高中数学 1.3.3 函数的最值与导数（2）课件 新人教A版选修22.ppt

1 3 3函数的最大 小 值与导数 1 函数f x 在闭区间 a b 上的最值设函数y f x 在闭区间 a b 上的图象是一条连续不间断的曲线 则该函数在 a b 上一定能取得 函数的必在或取得 但在开区间 a b 内可导的函数f x 有最大值与最小值 2 求可导函数y f x 在 a b 上的最大 小 值的步骤 1 求f x 在开区间 a b 内的 2 计算函数f x 在各和处的函数值f a f b 比较 其中的一个为最大值 的一个为最小值 最值 极值点 不一定 极值 极值点 端点 最大 最小 最大值与最小值 区间端点 例1 已知a是实数 函数f x x2 x a 1 若f 1 3 求a的值及曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 求f x 在区间 0 2 上的最大值 分析 由题目可获取以下主要信息 函数f x x2 x a 中含有参数a 在a确定的情况下 求切线方程 在a不确定的情况下求函数在区间 0 2 上的最大值 解答本题可先对函数求导 然后根据a的不同取值范围 讨论确定f x 在 0 2 上的最大值 解析 1 f x 3x2 2ax 因为f 1 3 2a 3 所以a 0 又当a 0时 f 1 1 f 1 3 所以曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为3x y 2 0 点评 已知函数f x x3 3x2 9x a 1 求f x 的单调递减区间 2 若f x 在区间 2 2 上的最大值为20 求它在该区间上的最小值 解析 1 f x 3x2 6x 9 3 x2 2x 3 3 x 3 x 1 令f x 3 函数f x 的单调递减区间为 1 3 变式1 2 令f x 0 x 2 2 x 1 当 2 x 1时 f x 0 当 1 x 2时 f x 0 x 1是函数f x 的极小值点 该极小值也就是函数f x 在 2 2 上的最小值 即f x min f 1 a 5 又函数f x 的区间端点值为f 2 8 12 18 a a 22 f 2 8 12 18 a a 2 a 22 a 2 f x max a 22 20 a 2 此时f x min a 5 7 例2 已知f x ax3 6ax2 b 问是否存在实数a b 使f x 在 1 2 上取最大值3 最小值 29 若存在 求出a b的值 若不存在 说明理由 分析 由题目可获取以下主要信息 函数f x ax3 6ax2 b在x 1 2 上的最大值为3 最小值为 29 根据最大值 最小值确定a b的值 解答本题可先对f x 求导 确定f x 在 1 2 上的单调性及最值 再建立方程从而求得a b的值 解析 存在 显然a 0 f x 3ax2 12ax 令f x 0 得x 0或x 4 舍去 1 当a 0时 x变化时 f x f x 变化情况如下表 所以当x 0时 f x 取最大值 所以f 0 b 3 又f 2 3 16a f 1 3 7a f 1 f 2 所以当x 2时 f x 取最小值 即f 2 3 16a 29 所以a 2 2 当af 1 所以当x 2时 f x 取最大值 即 16a 29 3 所以a 2 综上所述 a 2 b 3或a 2 b 29 点评 已知函数的最值求解待定系数的取值或参数的取值范围是函数最值应用的常见题型之一 由于参数会对函数的最值的取到点有影响 所以解决这类问题常需要分类讨论 并结合不等式的知识进行求解 设函数f x ax3 bx c a 0 为奇函数 其图象在点 1 f 1 处的切线与直线x 6y 7 0垂直 导函数f x 的最小值为 12 1 求a b c的值 2 求函数f x 的单调递增区间 并求函数f x 在 1 3 上的最大值和最小值 变式2 解析 1 f x 为奇函数 f x f x 即 ax3 bx c ax3 bx c c 0 f x 3ax2 b的最小值为 12 又 a 0 b 12 因此f 1 3a b 6 解得a 2 故a 2 b 12 c 0 2 f x 2x3 12x 本讲到此结束 请同学们课后再做好复习 谢谢 再见 作业 练 已知f x 2x3 6x2 m m是常数 在 2 2 上有最大值3 那么此函数在 2 2 上的最小值为 a 37b 29c 5d 11 答案 a 解析 f x 6x2 12x 6 x2 2x 6x x 2 令f x 0 解得x 0或x 2 f 0 m f 2 8 m f 2 40 m f 0 f 2 f 2 m 3 最小值为f 2 37 故应选a 五 小结 1 求在 a b 上连续 a b 上可导的函数f x 在 a b 上的最值的步骤 1 求f x 在 a b 内的极值 2 将f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 2 求函数的最值时 应注意以下几点 1 要正确区分极值与最值这两个概念 2 在 a b 上连续 a b 上可导的函数f x 在 a