高考数学一轮复习 《第八章 立体几何》第5课时　直线 平面垂直的判定及性质课件.ppt

第5课时直线 平面垂直的判定及性质 1 以立体几何的定义 公理和定理为出发点 认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理 2 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 2011 考纲下载 纵观近几年高考题 始终围绕着垂直关系命题 这突出了垂直关系在立体几何中的重要地位 又能顺利实现各种关系的转化 从而体现了能力命题的方向 特别是线面垂直 集中了证明和计算的中心内容 请注意 课前自助餐课本导读1 直线与平面垂直的判定定理如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直 则这条直线与这个平面垂直 推论如果在两条平行直线中 有一条垂直于平面 那么另一条直线也垂直于这个平面 2 直线与平面垂直的性质定理 1 如果两条直线垂直于同一个平面 那么这两条直线平行 2 如果一条直线垂直于一个平面 那么它就和平面内的任意一条直线垂直 3 平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线 则两个平面互相垂直 4 平面与平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 教材回归1 2011 衡水调研 设b c表示两条直线 表示两个平面 下列命题中真命题是 a 若b c 则b cb 若b b c 则c c 若c c 则 d 若c 则c 答案c解析如果一条直线平行于一个平面 它不是与平面内的所有直线平行 只有部分平行 故a错 若一条直线与平面内的直线平行 该直线不一定与该平面平行 该直线可能是该平面内的直线 故b错 如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行 那么这两个平面垂直 这是一个真命题 故c对 对d来讲若c 则c与 的位置关系不定 故选c 2 设 是三个互不重合的平面 m n是两条不重合的直线 则下列命题中正确的是 a 若 则 b 若 m m 则m c 若 m 则m d 若m n 则m n答案b 解析选项a中平面 可以是斜交 也可以是平行 选项c中直线m可在 内 选项d中的直线m n可以是斜交 平行 还可以是异面 选项b正确 3 2010 浙江 理 设l m是两条不同的直线 是一个平面 则下列命题正确的是 a 若l m m 则l b 若l l m 则m c 若l m 则l md 若l m 则l m答案b解析根据定理 两条平行线中的一条垂直于另一个平面 另一条也垂直于这个平面知b正确 4 2011 合肥第一次质检 设 为彼此不重合的三个平面 l为直线 给出下列命题 若 则 若 且 l 则l 若直线l与平面 内的无数条直线垂直 则直线l与平面 垂直 若 内存在不共线的三点到 的距离相等 则平面 平行于平面 上面命题中 真命题的序号为 写出所有真命题的序号 答案 5 如图 在空间四边形abcd中 ab bc cd da e f g分别为cd da和ac的中点 求证 平面bef 平面bgd 证明 ab bc cd ad g是ac的中点 bg ac dg ac bg dg g ac 平面bgd 又e f分别为cd da的中点 ef ac ef 平面bgd ef 平面bef 平面bgd 平面bef 授人以渔题型一线线 线面垂直例1如图 已知pa 矩形abcd所在平面 m n分别是ab pc的中点 1 求证 mn cd 2 若 pda 45 求证 mn 平面pcd 证明 1 连结ac pa 平面abcd pa ac 在rt pac中 n为pc中点 2 pda 45 pa ad ap ad abcd为矩形 ad bc pa bc 又 m为ab的中点 am bm 而 pam cbm 90 pm cm 又n为pc的中点 mn pc 由 1 知mn cd pc cd c mn 平面pcd 探究1证线面垂直的方法有 1 利用判定定理 它是最常用的思路 2 利用线面垂直的性质 两平行线之一垂直于平面 则另一条线必垂直于该平面 3 利用面面垂直的性质 两平面互相垂直 在一个面内垂直于交线的直线垂直于另一平面 两相交平面都垂直于第三个平面 则它们的交线垂直于第三个平面 思考题1如图 已知矩形abcd 过a作sa 平面ac 再过a作ae sb交sb于e 过e作ef sc交sc于f 1 求证 af sc 2 若平面aef交sd于g 求证 ag sd 证明 1 sa 平面ac bc 平面ac sa bc abcd为矩形 ab bc且sa ab a bc 平面sab 又 ae 平面sab bc ae 又sb ae且sb bc b ae 平面sbc 又 sc 平面sbc ae sc 又ef sc且ae ef e sc 平面aef 又 af 平面aef af sc 2 sa 平面ac dc 平面ac sa dc 又ad dc sa ad a dc 平面sad 又ag 平面sad dc ag 又由 1 有sc 平面aef ag 平面aef sc ag且sc cd c ag 平面sdc 