高考数学考点回归总复习课件 20三角函数的图象.ppt

第二十讲三角函数的图象 回归课本 1 作y asin x 的图象主要有以下两种方法 1 用 五点法 作图 用 五点法 作y asin x 的简图 主要是通过变量代换 设z x 由z取0 2 来求出相应的x 通过列表 计算得出五点坐标 描点后得出图象 2 由函数y sinx的图象通过变换得到y asin x 的图象 有两种主要途径 先平移后伸缩 与 先伸缩后平移 方法一 先平移后伸缩y sinxy sin x y sin x y asin x 方法二 先伸缩后平移y sinxy sin xy sin x y asin x 2 y asin x a 0 0 x 0 表示一个振动量时 a叫做振幅 t 叫做周期 叫做频率 x 叫做相位 x 0时的相位 称为初相 3 对称问题y sinx图象的对称中心是 k 0 k z 对称轴方程是x k k z y cosx图象的对称中心是 k z 对称轴方程是x k k z 考点陪练 答案 a 2 若f x sin x 的图象 部分 如图所示 则 和 的取值是 答案 c 答案 c 4 2010 四川 将函数y sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 所得图象的函数解析式是 答案 c 答案 c 类型一 五点法 作图解题准备 根据三角函数的图象在一个周期内的最高点 最低点及与x轴的三个交点来作图 即先确定这五个点来作这个函数的图象 其一般步骤是 1 令 x 分别等于0 2 求出对应的x值和y值 即求出对应的五点 2 在坐标系中描出这五个关键点 用平滑的曲线顺次连接 得函数y asin x 在一个周期内的函数图象 3 将所得图象向两边扩展 得y asin x 在r上的图象 典例1 作出函数的一个周期内的图象 分析 考查 五点法 作图 反思感悟 用 五点法 作正 余弦函数的图象要注意以下几点 先将解析式化为y asin x 或y acos x 的形式 周期 振幅a a 0 列出一个周期的五个特殊点 描点 用平滑曲线连线 类型二三角函数的图象变换解题准备 三角函数的图象变换包括平移和伸缩两类变换 具体有以下三种变换 1 相位变换 y sinx的图象向左 0 或向右 1 到原来的倍 纵坐标不变 得到y sin x的图象 3 振幅变换 y sinx图象上所有点的纵坐标伸长 a 1 或缩短 0 a 1 到原来的a倍 横坐标不变 得到y asinx的图象 分析 先化异名为同名 后作变换 反思感悟 对于y f x 的图象 若将图象平移a a 0 个单位 当向左平移则把x换成x a 当向右平移则把x换成x a 其他任何数值和符号不变 若将图上各点的横坐标伸长到原来的 倍 1 则只需将x换成 若将图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 则只需将x换成 x即可 类型三三角函数y asin x 的解析式解题准备 给出图象求解析式y asin x b的难点在于 的确定 本质为待定系数法 基本方法是 五点法 运用 五点 中的一点确定 图象变换法 即已知图象是由哪个函数的图象经过变换得到的 通常可由零值点或最值点确定 有时从找 五点法 中的第一零值点作为突破口 要从图象的升降情况找准第一零值点的位置 典例3 下图为y asin x 的图象的一段 求其解析式 分析 确定a 若以n为五点法作图中的第一零点 由于此时曲线是先下降后上升 类似于y sinx的图象 所以a0 而 可由相位来确定 2 由此题两种解法可见 在由图象求解析式时 第一零点 的确定是很重要的 尽量使a取正值 由f x asin x a 0 0 的一段图象 求其解析式时 a比较容易看图得出 困难的是求待定系数 和 常用如下两种方法 如果图象明确指出了周期t的大小和 零点 坐标 那么由 即可求出 确定 时 若能求出离原点最近的右侧图象上升 或下降 的零点横坐标x0 则令 x0 0 或 x0 即可求出 