高考数学一轮复习 10.4 用样本估计总体与变量间的相关关系精品课件 理 新人教A版.ppt

10 4用样本估计总体与变量间的相关关系 1 用样本的频率分布估计总体分布 1 频率分布表与频率分布直方图频率分布表和频率分布直方图 是从各个小组数据在样本容量中所占的角度 来表示数据分布规律 它可以使我们看到整个样本数据的频率分布情况 比例大小 考点分析 2 频率分布折线图连接频率分布直方图中各小长方形 就得到频率分布折线图 3 总体密度曲线总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比 它能给我们提供更加精细的信息 4 茎叶图2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 1 众数 中位数 平均数 上端的中点 众数 在样本数据中 频率分布最大值所对应的样本数据 中位数 样本数据中 累积频率为0 5时所对应的样本数据值 累积频率 样本数据小于某一数值的频率叫做该数值点的累积频率 平均数 样本数据的算术平均数 即x 2 标准差的计算公式 s 3 从散点图上看 点散布在就称这种相关关系为正相关 如果点散布在 从左下角到右上角的区域内 从左上角到右下 角的区域内 就称这种相关关系为负相关 4 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近 我们就称这两个变量之间具有 这条直线叫做回归直线 回归直线方程常记作 5 对于一组具有线性相关关系的数据 x1 y1 x2 y2 xn yn 用最小二乘法 求回归直线系数a b的公式为b a 其中 x y 线性相关关系 通过求q 的最小值而得出回归直线的方法 即求回归直线 使得样本数据的点到它的距离的平方和最小 这一方法叫做最小二乘法 y1 bx1 a 2 y2 bx2 a 2 yn bxn a 2 对某电子元件进行寿命追踪调查 情况如下 考点一绘制频率分布直方图 题型分析 分析 按要求列表 绘图 用样本的分布估计总体的分布 1 列出频率分布表 2 画出频率分布直方图 3 估计电子元件寿命在 100 400 以内的概率 4 估计电子元件寿命在400h以上的概率 解析 1 样本频率分布表如下 2 频率分布直方图如图 3 由频率分布表可以看出 寿命在 100 400 内的电子元件出现的频率为0 65 所以我们估计电子元件寿命在 100 400 内的概率为0 65 4 由频率分布表可知 寿命在400h以上的电子元件出现的频率为0 20 0 15 0 35 故我们估计电子元件寿命在400h以上的概率为0 35 评析 1 列频率分布表时要注意区分频数 频率的意义 2 画频率分布直方图时要注意纵 横坐标代表的意义及单位 3 通过本题可以掌握总体分布估计的各种常见步骤和方法 4 解决总体分布估计问题的一般步骤如下 先确定分组的组数 分别计算各组的频数及频率 频率 画出频率分布直方图 并作出相应的估计 频数 总数 对应演练 从某校高一年级的1002名新生中 用系统抽样的方法抽取一个容量为100的身高样本 数据如下 单位 cm 试作出该样本的频率分布表和频率分布直方图 1 在全部数据中找出最大值180和最小值151 则两者之差为29 确定全距为30 决定以组距3将区间 150 5 180 5 分成10个组 2 从第一组 150 5 153 5开始 分别统计各组中的频数 再计算各组的频率 并将结果填入下表 3 作直角坐标系 以横轴表示身高 纵轴表示 4 在横轴上标上150 5 153 5 156 5 180 5表示的点 5 在上面标出的各点中 分别以相邻两点为端点的线段为底作矩形 高等于该组的 至此 就得到了这组数据的频率分布直方图 如图所示 频率 组距 频率 组距 为了了解某地区高三学生的身体发育情况 抽查了该地区100名年龄为17 5岁 18岁的男生体重 kg 得到频率分布直方图如图10 4 6所示 考点二频率分布直方图的应用 解析 1 样本数据落在 62 5 64 5 内的频率为0 07 2 0 14 2 众数为 65 5 kg 分析 在频率直方图中 频率等于矩形的面积 每一小组的频率等于这小组的频数与样本容量的商 而众数是最高矩形的中点 