证明线面垂直的方法与步骤 1 基向量法 具体步骤如下 设出基向量 用基向量表示直线所在的向量 找出平面内两条相交的向量并分别用基向量表示 分别计算直线的方向向量与平面内两相交向量的数量积 2 坐标法方法一 建立空间直角坐标系 将直线的方向向量用坐标表示 平面内任意两条相交直线用坐标表示 分别计算直线的方向向量与平面内相交向量的数量积 方法二 建立空间直角坐标系 将直线的方向向量用坐标表示 求平面的法向量 说明平面的法向量与直线的方向向量平行 基向量法主要适用于不易建立空间直角坐标系的情况 P107练习1 已知正方体ABCD A1B1C1D1中 点E F分别是BB1 CD的中点 求证 D1F 平面ADE x y z 利用空间向量证明面面垂直利用空间向量证明面面垂直的方法 1 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直问题 二是直接求解两个平面的法向量 证明两个法向量垂直 从而得到两个平面垂直 2 向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系 恰当建系或用基向量表示后 只需经过向量运算就可得到要证明的结果 思路方法很 公式化 例3 如图所示 在四棱锥E ABCD中 AB 平面BCE CD 平面BCE AB BC CE 2CD 2 BCE 120 求证 平面ADE 平面ABE 审题指导 证明面面垂直可考虑利用传统方法和向量法 传统方法需根据图形特征 添加辅助线 向量法需恰当地建系 规范解答 方法一 取BE的中点O AE的中点F 连结OC OF DF 如图所示 则OFBA AB 平面BCE CD 平面BCE AB 2CD CDBA OFCD OC FD BC CE OC BE 又AB 平面BCE OC 平面ABE FD 平面ABE 又 FD 平面ADE 平面ADE 平面ABE 方法二 取BE的中点O 连结OC BC CE OC BE 又AB 平面BCE 以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz 如图所示 则由已知条件有C 1 0 0 B 0 0 E 0 0 D 1 0 1 A 0 2 设平面ADE的一个法向量为 a b c 则 a b c 0 22 2b 2c 0