代入点的坐标 利用一些已知点 最高点 最低点或零点 坐标代入解析式 再结合图形解出 和 若对a 的符号或对 的范围有要求 则可用诱导公式变换使其符合要求 3 利用图象特征确定函数解析式y asin k或根据代数条件确定解析式时 要注意以下几种常用方法 振幅a ymax ymin 相邻两个最值对应的横坐标之差 或者一个单调区间的长度为由此推出 的值 确定 值 一般用给定特殊点坐标代入解析式确定 类型四三角函数图象的对称性解题准备 函数y asin x 的图象的对称问题 1 函数y asin x 的图象关于直线x xk 其中 xk k k z 成轴对称图形 也就是说波峰或波谷处且与x轴垂直的直线为其对称轴 2 函数y asin x 的图象关于点 xj 0 其中 xj k k z 成中心对称图形 也就是说函数图象与x轴的交点 平衡位置点 是其对称中心 类型五三角函数模型的常见应用解题准备 三角函数能够模拟许多周期现象 因此在解决实际问题时有着广泛的应用 如果某种变化着的现象具有周期性 那么它就可以借助三角函数来描述 三角函数模型的常见类型有 1 航海类问题 涉及方位角概念 方位角指的是从指正北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的角度 还涉及正 余弦定理 2 与三角函数图象有关的应用题 近年全国高考有一解答题正是此类应用题 3 引进角为参数 利用三角函数的有关公式进行推理 解决最优化问题 即求最值 4 三角函数在物理学中的应用 典例5 已知某海滨浴场的海浪高度y 米 是时间t 0 t 24 单位 小时 的函数 记作 y f t 下表是某日各时的浪高数据 经长期观测 y f t 的曲线可近似地看成是函数y acos t b的图象 1 根据以上数据 求出函数y acos t b的最小正周期t 振幅a及函数表达式 2 依据规定 当海浪高度高于1米时才可对冲浪爱好者开放 请依据 1 的结论 判断一天内的8 00到20 00之间 有多少时间可供冲浪者进行运动 解 1 由表中数据 知周期t 12 由t 0 y 1 5 得a b 1 5 由t 3 y 1 0 得b 1 由 得a 0 5 b 1 振幅为 2 由题知 当y 1时才可对冲浪者开放 2k k z 即12k 3 t 12k 3 k z 0 t 24 故可令 中k分别为0 1 2 得0 t 3或9 t 15或21 t 24 在规定时间8 00至20 00之间 有6个小时的时间可供冲浪者运动 即9 00至15 00 错源一未抓住平移对象而致误 典例1 将函数的图象沿x轴向左平移个单位 求所得图象的解析式 剖析 此题出错率极高 主要原因是未抓住函数图象平移是针对自变量x而言的 错源二伸缩变换中记忆不准而致错 剖析 错解一 错在变换公式记忆错误 错解二 错误较多 不仅变换公式记忆错误 还不清楚变换是针对自变量x的 错源三抓不住对称变换中针对对象而致错 剖析 错在前也加了负号 将函数图象关于y轴对称 只是在自变量x前加负号 其他处都不变 评析 若将函数y sin x 的图象关于y轴对称 所得图象的解析式为y sin x 若将函数y sin x 的图象关于x轴对称 所得图象的解析式为y sin x 技法 四看 解决图象平移问题一看 平移要求拿到这类问题 首先要看题目要求由哪个函数图象平移到哪个函数图象 这是判断移动方向的关键点 一般题目会有下面两种常见的叙述 解析 上面两题是平移问题两种典型的叙述方法 粗看两题好像差不多 其实两题的要求是不同的 第 1 题是要把函数y sin2x移到而第 2 题是要把函数移到y sin2x 两题平移的要求不同 第 1 题是基本形式 应该选d 而第 2 题是它的反形式 故选c 答案 1 d 2 c 二看 函数形式我们在解决这类问题时 一定要依赖y asin x 的形式 如果题目给定的函数不是这样的形式 就要化为y asin x 的形式 再考虑平移 解析 此题主要是函数形式的变化 我们所研究的两个函数必须都是形如y asin x 的形式