1 样本数据落在 62 5 64 5 内的频率是多少 2 100名学生的体重的众数是多少 评析 解决该类问题时应正确理解图表中各个量的意义 识图掌握信息是解决该类问题的关键 频率分布指的是一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小 一般用频率分布直方图反映样本的频率分布 其中 频率分布直方图中纵轴表示 频率 频率分布直方图中 各小长方形的面积之和为1 长因此在频率分布直方图中 组距是一个固定值 所以长方形高的比也就是频率之比 频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式 前者准确 后者直观 众数为最高矩形的中点 中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标 频率 组距 频数 样本容量 对应演练 在学校开展的综合实践活动中 某班进行了小制作评比 作品上交时间为5月1日到30日 评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计 绘制了频率分布直方图 如图所示 已知从左到右各长方形的高的比为2 3 4 6 4 1 第三组的频数为12 请回答下列问题 1 本次活动共有多少件作品参加评比 2 哪组上交的作品数最多 有多少件 3 经过评比 第四组和第六组分别有10件 2件作品获奖 问这两组哪组获奖率最高 1 依题意知第三组的频率为又因为第三组的频数为12 所以本次活动的参评作品数为 60 件 2 根据频率分布直方图 可以看出第四组上交的作品数量最多 共有60 18 件 3 第四组的获奖率是 第六组上交的作品数量为60 3 件 第六组的获奖率为 显然第六组的获奖率较高 甲 乙两台机床同时加工直径为10mm的零件 为了检验产品的质量 从产品中各随机抽取6件进行测量 测得数据如下 单位 mm 甲 99 100 98 100 100 103乙 99 100 102 99 100 100 1 分别计算上述两组数据的平均数和方差 2 根据 1 的计算结果 说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求 考点三用样本的数字特征估计总体的数字特征 评析 两个机床加工零件的平均数相等 平均数描述了数据的平均水平 要说明哪一台机床加工的零件更符合要求 可再用方差来判断 平均数和标准差超过了规定界限时 说明这批产品质量与生产要求有较大偏差 对应演练 甲 乙两种冬小麦试验品种连续x年的平均单位面积产量如下 试根据这组数据 估计哪一种小麦品种产量较稳定 甲品种的样本平均数为10 样本方差为 9 8 10 2 9 9 10 2 10 1 10 2 10 10 2 10 2 10 2 5 0 02 乙品种的样本平均数也是10 样本方差为 9 4 10 2 10 3 10 2 10 8 10 2 9 7 10 2 9 8 10 2 5 0 24 0 02 所以 由这组数据可以认为甲种小麦的产量比乙种小麦的产量较稳定 某化肥厂甲 乙两个车间包装肥料 在自动包装传送带上每隔30min抽取一包产品 称其重量 分别记录抽查数据如下 甲 102 101 99 98 103 98 99 乙 110 115 90 85 75 115 110 1 这种抽样方法是哪一种 2 将这两组数据用茎叶图表示 3 将两组数据比较 说明哪个车间产品较稳定 考点四茎叶图 解析 1 因为间隔时间相同 故是系统抽样 2 茎叶图如图所示 分析 1 根据各种抽样的特点判断 2 求出两组数据的平均值与方差进行比较 3 甲车间 平均值 x1 102 101 99 98 103 98 99 100 方差 102 100 2 101 100 2 99 100 2 3 4286 乙车间 平均值 x2 110 115 90 85 75 115 110 100 方差 110 100 2 115 100 2 110 100 2 228 5714 x1 x2 甲车间产品稳定 评析 1 茎叶图的优点是保留了原始数据 便于记录及表示 能反映数据在各段上的分布情况 2 茎叶图不能直接反映总体的分布情况 