高考数学一轮复习 8.6 空间向量及其运算精品课件 新人教A版.ppt

8 6空间向量及其运算要点梳理1 空间向量的有关概念 1 空间向量 在空间中 具有和的量叫做空间向量 2 相等向量 方向且模的向量 3 共线向量 表示空间向量的有向线段所在直线互相于同一平面的向量 4 共面向量 的向量 大小 方向 相同 相等 平行 平行或重合 基础知识自主学习 2 共线向量 共面向量定理和空间向量基本定理 1 共线向量定理对空间任意两个向量a b b 0 a b的充要条件是 推论如图所示 点p在l上的充要条件是 其中a叫直线l的方向向量 t r 在l上取 则 可化为 存在实数 使得a b 2 共面向量定理的向量表达式 p 其中x y r a b为不共线向量 推论的表达式为或对空间任意一点o有 其中x y z 1 3 空间向量基本定理如果三个向量a b c不共面 那么对空间任一向量p 存在有序实数组 x y z 使得p 把 a b c 叫做空间的一个基底 xa yb xa yb zc 3 空间向量的数量积及运算律 1 数量积及相关概念 两向量的夹角已知两个非零向量a b 在空间任取一点o 作 a b 则叫做向量a与b的夹角 记作 其范围是 若 a b 则称a与b 记作a b 两向量的数量积已知空间两个非零向量a b 则叫做向量a b的数量积 记作 即 aob a b 0 a b 互相垂直 a b cos a b a b a b a b cos a b 2 空间向量数量积的运算律 结合律 a b 交换律 a b 分配律 a b c 4 空间向量的坐标表示及应用 1 数量积的坐标运算若a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则a b 2 共线与垂直的坐标表示设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则a b a b b a a b a c a1b1 a2b2 a3b3 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 r a b a b均为非零向量 3 模 夹角和距离公式设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则 a cos a b 若a a1 b1 c1 b a2 b2 c2 则dab a b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 基础自测1 下列命题中是真命题的是 a 分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线 则这两个向量不是共面向量b 若 a b 则a b的长度相等且方向相同或相反c 若向量 满足且与同向 则 d 若两个非零向量与满足 0 则 解析a错 因为空间任两向量平移之后可共面 所以空间任意两向量均共面 b错 因为 a b 仅表示a与b的模相等 与方向无关 c错 因为空间向量不研究大小关系 只能对向量的长度进行比较 因此也就没有 这种写法 d对 0 与共线 故 正确 答案d 2 已知空间四边形oabc中 点m在线段oa上 且om 2ma 点n为bc的中点 设 a b c 则等于 解析 b 3 下列命题 若a b c d是空间任意四点 则有 a b a b 是a b共线的充要条件 若a b共线 则a与b所在直线平行 对空间任意一点o与不共线的三点a b c 若 其中x y z r 则p a b c四点共面 其中不正确命题的个数是 a 1b 2c 3d 4 解析 中四点恰好围成一封闭图形 正确 中当a b同向时 应有 a b a b 中a b所在直线可能重合 中需满足x y z 1 才有p a b c四点共面 答案c 4 a 1 0 1 b 4 4 6 c 2 2 3 d 10 14 17 这四个点 填共面或不共面 解析 3 4 5 1 2 2 9 14 16 即 9 14 16 3x y 4x 2y 5x 2y 共面 b 题型一空间向量的线性运算如图所示 在平行六面体abcd a1b1c1d1中 设 a b c m n p分别是aa1 bc c1d1的中点 试用a b c表示以下各向量 1 2 3 根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可 题型分类深度剖析 解 1 p是c1d1的中点 用已知向量来表示未知向量 一定要结合图形 以图形为指导是解题的关键 要正确理解向量加法 减法与数乘运算的几何意义 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量 我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则 在立体几何中要灵活应用三角形法则 向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立 知能迁移1如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 o为ac的中点 1 化简 解 y 题型二共线 共面向量定理的应用已知e f g h分别是空间四边形abcd的边ab bc cd da的中点 1 求证 e f g h四点共面 2 求证 bd 平面efgh 3 设m是eg和fh的交点 求证 对空间任一点o 有 1 要证e f g h四点共面 可寻求x y使 2 由向量共线得到线线平行 进而得到线面平行 证明 1 连接bg 则由共面向量定理的推论知 e f g h四点共面 2 因为所以eh bd 又eh 平面efgh bd 平面efgh 所以bd 平面efgh 3 连接om oa ob oc od oe og 所以 即ehfg 所以四边形efgh是平行四边形 所以eg fh交于一点m且被m平分 在求一个向量由其他向量来表示的时候 通常是利用向量的三角形法则 平行四边形法则和共线向量的特点 把要求的向量逐步分解 向已知向量靠近 进行求解 若要证明两直线平行 只需判定两直线所在的向量满足线性a b关系 即可判定两直线平行 如第 1 2 问即是如此 知能迁移2设a b c及a1 b1 c1分别是异面直线l1 l2上的三点 而m n p q分别是线段aa1 ba1 