高考数学一轮复习 7.4 空间中的平行关系精品课件 理 新人教A版.ppt

7 4空间中的平行关系 一 直线与平面平行的判定和性质1 判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行 则该直线与此平面平行 可以用符号表示为 2 性质定理一条直线与一个平面平行 则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 可以用符号表示为 a b 且a b a a a b a b 考点分析 二 平面与平面平行的判定和性质1 判定定理 1 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 则这两个平面平行 可以用符号表示为 2 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线 那么 这两个平面平行 可以用符号表示为 a b a b p a b 2 性质定理 1 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那么它们的交线平行 2 两个平面平行 其中任一个平面内的直线必平行于另一个平面 考点一直线与平面平行 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 侧面对角线ab1 bc1上分别有两点e f 且b1e c1f 求证 ef 平面abcd 分析 用线面平行的判定定理来证 或用面面平行的性质定理来证 题型分析 证明 证法一 分别过e f作em ab于m fn bc于n 连结mn bb1 平面abcd bb1 ab bb1 bc em bb1 fn bb1 em fn 又b1e c1f em fn 故四边形mnfe是平行四边形 ef mn 又mn在平面abcd中 ef 平面abcd 证法二 过e作eg ab交bb1于g 连结gf 则 b1e c1f b1a c1b fg b1c1 bc 又eg fg g ab bc b 平面efg 平面abcd 而ef 平面efg ef 平面abcd 评析 判断或证明线面平行的常用方法有 利用线面平行的定义 无公共点 利用线面平行的判定定理 a b a b a 利用面面平行的性质定理 a a 利用面面平行的性质 a a a a 对应演练 已知有公共边ab的两个全等的矩形abcd和abef不在同一平面内 p q分别是对角线ae bd上的点 且ap dq 求证 pq 平面cbe 证明 证法一 如图所示 作pm ab交be于m 作qn ab交bc于n 则pm qn ap dq ep bq 又ab cd ea bd pm qn 又pm qn 四边形pmnq是平行四边形 pq mn pq 平面cbe mn 平面cbe pq 平面cbe 证法二 如图所示 延长aq交bc或其延长线于g 连eg ad cb 又ap dq ae db pq ge 又pq 平面cbe ce 平面cbe pq 平面cbe 求证 若两个相交平面都平行于一条直线 则它们的交线也平行于这条直线 考点二直线与平面平行的性质 分析 利用线面平行的性质定理可证线线平行 解析 已知 b a a 求证 a b 证明 证法一 如图 过a作平面 c 由a 得a c 同理过a作平面 d 则a d 于是c d 又c d 所以c 又 b c 所以c b 又a c 所以a b 证法二 如图 在b上任取一点a 过a和a作平面和 相交于l1 和 相交于l2 因为a 所以a l1 因为a 所以a l2 但过一点只能作一条直线与另一条直线平行 所以l1与l2重合 又因为l1 l2 所以l1和l1重合于b 所以a b 评析 应用线面平行的性质定理时 应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线 有时为了得到交线还需作出辅助平面 证法二中用到了结论 过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行 对应演练 如图 在四面体abcd中 截面efgh平行于对棱ab和cd 试问截面在什么位置时 其截面面积最大 ab 平面efgh 平面efgh与平面abc和平面abd分别交于fg eh ab fg ab eh fg eh 同理可证ef gh 截面efgh是平行四边形 设ab a cd b fgh 又设fg x gh y 则由平面几何知识可得 两式相加得 即y a x s fg gh sin x a x sin x a x x 0 a x 0且x a x a 当且仅当x a x即x 时 x a x 即当截面efgh的顶点e f g h为棱ad ac bc bd的中点时 截面面积最大 efgh 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 棱长为a 1 求证 平面ab1d1平面c1bd 2 求平面ab1d1和平面c1bd间的距离 分析 要证面面平行 先找线线平行 从而得到线面平行 求平面间的距离的关键是找 或作 