高考数学一轮复习 第56讲基本计数原理精品课件 理 新人教课标A版.ppt

第56讲 基本计数原理 第56讲基本计数原理 第56讲 知识梳理 1 分类计数原理完成一件事 如果有n类办法 在第一类办法中有m1种不同方法 在第二类办法中有m2种不同方法 在第n类办法中有mn种不同方法 那么完成这件事共有n 种不同方法 2 分步计数原理完成一件事需要分成n个步骤 做第一步有m1种不同方法 做第二步有m2种不同方法 做第n步有mn种不同方法 那么完成这件事共有n 种不同方法 m1 m2 m3 mn m1 m2 mn 第56讲 知识梳理 3 分类和分步的区别 1 分类 完成一件事同时存在n类方法 每一类方法都能独立完成这件事 各类互不相关 分步 完成一件事需按先后顺序分n步进行 每一步缺一不可 只有当所有步骤完成 这件事才完成 2 分类时要做到 不重不漏 分类后再对每一类进行计数 最后用分类加法计数原理 把每一类的方法数相加 得到总数 分步要做到步骤完整 完成了所有步骤 恰好完成任务 步与步之间要相互独立 分步后再计算每一步的方法数 最后根据分步乘法计数原理 把完成每一步的方法数相乘 得到总数 探究点1分数计数理 第56讲 要点探究 例1在所有的两位数中 个位数字小于十位数字的两位数共有多少个 第56讲 要点探究 例1 思路 采用列举分类 先确定个位数字 再考虑十位数字的所有可能 然后用分类计数原理 解答 方法一 一个两位数由十位数字和个位数字构成 考虑一个满足条件的两位数 可先确定个位数字后再考虑十位数字有几种可能 一个两位数的个位数字可以是0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 把这样的两位数分成10类 1 当个位数字为0时 十位数字可以是1 2 3 4 5 6 7 8 9 有9个满足条件的两位数 2 当个位数字为1时 十位数字可以是2 3 4 5 6 7 8 9 有8个满足条件的两位数 第56讲 要点探究 3 当个位数字为2时 十位数字可以是3 4 5 6 7 8 9 有7个满足条件的两位数 以此类推 当个位数字分别是3 4 5 6 7 8 9时 满足条件的两位数分别有6 5 4 3 2 1 0个 由分类加法计数原理 满足条件的两位数的个数为9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 45个 方法二 考虑两位数 ab 与 ba 中 个位数字与十位数字的大小关系 利用对应思想计算 第56讲 要点探究 所有90个两位数中 个位数字等于十位数字的两位数为11 22 33 99共9个 另有10 20 30 90共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置 其余90 18 72个两位数 按 ab 与 ba 进行一一对应 则每一个 个位数字小于十位数字的两位数 就与另一个 十位数字小于个位数字的两位数 对应 故其中 个位数字小于十位数字的两位数 有72 2 36个 故满足条件的两位数的个数为9 36 45个 第56讲 要点探究 点评 合理分类是解决计数问题的基本思想 方法一从两位数的个位数字着手 确立分类标准 使计数过程一目了然 方法二巧妙地应用了 一一对应 的思想 简化了计数过程 这种思想方法在排列 组合计数问题中也经常使用 第56讲 要点探究 变式题 某同学衣服上左 右各有一个口袋 左边口袋装有30张英语单词卡片 右边口袋装有20张英语单词卡片 这些英语单词卡片都互不相同 问从两个口袋里任取一张英语单词卡片 有 种不同的取法 第56讲 要点探究 思路 每一张英语单词卡片独立抽取 分类计数 50 解析 从口袋中任取一张英语单词卡片的方法分两类 第一类 从左边口袋取一张英语单词卡片有30种不同的取法 第二类 从右边口袋取一张英语单词卡片有20种不同的取法 上述的其中任何一种取法都能独立完成取一张英语单词卡片这件事 应用分类加法计数原理来解题 所以从中任取一张英语单词卡片的方法种数为30 20 50种 探究点2分步计数原理的应用 第56讲 要点探究 例2 2009 浙江卷 甲 乙 丙3人站到共有7级的台阶上 若每级台阶最多站2人 同一级台阶上的人不区分站的位置 则不同的站法种数是 用数字作答 第56讲 要点探究 例2 思路 