高考数学一轮复习 6.2 等差数列及其前n项和精品课件 新人教A版.ppt

要点梳理1 等差数列的定义如果一个数列 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的 通常用字母表示 2 等差数列的通项公式如果等差数列 an 的首项为a1 公差为d 那么它的通项公式是 6 2等差数列及其前n项和 从第二项起每一项与它相邻前面一项 的差是同一个常数 公差 d an a1 n 1 d 基础知识自主学习 3 等差中项如果 那么a叫做a与b的等差中项 4 等差数列的常用性质 1 通项公式的推广 an am n m n 2 若 an 为等差数列 且k l m n k l m n n 则 3 若 an 是等差数列 公差为d 则 a2n 也是等差数列 公差为 4 若 an bn 是等差数列 则 pan qbn 是 2d ak al am an n m d 等差 数列 5 若 an 是等差数列 则ak ak m ak 2m k m n 是公差为的等差数列 5 等差数列的前n项和公式设等差数列 an 的公差为d 其前n项和sn 或sn 6 等差数列的前n项和公式与函数的关系sn 数列 an 是等差数列的充要条件是其前n项和公式sn f n 是n的 即sn md an2 bn a2 b2 0 二次函数或一次函数且不含常数 项 7 在等差数列 an 中 a1 0 d 0 则sn存在最值 若a1 0 d 0 则sn存在最值 8 等差数列与等差数列各项的和有关的性质 1 若 an 是等差数列 则也成数列 其首项与 an 首项相同 公差是 an 公差的 2 sm s2m s3m分别为 an 的前m项 前2m项 前3m项的和 sm s2m sm s3m s2m成数列 小 等差 等差 大 3 关于等差数列奇数项与偶数项的性质 若项数为2n 则s偶 s奇 若项数为2n 1 则s偶 n 1 an s奇 an s奇 s偶 4 两个等差数列 an bn 的前n项和sn tn之间的关系为 nd n an 基础自测1 2009 辽宁文 3 an 为等差数列 且a7 2a4 1 a3 0 则公差d a 2b c d 2解析根据题意得a7 2a4 a1 6d 2 a1 3d 1 a1 1 又 a3 a1 2d 0 d b 2 已知数列 an 中 a1 1 则a10等于 a b c d 以上都不对解析由a1 1 得为等差数列 b 3 2009 福建理 3 等差数列 an 的前n项和为sn 且s3 6 a3 4 则公差d等于 a 1b c 2d 3解析设 an 首项为a1 公差为d 则s3 3a1 d 3a1 3d 6 a3 a1 2d 4 a1 0 d 2 c 4 已知等差数列 an 的前13项之和为39 则a6 a7 a8等于 a 6b 9c 12d 18解析由s13 13a7 39得a7 3 a6 a7 a8 3a7 9 b 5 设sn是等差数列 an 的前n项和 若则等于 a 1b 1c 2d 解析由等差数列的性质 a 题型一等差数列的判定 例1 已知数列 an 的通项公式an pn2 qn p q r 且p q为常数 1 当p和q满足什么条件时 数列 an 是等差数列 2 求证 对任意实数p和q 数列 an 1 an 是等差数列 1 由定义知 an 为等差数列 an 1 an必为一个常数 2 只需推证 an 2 an 1 an 1 an 为一个常数 思维启迪 题型分类深度剖析 1 解an 1 an p n 1 2 q n 1 pn2 qn 2pn p q 要使 an 是等差数列 则2pn p q应是一个与n无关的常数 所以只有2p 0 即p 0 故当p 0 时 数列 an 是等差数列 2 证明 an 1 an 2pn p q an 2 an 1 2p n 1 p q an 2 an 1 an 1 an 2p为一个常数 an 1 an 是等差数列 探究提高证明或判断一个数列为等差数列 通常有两种方法 1 定义法 an 1 an d 2 等差中项法 2an 1 an an 2 就本例而言 第 2 问中 需证明 an 2 an 1 an 1 an 是常数 而不是证an 1 an为常数 知能迁移1设两个数列 an bn 满足bn 若 bn 为等差数列 求证 an 也为等差数列 证明由题意有a1 2a2 3a3 nan 从而有a1 2a2 3a3 n 1 an 1 bn 1 n 2 由 得nan 整理得an 其中d为 bn 的公差 n 2 从而an 1 an