这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征 进一步估计总体情况 对应演练 某中学高一 2 班甲 乙两名同学自高中以来每场数学考试成绩情况如下 甲的得分 95 81 75 91 86 89 71 65 76 88 94 110 107 乙的得分 83 86 93 99 88 103 98 114 98 79 101 画出两人数学成绩茎叶图 请根据茎叶图对两人的成绩进行比较 甲 乙两人数学成绩的茎叶图如图从这个茎叶图上可以看出 乙同学的得分情况是大致对称的 中位数是98 甲同学的得分情况除一个特殊得分外 也大致对称 中位数是88 因此乙同学发挥比较稳定 总体得分情况比甲同学好 关于人体的脂肪含量 百分比 和年龄关系的研究中 得到如下一组数据 判断它们是否有相关关系 考点五利用散点图判定相关关系 分析 本题涉及两个变量 年龄与脂肪含量 可以以年龄为自变量 考查脂肪含量的变化趋势 而分析相关关系通常借助散点图 解析 以年龄作为x轴 脂肪含量作为y轴 可得相应散点图如图所示 由散点图可知 两者之间具有相关关系 评析 判断有无相关关系 一种常用的简便方法就是绘制散点图 已知10只狗的血球体积及红血球数的测量值如下表 26 99355 90589 49406 20 对应演练 1 将表中的数据画成散点图 2 你能从散点图中发现狗的血球体积与红血球数近似成什么关系吗 3 如果近似成线性相关关系的话 请画出一条直线来近似地表示这种线性相关关系 1 画出的散点图如图所示 2 由散点图可以看出 狗的血球体积与红血球数近似成线性相关关系 3 如图中的直线 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y 万元 有如下的统计资料 1 线性回归方程y bx a的回归系数a b 2 估计使用年限为10年时 维修费用是多少 考点六求线性回归直线 若由资料知 y与x呈线性相关关系 试求 解析 1 制表如下 分析 本题已知x与y之间有线性相关关系 就无需进行相关检验 于是有b a y bx 5 1 23 4 0 08 2 回归直线方程是 y 1 23x 0 08 当x 10年时 y 1 23 10 0 08 12 3 0 08 12 38 万元 即估计使用10年时 维修费用是12 38 万元 评析 由本题中y对x的关系呈线性关系 故可用一元线性相关的方法解决问题 1 利用公式 来计算回归系数 有时为了方便常制表对应出xiyi 以利于求和 2 获得直线方程后 取x 10 即得所求 3 求线性回归方程的计算量大 解题时可借助计算器 列出表格 再按分析时的步骤进行 4 本题是一个应用问题 其实就是求出回归直线方程 通过回归方程来分析使用年限与维修费用之间的关系 广东省深圳外国语学校2011届高三上学期第二次统测 一般说来 一个人的身高越高 他的手就越大 为调查这一问题 对10名高三男生的身高与右手一扎长测量得到如下一组数据 单位 cm 1 画出散点图 你能发现两者有相关关系吗 2 如果有相关关系 求回归直线方程 3 如果一个学生身高185cm 估计他的右手一扎长 对应演练 1 散点图如下 由散点图可以发现 身高与右手一扎长之间的总体趋势成一条直线 所以它们线性相关 2 设回归直线方程为y bx a 将上述数据利用计算器计算得x 174 8 y 21 7 利用公式求得b 0 303 a y bx 31 264 因此所求回归直线方程为y 0 303x 31 264 3 当x 185时 y 24 791 1 牢记画频率分布直方图的步骤 1 先确定分组的组数 其方法是 最大数据与最小数据之差除以组距得组数 2 计算每组的频数及频率 其中频率 3 画出直方图 同时要注意频率分布直方图的含义 2 利用频率分布直方图估计样本的数字特征 1 众数在样本数据的频率分布直方图中 就是最高矩形的中点的横坐标 频数 总数 高考专家助教 2 在频率分布直方图中 中位数左边和右边的直方图的面积应该相等 由此可以估计中位数的值 3 平均数是频率分布直方图的 重心 等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边