甲 乙 丙各有7种站法 根据分步乘法计数原理计数 除去一个台阶上占三人的情况 336 解析 甲有7种站法 乙也有7种站法 丙也有7种站法 故不考虑限制共有7 7 7 343种站法 其中三个人站在同一台阶上有7种站法 故符合本题要求的不同站法有343 7 336种 第56讲 要点探究 变式题 已知集合m 3 2 1 0 1 2 p a b 表示平面上的点 a b m 问 1 p可表示平面上多少个不同的点 2 p可表示平面上多少个第二象限的点 3 p可表示多少个不在直线y x上的点 第56讲 要点探究 思路 完成 确定点p 这件事需依次确定横 纵坐标 应用分步计数原理 解答 1 确定平面上的点p a b 可分两步完成 第一步确定a的值 共有6种确定方法 第二步确定b的值 也有6种确定方法 根据分步计数原理 得到平面上的点数是6 6 36个 2 确定第二象限的点 可分两步完成 第一步确定a 由于a0 所以有2种确定方法 由分步计数原理 得到第二象限的点的个数是3 2 6个 3 点p a b 在直线y x上的充要条件是a b 因此a和b必须在集合m中取同一元素 共有6种取法 即在直线y x上的点有6个 由 1 得不在直线y x上的点共有36 6 30个 探究点3两个原理的综合应用 第56讲 要点探究 例 两个原理的综合应用3用0 1 2 3 4 5可以组成多少个无重复数字且比2000大的四位偶数 例 思路 先根据条件把 比2000大的四位偶数 分成3类 在每一类中又分三步 选取千位上的数字 选取百位上的数字 选取十位上的数字 第56讲 要点探究 解答 完成这件事有3类方法 第一类 用0做结尾的比2000大的四位偶数 它可以分三步去完成 第一步 选取千位上的数字 只有2 3 4 5可以选择 有4种选法 第二步 选取百位上的数字 除0和千位上已选定的数字以外 还有4个数字可供选择 有4种选法 第三步 选取十位上的数字 还有3种选法 依据分步乘法计数原理 这类数的个数有4 4 3 48个 第二类 用2做结尾的比2000大的四位偶数 它可以分三步去完成 第一步 选取千位上的数字 除去2 1 0 只有3个数字可以选择 有3种选法 第二步 选取百位上的数字 在去掉已经确定的首尾两数字之后 还有4个数字可供选择 有4种选法 第三步 选取十位上的数字 还有3种选法 依据分步计数原理 这类数的个数有3 4 3 36个 第56讲 要点探究 第三类 用4做结尾的比2000大的四位偶数 其步骤同第二类 对以上三类结论用分类计数原理 可得所求无重复数字的比2000大的四位偶数有4 4 3 3 4 3 3 4 3 120个 变式题 三条直线两两异面 则称为一组 型线 任选正方体12条面对角线中的三条 型线 的组数为 第56讲 要点探究 思路 在正方体12条面对角线中 一组 型线 必有2条在相对的两个面上 由此进行正确分类与计数 第56讲 要点探究 24 解析 如图 任选正方体12条面对角线中的三条 组成一组 型线 则必有2条分别在相对的2个面上 以选出面对角线ac b d 为例 可得出 ac b d a d ac b d bc ac b d a b ac b d dc 这4组 型线 即出现面对角线ac b d 的 型线 的组数为4 同理 出现面对角线a c bd的 型线 的组数也为4 出现面对角线a d bc 的 型线 的组数也为4 出现面对角线ad b c的 型线 的组数也为4 出现面对角线a b dc 的 型线 的组数也为4 出现面对角线ab d c的 型线 的组数也为4 故任选正方体12条面对角线中的三条 型线 的组数为6 4 24 第56讲 要点探究 例4如图56 1所示 一个地区分为5个行政区域 现给地图着色 要求相邻区域不得使用同一颜色 现有4种颜色可供选择 则不同的着色方法共有 种 以数字作答 第56讲 要点探究 思路 按照颜色的种数或是按照区域进行操作 根据分步乘法和分类加法计数原理解答 72 解析 方法一 按选用颜色种数进行分类 依题意至少要选用3种颜色 当选用3种颜色时 区域b与d必须同色 区域c与e也必须同色 此时着色方法有a种 当选用4种颜色时 区域b与d和区域c与e中有且仅有一个同色 此时着色方法有2a种 由分类计数原理可知 满足题意的着色方法共有a 2a 24 2 24 72种 方法二 按区域分步着色 第一步 