n 2 又a1 b1 a2 d b1 a2 a1 d 所以 an 是等差数列 题型二等差数列的基本运算 例2 在等差数列 an 中 1 已知a15 33 a45 153 求a61 2 已知a6 10 s5 5 求a8和s8 3 已知前3项和为12 前3项积为48 且d 0 求a1 在等差数列中 五个重要的量 只要已知三个量 就可求出其他两个量 其中a1和d是两个最基本量 利用通项公式与前n项和公式 先求出a1和d 思维启迪 解 1 方法一设首项为a1 公差为d 依条件得33 a1 14da1 23 153 a1 44dd 4 a61 23 61 1 4 217 方法二由由an am n m d 得a61 a45 16d 153 16 4 217 解方程组得 2 a6 10 s5 5 解方程组得a1 5 d 3 a8 a6 2d 10 2 3 16 a1 5d 105a1 10d 5 s8 8 44 3 设数列的前三项分别为a d a a d 依题意有 a d a a d 12 a d a a d 48 a 4a 4a a2 d2 48d 2 d 0 d 2 a d 2 首项为2 a1 2 方程思想是解决数列问题的基本思想 通过公差列方程 组 来求解基本量是数列中最基本的方法 同时在解题中也要注意数列性质的应用 探究提高 知能迁移2设 an 是一个公差为d d 0 的等差数列 它的前10项和s10 110且a1 a2 a4成等比数列 1 证明a1 d 2 求公差d的值和数列 an 的通项公式 1 证明因为a1 a2 a4成等比数列 故 a1a4 而 an 是等差数列 有a2 a1 d a4 a1 3d 于是 a1 d 2 a1 a1 3d 即 2a1d d2 3a1d 化简得a1 d 2 解因为s10 110 s10 10a1 d 所以10a1 45d 110 由 1 a1 d 代入上式得55d 110 故d 2 an a1 n 1 d 2n 因此 数列 an 的通项公式为an 2n n 1 2 3 题型三等差数列的性质及综合应用 例3 12分 在等差数列 an 中 已知a1 20 前n项和为sn 且s10 s15 求当n取何值时 sn取得最大值 并求出它的最大值 1 由a1 20及s10 s15可求得d 进而求得通项 由通项得到此数列前多少项为正 或利用sn是关于n的二次函数 利用二次函数求最值的方法求解 2 利用等差数列的性质 判断出数列从第几项开始变号 思维启迪 解方法一 a1 20 s10 s15 10 20 d 15 20 d d 4分 an 20 n 1 8分 a13 0 即当n 12时 an 0 n 14时 an 0 10分 当n 12或13时 sn取得最大值 且最大值为s12 s13 12 20 130 12分 方法二同方法一求得d 4分 sn 20n 8分 n n 当n 12或13时 sn有最大值 且最大值为s12 s13 130 12分方法三同方法一得d 4分又由s10 s15 得a11 a12 a13 a14 a15 0 8分 5a13 0 即a13 0 10分 当n 12或13时 sn有最大值 且最大值为s12 s13 130 12分 探究提高求等差数列前n项和的最值 常用的方法 1 利用等差数列的单调性 求出其正负转折项 2 利用性质求出其正负转折项 便可求得和的最值 3 利用等差数列的前n项和sn an2 bn a b为常数 为二次函数 根据二次函数的性质求最值 知能迁移3在等差数列 an 中 a16 a17 a18 a9 36 其前n项和为sn 1 求sn的最小值 并求出sn取最小值时n的值 2 求tn a1 a2 an 解 1 设等差数列 an 的首项为a1 公差为d a16 a17 a18 3a17 36 a17 12 d 3 an a9 n 9 d 3n 63 an 1 3n 60 an 3n 63 0an 1 3n 60 0 s20 s21 当n 20或21时 sn最小且最小值为 630 令 得20 n 21 2 由 1 知前20项小于零 第21项等于0 以后各项均为正数 当n 21时 tn sn 当n 21时 tn sn 2s21 综上 tn n 21 n n n 21 n n 方法与技巧1 等差数列的判断方法有 1 定义法 an 1 an d d是常数 an 是等差数列 2 中项公式 2an 1 an an 2 n n an 是等差数列 3 通项公式 an pn q p q为常数 an 是等差数列 4 前n项和公式 sn