又sd 平面sdc ag sd 题型二面 面垂直例2 1 abc为正三角形 ec 平面abc bd ce 且ce ca 2bd m是ea的中点 求证 de da 平面bdm 平面eca 平面dea 平面eca 证明 取ec的中点f 连结df bd ce db ba 又ec bc 在rt efd和rt dba中 mn bd n点在平面bdm内 ec 平面abc ec bn 又ca bn bn 平面eca bn 平面bdm 平面bdm 平面eca dm bn bn 平面eca dm 平面eca 又dm 平面dea 平面dea 平面eca 2 已知 平面pab 平面abc 平面pac 平面abc ae 平面pbc e为垂足 求证 pa 平面abc 当e为 pbc的垂心时 求证 abc是直角三角形 思路分析 已知条件 平面pab 平面abc 想到面面垂直的性质定理 便有如下解法 证明 在平面abc内取一点d 作df ac于f 平面pac 平面abc 且交线为ac df 平面pac 又pa 平面pac df pa 作dg ab于g 同理可证 dg pa dg df都在平面abc内 pa 平面abc 连结be并延长交pc于h e是 pbc的垂心 pc bh 又已知ae是平面pbc的垂线 pc 平面pbc pc ae 又bh ae e pc 平面abe 又ab 平面abe pc ab pa 平面abc pa ab 又pc pa p ab 平面pac 又ac 平面pac ab ac 即 abc是直角三角形 探究2由 1 应掌握证明两平面垂直常转化为线面垂直 利用判定定理来证明 也可作出二面角的平面角 证明平面角为直角 利用定义来证明 由 2 已知两个平面垂直时 过其中一个平面内的一点作交线的垂线 则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面 于是面面垂直转化为线面垂直 由此得出结论 两个相交平面同时垂直于第三个平面 则它们的交线也垂直于第三个平面 的关键是灵活利用 题的结论 思考题2如图所示 在斜三棱柱a1b1c1 abc中 底面是等腰三角形 ab ac 侧面bb1c1c 底面abc 1 若d是bc的中点 求证 ad cc1 2 过侧面bb1c1c的对角线bc1的平面交侧棱于m 若am ma1 求证 截面mbc1 侧面bb1c1c 3 am ma1是截面mbc1 侧面bb1c1c的充要条件吗 请你叙述判断理由 证明 1 ab ac d是bc的中点 ad bc 底面abc 侧面bb1c1c 且交线为bc 由面面垂直的性质定理可知ad 侧面bb1c1c 又 cc1 侧面bb1c1c ad cc1 2 方法一取bc1的中点e 连结de me 在 bcc1中 d e分别是bc bc1的中点 am ma1 na1 a1b1 又 ab ac 由棱柱定义知 abc a1b1c1 ab a1b1 ac a1c1 a1c1 a1n a1b1在 b1c1n中 由平面几何定理知 nc1b1 90 即c1n b1c1 又 侧面bb1c1c 底面a1b1c1 交线为b1c1 nc1 侧面bb1c1c 又 nc1 面bnc1 截面c1nb 侧面bb1c1c 即截面mbc1 侧面bb1c1c 3 结论是肯定的 充分性已由 2 证明 下面仅证明必要性 即由截面bmc1 侧面bb1c1c推出am ma1 实质是证明m是aa1的中点 过m作me1 bc1于e1 截面mbc1 侧面bb1c1c 交线为bc1 me1 面bb1c1c 又由 1 知ad 侧面bb1c1c 垂直于同一个平面的两条直线平行 ad me1 m e1 d a四点共面 又 am 侧面bb1c1c 面ame1d 面bb1c1c de1 由线面平行的性质定理可知am de1 又ad me1 四边形ame1d是平行四边形 ad me1 de1綊am 又 am cc1 de1 cc1 又 d是bc的中点 e1是bc1的中点 题型三平行与垂直的综合问题例3 2010 辽宁卷 文 如图 棱柱abc a1b1c1的侧面bcc1b1是菱形 b1c a1b 1 证明 平面ab1c 平面a1bc1 2 设d是a1c1上的点 且a1b 平面b1cd 求a1d dc1的值 解析 1 因为侧面bcc1b1是菱形 所以b1c bc1 又已知b1c a1b 且a1b bc1 b 所以b1c 平面a1bc1 又b1c 平面ab1c 所以平面ab1c 平面a1bc1 2 如图 设bc1交b1c于点e 连结de 则de是平面a1bc1与平面b1cd的交线 因为a1b 平面b1cd 所以a1b de 又e是bc1的中点 所以d为a1c1的中点 即a1d dc1 1 探究3以棱柱或棱锥为载体 综合考查直线与平面的平行 垂直关系是高考的一个重点内容 解决这类问题时 核心是熟练掌握平行 垂直等的判定定理以及性质定理 通过不断利用这些定理 进行平行与垂直关系的转化 证得问题结论 思考题3已知四边形abcd是等腰梯形 ab 3 dc 1 bad 45 de ab 如图1 现将 ade沿de折起 使得ae eb 如图2 连接ac ab 设m是ab的中点 1 求证 bc 平面aec 2 判断直线em是否平行于平面acd 并说明理由 解析 1 在图1中 过c