给区域a着色有c种方法 第二步 给区域b着色有c种方法 第三步 给区域c着色有c种方法 第四步 给区域d与e着色 因区域d和区域b可着同色 也可着异色 当着同色时区域e有2种着色方法 当着异色时区域e有1种着色方法 所以给区域d与e着色共有2 1 3种方法 由分步计数原理 满足题意的着色方法共有c c c 2 1 72种 第56讲 规律总结 1 分类和分步计数原理的联系与区别分类和分步计数原理回答的都是完成一件事有多少种不同的方法或种数的问题 其区别在于 分类计数原理针对 分类 问题 其中类与类之间各种方法相互独立 用其中任何一种方法都可以独立做完这件事 分步计数原理针对 分步 问题 各个步骤相互依存 只有各个步骤都完成了才算完成这件事 2 使用计数原理的注意事项 1 混合问题一般是先分类再分步 看这个事件是如何完成的 先看可以分几个大类 再看在每类中完成事件要分几个步骤 这些问题都弄清了 就可以根据两个基本原理解决问题 第56讲 基本计数原理 第56讲基本计数原理 第56讲 知识梳理 1 分类计数原理完成一件事 如果有n类办法 在第一类办法中有m1种不同方法 在第二类办法中有m2种不同方法 在第n类办法中有mn种不同方法 那么完成这件事共有n 种不同方法 2 分步计数原理完成一件事需要分成n个步骤 做第一步有m1种不同方法 做第二步有m2种不同方法 做第n步有mn种不同方法 那么完成这件事共有n 种不同方法 m1 m2 m3 mn m1 m2 mn 第56讲 知识梳理 3 分类和分步的区别 1 分类 完成一件事同时存在n类方法 每一类方法都能独立完成这件事 各类互不相关 分步 完成一件事需按先后顺序分n步进行 每一步缺一不可 只有当所有步骤完成 这件事才完成 2 分类时要做到 不重不漏 分类后再对每一类进行计数 最后用分类加法计数原理 把每一类的方法数相加 得到总数 分步要做到步骤完整 完成了所有步骤 恰好完成任务 步与步之间要相互独立 分步后再计算每一步的方法数 最后根据分步乘法计数原理 把完成每一步的方法数相乘 得到总数 探究点1分数计数理 第56讲 要点探究 例1在所有的两位数中 个位数字小于十位数字的两位数共有多少个 第56讲 要点探究 例1 思路 采用列举分类 先确定个位数字 再考虑十位数字的所有可能 然后用分类计数原理 解答 方法一 一个两位数由十位数字和个位数字构成 考虑一个满足条件的两位数 可先确定个位数字后再考虑十位数字有几种可能 一个两位数的个位数字可以是0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 把这样的两位数分成10类 1 当个位数字为0时 十位数字可以是1 2 3 4 5 6 7 8 9 有9个满足条件的两位数 2 当个位数字为1时 十位数字可以是2 3 4 5 6 7 8 9 有8个满足条件的两位数 第56讲 要点探究 3 当个位数字为2时 十位数字可以是3 4 5 6 7 8 9 有7个满足条件的两位数 以此类推 当个位数字分别是3 4 5 6 7 8 9时 满足条件的两位数分别有6 5 4 3 2 1 0个 由分类加法计数原理 满足条件的两位数的个数为9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 45个 方法二 考虑两位数 ab 与 ba 中 个位数字与十位数字的大小关系 利用对应思想计算 第56讲 要点探究 所有90个两位数中 个位数字等于十位数字的两位数为11 22 33 99共9个 另有10 20 30 90共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置 其余90 18 72个两位数 按 ab 与 ba 进行一一对应 则每一个 个位数字小于十位数字的两位数 就与另一个 十位数字小于个位数字的两位数 对应 故其中 个位数字小于十位数字的两位数 有72 2 36个 故满足条件的两位数的个数为9 36 45个 第56讲 要点探究 点评 合理分类是解决计数问题的基本思想 方法一从两位数的个位数字着手 确立分类标准 使计数过程一目了然 方法二巧妙地应用了 一一对应 的思想 简化了计数过程 这种思想方法在排列 组合计数问题中也经常使用 第56讲 要点探究 变式题 某同学衣服上左 右各有一个口袋 