an2 bn a b为常数 an 是等差数列 思想方法感悟提高 2 方程思想和基本量思想 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量 通过建立方程 组 获得解 3 等差数列的通项公式本身可以由累加法得到 4 等差数列的前n项和公式sn 很像梯形面积公式 其推导方法也与梯形面积公式的推导方法完全一样 5 等差数列的前n项和公式sn na1 d可以变形为类似于匀加速直线运动的路程公式 只要把d理解为加速度 失误与防范1 如果p q r s 则ap aq ar as 一般地 ap aq ap q 必须是两项相加 当然可以是ap t ap t 2ap 2 等差数列的通项公式通常是n的一次函数 除非公差d 0 3 公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数 且常数项为0 若某数列的前n项和公式是n的常数项不为0的二次函数 则该数列不是等差数列 它从第二项起成等差数列 4 公差d 类似于由两点坐标求直线斜率的计算 5 当d不为零时 等差数列必为单调数列 6 从一个等差数列中 每隔一定项抽出一项 组成的数列仍是等差数列 一 选择题1 2008 广东理 2 记等差数列 an 的前n项和为sn 若a1 s4 20 则s6等于 a 16b 24c 36d 48解析 s4 2 6d 20 d 3 故s6 3 15d 48 d 定时检测 2 2009 安徽文 5 已知 an 为等差数列 a1 a3 a5 105 a2 a4 a6 99 则a20等于 a 1b 1c 3d 7解析由已知得a1 a3 a5 3a3 105 a2 a4 a6 3a4 99 a3 35 a4 33 d 2 a20 a3 17d 35 2 17 1 b 3 2009 湖南文 3 设sn是等差数列 an 的前n项和 已知a2 3 a6 11 则s7等于 a 13b 35c 49d 63解析 a1 a7 a2 a6 3 11 14 s7 c 4 2009 宁夏 海南理 7 等比数列 an 的前n项和为sn 且4a1 2a2 a3成等差数列 若a1 1 则s4 a 7b 8c 15d 16解析设等比数列的公比为q 则由4a1 2a2 a3成等差数列 得4a2 4a1 a3 4a1q 4a1 a1q2 q2 4q 4 0 q 2 s4 c 5 已知等差数列 an 的公差为d d 0 且a3 a6 a10 a13 32 若am 8 则m为 a 12b 8c 6d 4解析由等差数列性质a3 a6 a10 a13 a3 a13 a6 a10 2a8 2a8 4a8 32 a8 8 m 8 b 6 各项均不为零的等差数列 an 中 若 an 1 an 1 0 n n n 2 则s2009等于 a 0b 2c 2009d 4018解析 an 1 an 1 2an an 0 an 2 sn 2n s2009 2 2009 4018 d 二 填空题7 2009 辽宁理 14 等差数列 an 的前n项和为sn 且6s5 5s3 5 则a4 解析由题意知6 45d 15 a1 3d 15a4 5 故a4 8 2009 全国 理 14 设等差数列 an 的前n项和为sn 若a5 5a3 则 解析设等差数列的公差为d 首项为a1 则由a5 5a3知a1 9 9 已知sn为等差数列 an 的前n项和 若a2 a4 7 6 则s7 s3等于 解析 2 1 三 解答题10 在数列 an 中 a1 1 3anan 1 an an 1 0 n 2 1 求证 数列是等差数列 2 求数列 an 的通项 1 证明因为3anan 1 an an 1 0 n 2 整理得 3 n 2 所以数列是以1为首项 3为公差的等差数列 2 解由 1 可得 1 3 n 1 3n 2 所以an 11 已知数列 an 中 a1 an 2 n 2 n n 数列 bn 满足bn n n 1 求证 数列 bn 是等差数列 2 求数列 an 中的最大项和最小项 并说明理由 1 证明因为an 2 n 2 n n bn 所以当n 2时 bn bn 1 又b1 所以 数列 bn 是以 为首项 以1为公差的等差数列 2 解由 1 知 bn n 则an 设函数f x 1 易知f x 在区间 和 内为减函数 所以 当n 3时 an取得最小值 1 当n 4时 an取得最大值3 12 已知数列 an 中 a1 5且an 2an 1 2n 1 n 2且n n 1 求a2 a3的