出两平面的公垂线 考点三平面与平面平行的判定 解析 1 abcd a1b1c1d1是正方体 b1d1 bd 又bd 平面c1bd b1d1 平面c1bd 同理d1a 平面c1bd b1d1和d1a是平面ab1d1内的两条相交直线 因此 平面ab1d1 平面c1bd 2 连接a1c 设m n分别是a1c和平面ab1d1 平面c1bd的交点 a1c在平面abcd内的射影ac bd a1c bd 同理a1c bc1 a1c 平面c1bd 于是a1c 平面ab1d1 因此mn的长即是两平行平面ab1d1和c1bd间的距离 在平面a1acc1中 aa1 cc1 a ac a1c1 a a1c a 设平面ab1d1和平面a1acc1交于ap p为b1d1的中点 则m ap 又平面c1bd和平面a1acc1交于c1q q为bd的中点 n c1q 且ap c1q 由平面几何知识 知m n为a1c的两个三等分点 mn a 评析 1 证明两个平面平行的方法有 用定义 此类题目常用反证法来完成证明 用判定定理或推论 通过线面平行来完成证明 根据 垂直于同一条直线的两个平面平行 这一性质进行证明 借助于 传递性 来完成 还可以用向量法来证明直线和平面平行 2 面面平行问题常转化为线面平行 而线面平行又可转化为线线平行 需要注意其中转化思想的应用 3 证面面平行时 应防止出现直接由一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线得到 因为没有这样的定理和直接作为命题的说明 此题求两平面的距离时 将空间距离转化为平面aa1c1c内两条平行直线的距离的方法 用到了降维的思想 值得借鉴 对应演练 汕头市金山中学11年模拟 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f g h分别是bc cc1 c1d1 a1a的中点 求证 1 bf hd1 2 eg 平面bb1d1d 3 平面bdf 平面b1d1h 证明 1 如图所示 取bb1的中点m 易证四边形hmc1d1是平行四边形 hd1 mc1 又 mc1 bf bf hd1 2 取bd的中点o 连接eo d1o 则oe dc 又d1g dc oe d1g 四边形oegd1是平行四边形 ge d1o 又d1o 平面bb1d1d eg 平面bb1d1d 3 由 1 知d1h bf 又bd b1d1 b1d1 hd1 平面hb1d1 bf bd 平面bdf 且b1d1 hd1 d1 db bf b 平面bdf 平面b1d1h 如图 已知 异面直线ab cd和平面 分别交于a b c d四点 e f g h分别是ab bc cd da的中点 求证 1 e f g h共面 2 平面efgh 平面 考点四平面与平面平行的性质 分析 要证明四点共面 结合已知条件可以转而证明其中一对直线平行 要证明面面平行 容易想到利用面面平行的判定定理来考虑 利用已知的面面平行条件 从而将问题解决 证明 1 e h分别是ab da的中点 eh bd且eh bd 同理 fg bd且fg bd fg eh且fg eh 四边形efgh是平行四边形 即e f g h共面 2 平面abd和平面 有一个公共点a 设两平面交于过点a的直线ad ad bd 又 bd eh eh bd ad eh 平面 eh 平面 同理 ef 平面 ef 平面 平面efgh 平面 平面 评析 对于已知条件中出现了有关的面面平行的问题 往往就要紧紧围绕着面面平行的性质 从而得到线线 或线面 平行 从而将问题解决 对应演练 如图所示 平面 平面 a c b d 点e f分别在线段ab cd上 且有 1 求证 ef 2 若e f分别是ab cd的中点 ac 4 bd 6 且ac bd所成的角为60 求ef的长 证明 当ab cd在同一平面内时 由 平面abdc ac 平面abdc bd 知ac bd ae eb cf fd ef bd 又ef bd ef 当ab与cd异面时 设平面acd dh 且dh ac 平面acdh ac ac dh 四边形acdh是平行四边形 在ah上取一点g 使ag gh cf fd 又 ae eb cf fd gf hd eg bh 又eg gf g 平面efg 平面 ef 平面efg ef 综上 ef 2 如图 连接ad 取ad的中点m 连接me mf e f分别为ab cd的中点 me bd mf ac 且me bd 3 mf ac 2 emf为ac与bd所成的角 或其补角 emf 60 或120 在 efm中 由余弦定理得即ef 或 1 若直线与平面平行 则平面内有无数条直线与该直线平行 但不能得出这条直线平行于这个平面内的所有直线 而只能得到这条直线与这个平面内的任一直线都没有公共点 但反过来 如果知道一条直线与某个平面内的无数条直线平行 却不能得到该直线与该平面平行 因为此时这条直线可能处于这个平面内 同样 对于两个平行平面而言 其中任一平面内的任一条直线必平行于另一个平面 但这两个平面内的所有直线不一定平行 它们可能平行 也可能异面 但一定不会相交 否则这两个平面就有公共点了 高考专