高考数学一轮复习 6.2 等差数列精品课件 理 新人教A版.ppt

6 2等差数列 1 等差数列的概念一般地 如果一个数列从等于同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 2 通项公式an 推广 an am 第2项起 每一项与前一 项的差都 a1 n 1 d n m d 考点分析 变式 a1 an d 由此联想到点列 n an 所在直线的 3 等差中项若a b c成等差数列 则称b为 且b a b c成等差数列是2b a c的 4 前n项和sn 变式 1 n d y dx a1 d a与c的等差中项 充要条件 5 等差数列 an 的一些常见性质 1 若m n p q m n p q n 则 2 项数成等差数列 则相应的项也成等差数列 即ak ak m ak 2m k m n 成等差数列 3 设sn是等差数列 an 的前n项和 则sk s2k sk s3k s2k 构成的数列是数列 等差 am an ap aq 在等差数列 an 中 1 已知a15 33 a45 153 求a61 2 已知s8 48 s12 168 求a1和d 3 已知a6 10 s5 5 求a8和s8 4 已知a16 3 求s31 考点一基本量计算 题型分析 分析 在等差数列中有五个重要的量a1 an d n sn 只要已知任意三个 就可求出其他两个 其中a1和d是两个最重要的量 通常要先求出a1和d 4 中因为条件少求不出a1和d 但可利用等差数列的性质求解 解析 1 解法一 设首项为a1 公差为d 依题设条件 得33 a1 14d 153 a1 44d a61 23 61 1 4 217 解方程组得a1 23 d 4 解法二 由 得由an am n m d 得a61 a45 16d 153 16 4 217 2 sn na1 n n 1 d 8a1 28d 48 12a1 66d 168 解方程组得a1 8 d 4 a1 5d 10 5a1 10d 5 解方程组得a1 5 d 3 a8 a6 2d 10 2 3 16 s8 4 s31 31 a16 31 3 31 93 评析 方程思想是解决数列问题的基本思想 通过公差列方程 组 来求解基本量是数列中最基本的方法 同时在解题中也要注意数列性质的应用 3 a6 10 s5 5 对应演练 已知等差数列 an 中 a2 8 前10项和s10 185 1 求数列 an 的通项公式an 2 若从数列 an 中依次取出第2 4 8 2n 项 按原来的顺序排成一个新的数列 试求新数列的前几项和an 1 设数列 an 的公差为d 由a2 8 s10 185 a1 d 8 10a1 d 185 a1 5 d 3 2 an a2 a4 a8 a2n 3 2 2 3 4 2 3 8 2 3 2n 2 3 2 4 8 2n 2n 3 2n 3 2n 1 2n 6 an 3n 2 得 设实数a1 0 且函数f x a x2 1 2x 有最小值 1 若数列 an 的前n项和sn f n 令bn n 1 2 3 证明 数列 bn 是等差数列 分析 证明数列 an 为等差数列 只需证明an 1 an d d为常数 考点二等差数列的判定与证明 证明 f x a x2 1 2x a x 2 a 又f x a x2 1 2x 有最小值 1 f x 的最小值为f 且a 0 即f a 1 解得a 1或a 2 舍去 故f x x2 2x 即sn f n n2 2n 由a1 s1 得a1 1 当n 2时 an sn sn 1 n2 2n n 1 2 2 n 1 2n 3 即an 2n 3 又n 1时 a1 1 2 1 3 即a1也满足an 2n 3 当n 2时 an an 1 2n 3 2 n 1 3 2 an 是首项为 1 公差为2的等差数列 a2 a4 a2n n n n 2n 1 bn 2n 1 因此 当n 2时 bn bn 1 2n 1 2n 3 2 又b1 1 故 bn 是以1为首项 2为公差的等差数列 评析 证明一个数列 an 是等差数列的基本方法有两种 一是利用等差数列的定义法 即证明an 1 an d n n 二是利用等差中项法 即证明 an 2 an 2an 1 n n 在选择方法时 要根据题目条件的特点 如果能够求出数列的通项公式 则可以利用定义法 否则 可以利用等差中项法 对应演练 在数列 an 中 前n项和为sn 已知a1 3 a2 2 且sn 1 2sn sn 1 1 0 n n 且n 2 1 求证 数列 an 是等差数列 2 求数列 4 an 2n 的前n项和tn 1 证明 由sn 1 2sn sn 1 1 0 n n 且n 2 得 sn 1 sn sn sn 1 1 即an 1 an 1 n 2 又由已知a1 3 a2 2 a2 a1 2 3 1 an 1 an 1 n n 数列 an 是以3为首项 以 1为公差的等差数列 且an