bb1 cc1的中点 求证 m n p q四点共面 证明依题意有 m n p q四点共面 题型三空间向量的模 夹角及数量积 12分 如图所示 已知空间四边形abcd的各边和对角线的长都等于a 点m n分别是ab cd的中点 1 求证 mn ab mn cd 2 求mn的长 3 求异面直线an与cm所成角的余弦值 把用 表示出来 然后计算数量积 求模和夹角 1 证明由题意可知 p q r a 且p q r三向量两两夹角均为60 q r p q r p p q p r p p2 2分 4分 2 解 q r p q r p 2 q2 r2 p2 2 q r p q r p 8分 3 解 q r 10分 1 用基向量解决问题 首先要选取一组基底 该基底的模与夹角应已知或可求 2 注意两向量夹角与异面直线所成的角的区别与联系 11分 12分 知能迁移3已知平行六面体abcd a1b1c1d1中 底面abcd是边长为1的正方形 aa1 2 a1ab a1ad 120 1 求线段ac1的长 2 求异面直线ac1与a1d所成角的余弦值 3 证明 aa1 bd 1 解如图所示 设 a 则 a b 1 c 2 a b 0 a c b c 2 1 cos120 1 a b c a b c 2 a2 b2 c2 2a b 2a c 2b c 1 1 22 2 2 2 2 解 a b c b c a b c b c a b a c b2 b c b c c2 1 12 22 2 又 b c 2 b2 c2 2b c 1 4 2 7 异面直线ac1与a1d所成角的余弦值为 3 证明b a c b a c b c a 1 1 0 题型四空间向量坐标及坐标运算设向量a 3 5 4 b 2 1 8 计算2a 3b 3a 2b a b以及a与b所成角的余弦值 并确定 应满足的条件 使 a b与z轴垂直 代入向量坐标运算的公式求2a 3b 3a 2b a b 利用数量积求a与b的夹角余弦值 利用 a b 0 0 1 0 确定 的关系 解2a 3b 2 3 5 4 3 2 1 8 6 10 8 6 3 24 12 13 16 3a 2b 3 3 5 4 2 2 1 8 9 15 12 4 2 16 5 13 28 a b 3 5 4 2 1 8 6 5 32 21 a b 0 0 1 3 2 5 4 8 0 0 1 4 8 0 即 2 当 满足 2 时 可使 a b与z轴垂直 空间向量的坐标运算 关键是要注意向量坐标与点的坐标间的关系 并熟练掌握运算公式 知能迁移4已知 abc的顶点a 1 1 1 b 2 2 2 c 3 2 4 试求 1 abc的重心坐标 2 abc的面积 3 abc的ab边上的高 解 1 设重心坐标为 x0 y0 z0 方法与技巧1 熟练掌握空间向量的运算 性质及基本定理是解决空间向量问题的基础 特别是共线向量定理 共面向量定理 空间向量基本定理 数量积的性质等 2 利用向量解立体几何题的一般方法 把线段或角度转化为向量表示 用已知向量表示未知向量 然后通过向量的运算或证明去解决问题 在这里 恰当地选取基底可使向量运算简捷 或者是建立空间直角坐标系 使立体几何问题成为代数问题 在这里 熟练准确地写出空间中任一点的坐标是解决问题的基础 思想方法感悟提高 失误与防范1 利用坐标运算解决立体几何问题 降低了推理难度 可以避开一些较复杂的线面关系 但较复杂的代数运算也容易导致出错 因此 在解决问题时 可以灵活的选用解题方法 不要生搬硬套 2 用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理 求两点间距离或某一线段的长度 一般用向量的模来解决 求异面直线所成的角 一般可以转化为两向量的夹角 但要注意两种角的范围不同 最后应进行转化 解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零 3 空间向量的加法 减法经常逆用 来进行向量的分解 4 几何体中向量问题的解决 选好基底是关键 一 选择题1 若 a b c 为空间的一组基底 则下列各项中 能构成基底的一组向量是 a a a b a bb b a b a bc c a b a bd a b a b a 2b解析若c a b a b共面 则c a b m a b m a m b 则a b c为共面向量 此与 a b c 为空间向量的一组基底矛盾 故c a b a b可构成空间向量的一组基底 c 定时检测 2 在正方体abcd a1b1c1d1中 给出以下向量表达式 a b c d 解析答案a 3 若向量a 1 2 b 2 1 2 且a与b的夹角的余弦值为 则 等于 a 2b 2c d 解析 c 4 已知a 2 1 3 b 1 4 2 c 7 5 若a b c三向量共面 则实数 等于 解析由题意得c ta b 2t t 4 3t 2 d 5 已知直线ab cd是异面直线 ac cd bd cd 且ab 2 cd 1 则异面直线ab与cd所成角的大小为 a 30 b 45 c 60 d 75 解析 c 6 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为a 点m在上且n为b1b的中点 则为 解析以d为原点建立如图所示的空间直角坐标系d xyz 则a a 0 0 c1 0 a a 设m x y z 答案a 二 填空题7 如图所示 已知空间四边形abcd f为bc的中点 e为ad的中点 若则 解析如图所示 取ac的中点g 连接eg gf 8 已知a 1 t 1 t t b 2 t t 则 b a 的最小值为 解析b a 1 t 2t 1 0 b a 9 在正方体abcd a1b1c1d1中 下面给出四个命题 则正确命题的序号是 填写所有正确命题的序号 解析由三垂线定理知a1c ab1 正确 ad1与a1b两异面直线的夹角为60 但的夹角为120 注意方向 答案 三 解答题10 证明三个向量a e1 3e2 2e3 b 4e1 6e2 2e3 c 3e1 12e2 11e3共面 证明若e1 e2 e3共面 显然a b c共面 若e1 e2 e3不共面 设c a b 即 3e1 12e2 11e3 e1 3e2 2e3 4e1 6e2 2e3 整理得 3e1 12e2 11e3 4 e1 3 6 e2 2 2 e3 11 如图所示 平行六面体abcd