高中数学 2.2 等差数列课件 新人教A版必修5.ppt

在日常生活中 我们经常会遇到如存款利息 购房贷款等与人们生活密切相关的问题 花明天的钱 圆今天的梦 是一种新的消费观念 一则流传很广的小笑话是 一名中国老妇与一名美国老妇在天国相遇 中国老妇说 我存了一辈子钱 临终时终于买到了一套住房 而美国老妇则说 我在临终前 终于把分期付款的买房款全部还清了 如今 分期付款的方式被越来越多的人接受了 你能明白其中的奥妙吗 本章通过对一般数列的研究 转入对两类特殊数列 等差数列 等比数列的通项公式及前n项和公式的研究 首先通过三角形数 正方形数的实例引入数列的概念 然后将数列作为一种特殊函数 介绍了数列的几种简单表示法 列表 图象 通项公式 简单的递推公式 等差数列是从现实生活中的一些实例引入 然后由定义入手 探索发现等差数列的通项公式 等差数列的前n项和公式是通过1 2 3 100的高斯算法推广到一般等差数列的前n项和的算法 与等差数列呈现方式类似 等比数列的定义是通过细胞分裂 计算机病毒感染 银行存款利息 以及我国古代关于 一尺之棰 日取其半 万世不竭 问题的研究 探索发现得出的 然后类比等差数列的通项公式 探索发现等比数列的通项公式 接着通过实例引入等比数列的前n项和 并用错位相减法探索发现等比数列的前n项和公式 最后 通过 九连环 问题的阅读与思考以及 购房中的数学 的探究与发现 进一步感受数列与现实生活的联系 本章内容设计突出了某些重要的数学思想方法 如类比思想 归纳思想 数形结合思想 算法思想 方程思想以及由特殊到一般的思想方法等 本章内容设计体现了现代信息技术的应用 实际学习中可根据具体情况适当地 适度地应用现代教育技术 以做到真正有利于我们的学习 帮助我们认识丰富多彩的大自然 帮助理解数学 提高学习数学的兴趣 2 1数列的概念与简单表示法 第1课时数列的概念与通项公式 1 数列 数列的项 按照排列着的一列数叫做数列 叫做这个数列的项 2 数列的通项公式 与之间的关系可以用一个公式表示 这个公式叫做这个数列的通项公式 一定顺序 数列中的每个数 数列 an 的第n项 序号n 3 数列与函数的关系 数列可以看作是一个定义域为正整数集n 或它的有限子集 1 2 3 n 的函数 当自变量取值时对应的一列函数值 4 数列可用图象来表示 在直角坐标系中 来表示一个数列 图象是一些 它们位于 以序号为 横坐标 相应的项为纵坐标描点画图孤立的点 第一象限 第四象限或x轴的正半轴 从小到大依次 答案 b 解析 逐项验证 答案 b 解析 由题意知 a2 2 2 2 2 a3 3 3 1 10 a2a3 2 10 20 答案 20 4 已知数列 an 的通项公式为an 4n 7 则数列中三位数的个数有 个 解析 令100 an 999 即100 4n 7 999 解得23 25 n 248 又n n 24 n 248 n n 故数列中三位数共有248 24 1 225个 答案 225 5 已知数列 an 的通项公式为an n n 2 问 1 80 90是不是该数列的项 如果是 是第几项 2 从第几项开始 该数列的项大于10000 解 1 令n n 2 80 得n1 8 n2 10 舍 80是数列的第8项 令n n 2 90 而此方程无正整数解 90不是该数列的项 2 a99 99 10110000 从第100项开始 该数列的项大于10000 其中 有穷数列是 无穷数列是 递增数列是 递减数列是 摆动数列是 周期数列是 将合理的序号填在横线上 分析 由题目可获取以下主要信息 注意省略号 及其位置 观察数列的项的变化趋势与规律 利用数列的通项公式 解答本题要紧扣数列的有关概念完成判断 答案 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5 点评 若数列 an 满足anan 1 则是递减数列 若存在正整数t t为常数 使an t an 则数列的周期为t 解答本题应体现出 概念优先 原则 迁移变式1分别写出下面的数列 1 正整数1 2 3 4 5 的倒数顺次构成的数列 2 0到10的奇数按照从小到大的顺序构成的数列 3 2的1次幂 2次幂 3次幂 顺次构成的数列 分析 观察数列的前几项与序号之间的关系 即可写出 点评 由数列的前几项写出一个通项公式 应尽量避免盲目性 要善于从数值an与序号n之间的对应关系中发现规律 并且写出通项后要进行验证或调整 点评 通项公式直接反映了an与n之间的关系 给出一个数a 可以通过通项公式来判断数a是否为数列中的项 判断时只要看an a是否有正整数解即可 研究数列中项的某些性质时一般利用通项公式 如由本例 2 的证明可知该数列具有周期性 迁移变式3已知数列的通项公式为an n 1 n 2 若an 9900 问an是第几项 解 由an n 1 n 2 得 n 1 n 2 9900即n2 3n 9898 0 n 98 n 101 0 n 98 例4 在数列 an 中 an n 1 n n n 1 求证 数列 an 先递增 后递减 2 求数列 an 的最大项 分析 an n 1 n是积幂式子的形式 an 0 可用作商法比较an与an 1的大小 点评 数列是一种特殊的函数 因此可用函数的单调性的研究方法来研究数列的单调性 或用证明不等式的方法证明数列的单调性 迁移变式4已知数列 an 的通项公式为an n2 5n 4 1 数列中有多少项是负数 2 n为何值时 an有最小值 并求出最小值 1 数列的通项公式如果数列的第n项an与n之间的关系可以用一个函数式an f n 来表示 那么这个公式叫做这个数列的通项公式 注意 数列的通项与通项公式是有区别的 前者是函数值 后者是一个函数的解析式 2 数列与函数的关系对任一数列 an 每一项的序号n与这一项an的对应关系 可以看成序号集合到另一个数的集合的映射 因此 从映射 函数的观点看 数列可以看成是一个定义域为正整数集n 或它的有限子集 1 2 3 n 的函数 即当自变量从小到大依次取值时对应的函数值 图1 而数列的通项公式也就是相应函数的解析式 反过来 对于函数y f x 如果f i i 1 2 3 n 有意义 那么可以得到一个数列f 1 f 2 f 3 f n 3 数列的表示法从函数