n 4 2 4 an 2n n 2n tn 1 2 2 22 3 23 n 2n 2tn 1 22 2 33 3 24 n 2n 1 得tn 2 22 23 2n n 2n 1 2 2n 1 n 2n 1 2 n 1 2n 1 在等差数列 an 中 已知a1 20 前n项和为sn 且s10 s15 求当n取何值时 sn取得最大值 并求出它的最大值 分析 1 由a1 20及s10 s15可求得d 进而求得通项 由通项得到此数列前多少项为正 或利用sn是关于n的二次函数 利用二次函数求最值的方法求解 2 利用等差数列的性质 判断出数列从第几项开始变号 考点三等差数列前n项和的最值 解析 解法一 a1 20 s10 s15 10 20 d 15 20 d d an 20 n 1 n a13 0 即当a 12时 an 0 n 14时 an 0 当n 12或13时 sn取得最大值 且最大值为s12 s13 12 20 130 解法二 同解法一求得d sn 20n n2 n n 2 n n 当n 12或13时 sn有最大值 且最大值为s12 s13 130 解法三 同解法一得d 又由s10 s15 得a11 a12 a13 a14 a15 0 5a13 0 即a13 0 当n 12或13时 sn有最大值 且最大值为s12 s13 130 评析 求等差数列前n项和的最值 常用的方法 1 利用等差数列的单调性 求出其正负转折项 2 利用性质求出其正负转折项 便可求得和的最值 3 利用等差数列的前n项和sn an2 bn a b为常数 为二次函数 根据二次函数的性质求最值 对应演练 在等差数列 an 中 a1 0 s9 s12 求数列前多少项和最小 解法一 由s9 s12 得9a1 d 12a1 d 得3a1 30d d a1 a1 0 d 0 sn na1 n n 1 d dn2 dn n 2 d d 0 sn有最小值 又 n n n 10或n 11时 sn取最小值 最小值是 55d 即s10或s11最小且s10 s11 55d 解法二 由解法一知d a1 0 又 a1 0 数列 an 为递增数列 a 0 a1 n 1 d 0an 1 0 a1 nd 0 a1 n 1 a1 0 1 n 1 0a1 n a1 01 n 0 10 n 11 数列的前10项均为负值 a11 0 从第12项起为正值 n 10或11时 sn取最小值 即 令 解法三 s9 s12 a10 a11 a12 0 3a11 0 a11 0 又 a1 0 数列为递增数列 因此数列的前10项均为负值 a11 0 从第12项起为正值 当n 10或11时 sn取最小值 设等差数列的前n项和为sn 已知前6项和为36 sn 324 最后6项的和为180 n 6 求数列的项数n 分析 在等差数列 an 中 若m n p q 则am an ap aq m n p q n 用此性质可优化解题过程 考点四等差数列性质的应用 解析 由题意可知a1 a2 a6 36 an an 1 an 2 an 5 180 得 a1 an a2 an 1 a6 an 5 6 a1 an 216 a1 an 36 又sn 324 18n 324 n 18 评析 本题的解题关键是将性质m n p q am an ap aq与前n项和公式sn 结合在一起 采用整体思想 简化解题过程 对应演练 1 等差数列 an 中 a15 33 a45 153 则d 2 等差数列 an 中 a1 a2 a3 a4 a5 20 则a3 3 若一个等差数列前3项的和为34 最后三项的和为146 且所有项的和为390 则这个数列的项数为 a 13b 12c 11d 10 4 韶关11届高三摸底考 等差数列 an 的前n项和为sn 若a3 a17 10则s19 a 55b 95c 100d 不确定 1 4 2 4 3 a 4 b 1 由d 得d 4 2 由a1 a5 a2 a4 2a3 得5a3 20 所以a3 4 3 因为a1 a2 a3 34 an 2 an 1 an 146 a1 a2 a3 an 2 an 1 an 146 34 180 又因为a1 an a2 an 1 a3 an 2 所以3 a1 an 180 从而a1 an 60 所以sn 即n 13 故应选a 4 由等差数列的性质知s19 故应选b 1 深刻理解等差数列的定义 紧扣从 第二项起 和 差是同一常数 这两点 2 由五个量a1 d n an sn中的三个量可求出其余两个量 要求选用公式要恰当 要善于减少运算量 达到快速 准确的目的 3 已知三个或四个数成等差一类问题 要善于设元 目的仍在于减少运算量 如三个数成等差数列时 除了设a a d a 2d外 还可设a d a a d 四个数成等差数列时 可设为a 3d a d a d a 3d 高考专家助教 4 证明数列 an 是等差数列的两种基本方法是 1 利用定义 证明an an 1 n 2 为