初三数学旋转相似讲义.docVIP

专题：旋转相似模型：手拉手相似模型，旋转相似成双对。条件：CDAB（本质即为OCDOAB），将OCD绕点O旋转到图1和图2的位置。结论：、OCDOAB OACOBD。即连接对应点所得的一对新三角形相似。 、延长AC交BD于点E，则AEB=BOA（用蝴蝶形图证明）（能得到点A、O、E、B四点共圆）模型特例：共直角顶点的直角三角形相似当AOB=COD=90时，除 、OCDOAB OACOBD 、延长AC交BD于点E，则AEB=BOA=90（用蝴蝶形图证明）外，还有结论 、 、因为ACBD于点E，那么，若连AD、BC，则四边形ABCD对角线互相垂直，则 例题讲解例1.已知ABC与DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为O，且顶角ACB=EDF.（1）如图1，若ACB=900,探究BF与CD间的数量关系；（2）如图2，若tanACB=，求的值；（3）如图3，若ABC中AC=BC=a ，将DEF绕点O旋转，设直线CD与直线BF交于点H，则最大值为_（用含a的式子表示）。 分析： （1）连OC，OD，OBF OCD，BF=CD （2）构造手拉手旋转相似。可证OBC OFD, ODC OFB=tan问题转化为已知tanACB=，求tan的问题，必须熟悉等腰三角形中有关三角函数值的常见处理方法。由右图提示可得tan=； （3）由（2）OBC OFD, ODC OFB，蝴蝶形图易得CHB=COB=90；又BC=a ，定边定角，点H在以BC为直径的圆上，易求例2.如图，已知在正方形ABCD和正方形BEFG中，求证：AGCE；求的值分析：如图2，证，AG=CE 如图2，连接BD，BF，DF，易证， 变式：如图3，正方形ABCD和EFGH中，O为BC，EF中点(1)求证：AH=DG;(2)求的值。分析：(1)连接 易证： AEDBC例3.如图，ACBDCE90，ABCCEDCAE30，AC3，AE8，求AD的长。分析：连接BE，由基本图形易得可证ACDBCE，AD BE，BAE90在RtABE作，由勾股定理求得BE10AEDBC则AD 练习1.如图，点A是DBC内一点，求BD得长。分析：构造旋转相似，由基本图形可得出以下几种方法，求出BD=10.练习2如图，在ABC中，ACB90，BC2AC，F、G分别为AC、BC的中点，将CFG绕点C顺时针旋转，直线AF与直线BG交于点I.(1) 求证：AFBG；(2) 当旋转角小于90时，求的值；(3) 若AC4，直接写出ACI面积的最大值_. 分析：（3）需分析出I点轨迹，由A、C、I、B四点共圆可得AIC=ABC，又AC=4，定边定角得I轨迹为圆弧。练习3将等腰RtABC和等腰RtADE按图1方式放置，A90，AD边与AB边重合，AB2AD4将ADE绕点A逆时针旋转（旋转角不超过180），BD的延长线交直线CE于点P（1）如图2，BD与CE的数量关系是_，位置关系是_；（2）在旋转的过程中，当ADBD时，求CP的长；（3）当点D落在BA的延长线上时，求点P所经过的路径的长AEDBCAEBC图1图2DADBCEP分析：（1）BDCE BDCE（2）BDCE，ADBD，ADPDPE90又DAE90，ADAE，四边形ADPE为正方形AB2AD4，PEAD2CEBD2CP22（3）取BC中点O，连接OA、OP在旋转过程中，BDCE，BPC90AEBCDOPOP BC2点P的运动路径是以O为圆心、半径为2的一段圆弧即ABC外接圆的一部分则AOP2ABP易知点D在以A为圆心、半径为2的半圆上运动当BP与半圆A相切于点D时，ABP最大，从而AOP最大AD AB，ABP30，AOP60即当ADE从初始位置旋转