左边口袋装有30张英语单词卡片 右边口袋装有20张英语单词卡片 这些英语单词卡片都互不相同 问从两个口袋里任取一张英语单词卡片 有 种不同的取法 第56讲 要点探究 思路 每一张英语单词卡片独立抽取 分类计数 50 解析 从口袋中任取一张英语单词卡片的方法分两类 第一类 从左边口袋取一张英语单词卡片有30种不同的取法 第二类 从右边口袋取一张英语单词卡片有20种不同的取法 上述的其中任何一种取法都能独立完成取一张英语单词卡片这件事 应用分类加法计数原理来解题 所以从中任取一张英语单词卡片的方法种数为30 20 50种 探究点2分步计数原理的应用 第56讲 要点探究 例2 2009 浙江卷 甲 乙 丙3人站到共有7级的台阶上 若每级台阶最多站2人 同一级台阶上的人不区分站的位置 则不同的站法种数是 用数字作答 第56讲 要点探究 例2 思路 甲 乙 丙各有7种站法 根据分步乘法计数原理计数 除去一个台阶上占三人的情况 336 解析 甲有7种站法 乙也有7种站法 丙也有7种站法 故不考虑限制共有7 7 7 343种站法 其中三个人站在同一台阶上有7种站法 故符合本题要求的不同站法有343 7 336种 第56讲 要点探究 变式题 已知集合m 3 2 1 0 1 2 p a b 表示平面上的点 a b m 问 1 p可表示平面上多少个不同的点 2 p可表示平面上多少个第二象限的点 3 p可表示多少个不在直线y x上的点 第56讲 要点探究 思路 完成 确定点p 这件事需依次确定横 纵坐标 应用分步计数原理 解答 1 确定平面上的点p a b 可分两步完成 第一步确定a的值 共有6种确定方法 第二步确定b的值 也有6种确定方法 根据分步计数原理 得到平面上的点数是6 6 36个 2 确定第二象限的点 可分两步完成 第一步确定a 由于a0 所以有2种确定方法 由分步计数原理 得到第二象限的点的个数是3 2 6个 3 点p a b 在直线y x上的充要条件是a b 因此a和b必须在集合m中取同一元素 共有6种取法 即在直线y x上的点有6个 由 1 得不在直线y x上的点共有36 6 30个 探究点3两个原理的综合应用 第56讲 要点探究 例 两个原理的综合应用3用0 1 2 3 4 5可以组成多少个无重复数字且比2000大的四位偶数 例 思路 先根据条件把 比2000大的四位偶数 分成3类 在每一类中又分三步 选取千位上的数字 选取百位上的数字 选取十位上的数字 第56讲 要点探究 解答 完成这件事有3类方法 第一类 用0做结尾的比2000大的四位偶数 它可以分三步去完成 第一步 选取千位上的数字 只有2 3 4 5可以选择 有4种选法 第二步 选取百位上的数字 除0和千位上已选定的数字以外 还有4个数字可供选择 有4种选法 第三步 选取十位上的数字 还有3种选法 依据分步乘法计数原理 这类数的个数有4 4 3 48个 第二类 用2做结尾的比2000大的四位偶数 它可以分三步去完成 第一步 选取千位上的数字 除去2 1 0 只有3个数字可以选择 有3种选法 第二步 选取百位上的数字 在去掉已经确定的首尾两数字之后 还有4个数字可供选择 有4种选法 第三步 选取十位上的数字 还有3种选法 依据分步计数原理 这类数的个数有3 4 3 36个 第56讲 要点探究 第三类 用4做结尾的比2000大的四位偶数 其步骤同第二类 对以上三类结论用分类计数原理 可得所求无重复数字的比2000大的四位偶数有4 4 3 3 4 3 3 4 3 120个 变式题 三条直线两两异面 则称为一组 型线 任选正方体12条面对角线中的三条 型线 的组数为 第56讲 要点探究 思路 在正方体12条面对角线中 一组 型线 必有2条在相对的两个面上 由此进行正确分类与计数 第56讲 要点探究 24 解析 如图 任选正方体12条面对角线中的三条 组成一组 型线 则必有2条分别在相对的2个面上 以选出面对角线ac b d 为例 可得出 ac b d a d ac b d bc ac b d a b ac b d dc 这4组 型线 即出现面对角线ac b d 的 型线 的组数为4 同理 出现面对角线a c bd的 型线 的组数也为4 出现面对角线a d bc 的 型线 的组数也为4 出现面对角线ad b c的 型线 的组数也为4 出现面对角线a b dc