高三数学上册 15.5《空间几何体的体积》课件（2） 沪教版.ppt

笛卡儿说 数学是知识的工具 亦是其它知识工具的泉源 所有研究顺序和度量的科学均和数学有关 青藏铁路是西部大开发标志性工程 全长1142公里 是世界上海拔最高 线路最长 穿越冻土里程最长的高原铁路 青藏铁路 假设在青藏铁路的某段路基需要用碎石铺垫 已知路基的形状尺寸如图所示 单位 米 问每修建1千米铁路需要碎石多少立方米 想知道如何求吗 让我们一起来探索吧 空间几何体的体积 平面几何中我们用单位正方形的面积来度量平面图形的面积 立体几何中用单位正方体 棱长为1个长度单位 的体积来度量几何体的体积 一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍 那么这个倍数就是这个几何体的体积的数值 某长方体纸盒的长 宽 高分别为4cm 3cm 3cm 则每层有 个单位正方体 三层共有 个单位正方体 所以 整个长方体的体积是 4 3 12 36 36cm3 问题1 长方体体积 v长方体 abc 或v长方体 sh s h分别表示长方体的底面积和高 a b c分别为长方体长 宽 高 取一摞书放在桌面上 并改变它们的位置 观察改变前后的体积是否发生变化 问题2 一般柱体的体积 高度 书中每页纸面积和顺序不变 2 1实验猜想 2 3 祖暅原理 2 2 作图验证 两等高的几何体 若在所有等高处的水平截面的面积相等 则这两个几何体的体积相等 我国古代著名数学家祖冲之在计算圆周率等问题方面有光辉的成就 祖冲之的儿子祖暅也在数学上有突出贡献 祖暅在实践的基础上 于5世纪末提出了这个体积计算原理 祖暅提出这个原理 要比其他国家的数学家早一千多年 在欧洲只道17世纪 才有意大利数学家卡瓦列里 cavalieri b 1598年 1647年 提出上述结论 429年 500年 2 4 柱的体积 s h s s 底面积相等 高也相等的柱体的体积也相等 v柱体 sh 3 1 锥体 棱锥 圆锥 的体积 底面积s 高h 注意 三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换 四面体的每一个面都可以作为底面 可以用来求点到面的距离 问题3 锥体 棱锥 圆锥 的体积 类似的 底面积相等 高也相等的两个锥体的体积也相等 v锥体 s为底面积 h为高 s s 3 2等底面积等高的锥体的体积有何关系 h x v台体 上下底面积分别是s s 高是h 则 问题4 台体 棱锥 圆锥 的体积 v台体 v柱体 sh v锥体 s s s s 0 s s 问题5 柱 锥 台的体积关系 假设在青藏铁路的某段路基需要用碎石铺垫 已知路基的形状尺寸如图所示 单位 米 问每修建1千米铁路需要碎石多少立方米 例题探究 例1 一几何体按比例绘制的三视图如图所示 单位 m 1 试画出它的直观图 2 求它的体积 2 底面积s 1 2 1 1 5m2几何体的体积v 1 5 1 1 5m3 例2 将边长为a的正方形abcd沿对角线ac折起 使b d两点间距离变为a 则所得三棱锥d abc的体积为 a b c d 例2 将边长为a的正方形abcd沿对角线ac折起 使b d两点间距离变为a 则所得三棱锥d abc的体积为 a b c d 你能求出a点到面bdc的距离吗 例3 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5 8kg 已知底面六边形的边长是12mm 高是10mm 内孔直径是10mm 那么约有毛坯多少个 铁的比重是7 8g cm3 分析 六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差 解 v正六棱柱 1 732 122 6 10 3 74 103 mm3 v圆柱 3 14 52 10 0 785 103 mm3 毛坯的体积v 3 74 103 0 785 103 2 96 103 mm3 2 96 cm3 约有毛坯 5 8 103 7 8 2 96 2 5 102 个 答 这堆毛坯约有250个 2 用一张长12cm 宽8cm的铁皮围成圆柱形的侧面 该圆柱体积为 结果保留 课堂练习 1 已知一正四棱台的上底面边长为4cm 下底面边长为8cm 高为3cm 其体积为 112cm3 3 埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年 其形状为正四棱锥 金字塔高146 6米 底面边长230 4米 求这座金字塔的体积 v 2594046 0 m3 2 柱 锥 台体积的计算公式及它们之间的联系 1 体积度量的基本思路 长方体体积公式是计算其他几何体体积的基础 问题6 回顾反思 即特殊到一般的数学思想 r r 球的体积 一个半径和高都等于r的圆柱 挖去一个以上底面为底面 下底面圆心为顶点的圆锥后 所得的几何体的体积与一个半径为r的半球的体积相等 探究 r r r s1 探究 球的表面积 球的表面积 设想一个球由许多顶点在球心 底面在球面上的 准锥体 组成 这些准锥体的底面并不是真的多边形 但只要其底面足够小 就可以把它们看成真正的锥体 1 一个正方体内接于半径为r的球内 求正方体的体积 2 一个平面截一个球得到直径是6cm的圆面 球心到这个平面的距离是4cm 求该球的表面积和体积 例 如图是一个奖杯的三视图 单位是cm 试画出它的直观图 并计算这个奖杯的体积 精确到0 01cm 8 6 6 18 5 15 15 11 11 x y z 这个奖杯的体积为 v v正四棱台 v