高考数学名校全攻略专题复习 第1部分 专题6 第2讲 空间角与距离课件.ppt

求空间角与空间距离的题目对空间想象能力和等价转化能力要求较高 因为空间向平面的转化 运算技巧及解三角形的方法在这类题目中都会有所体现 所以这类题目一直都是高考的热点 并呈现稳中有增的发展趋势 这类问题在命题形式上也较为灵活 从考查立体几何基础的选择题 填空题到具有一定综合程度的解答题都可能出现 因此 这一部分的复习更要注重知识与能力的全面结合 同时 利用空间向量求空间角和空间距离会降低解题难度 在复习中要注意这种方法的练习 1 2010 湖南高考 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e是棱dd1的中点 1 求直线be和平面abb1a1所成的角的正弦值 2 在棱c1d1上是否存在一点f 使b1f 平面a1be 证明你的结论 图a图b 2 在棱c1d1上存在点f 使b1f 平面a1be 事实上 如图 b 所示 取c1d1和cd的中点分别为f g 连结eg bg cd1 fg 因a1d1 b1c1 bc 且a1d1 bc 所以四边形a1bcd1是平行四边形 因此d1c a1b 又e g分别为d1d cd的中点 所以eg d1c 从而eg a1b 这说明a1 b g e共面 所以bg 平面a1be 因四边形c1cdd1与b1bcc1皆为正方形 f g分别为c1d1和cd的中点 所以fg c1c b1b 且fg c1c b1b 因此四边形b1bgf是平行四边形 所以b1f bg 而b1f 平面a1be bg 平面a1be 故b1f 平面a1be 2 2010 湖北高考 如图 在四面体aboc中 oc oa oc ob aob 120 且oa ob oc 1 1 设p为ac的中点 证明 在ab上存在一点q 使pq oa 并计算的值 2 求二面角o ac b的平面角的余弦值 2 连结pn po 由oc oa oc ob知 oc 平面oab 又on 平面oab oc on 又由on oa oc oa o得on 平面aoc op是np在平面aoc内的射影 在等腰rt coa中 p为ac的中点 ac op 又ac 平面aoc on 平面oac ac on 又op on o ac 平面opn 0 90 0 90 3 二面角的取值范围是 求二面角的基本方法有以下几种 1 求二面角的关键是作出二面角的平面角 作二面角的平面角的主要方法为 根据定义直接作出二面角的平面角 利用三垂线定理或其逆定理作出二面角的平面角 通过作与棱垂直的平面 找出二面角的平面角 作出二面角的平面角后 再解三角形 求出平面角的大小 0 4 点到平面的距离的求解方法主要有 1 直接法 直接由这一点向平面作垂线 2 垂面法 过点p作一平面与平面 垂直 再过点p作两平面的交线的垂线即可 3 等体积法 转化为三棱锥的高 利用体积进行求解 4 向量法 设n是平面 的一个法向量 在 内取一点b 则a到 的距离d 计算空间角 其一般方法是根据定义通过作辅助线或辅助面构造出要求的角 并作出含有角 的三角形 从而通过解三角形得角 的值 其步骤是 一作 二证 三计算 思路点拨 1 要证平面aec 平面pbd 只需证ac 平面pbd 2 由 1 ac 平面pbd 因此ae与平面pdb所成角即可得 另外还可以使用向量法求解 自主解答 法一 以d为原点建立空间直角坐标系d xyz 设ab a pd h 则a a 0 0 b a a 0 c 0 a 0 d 0 0 0 p 0 0 h 法二 1 证明 四边形abcd是正方形 ac bd pd 底面abcd pd ac 又pd bd d ac 平面pdb ac 面aec 平面aec 平面pdb 例2 2010 天津高考 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是棱bc cc1上的点 cf ab 2ce ab ad aa1 1 2 4 1 求异面直线ef与a1d所成角的余弦值 2 证明af 平面a1ed 3 求二面角a1 ed f的正弦值 立体几何中常涉及的距离 1 点面距离 2 线面距离 3 面面距离 其中 点面距离是线面距离 面面距离的基础 求其他两种距离一般应化归为这一种距离 再通过解三角形而得到解决 思路点拨 对于第 1 问 由于过点c1作平面a1dc的垂线困难 因此用三棱锥的体积去解决 用三垂线定理去找二面角的平面角 完成第 2 问 2 过点d作de ac交ac于e 过点d作df a1c交a1c于f 连结ef 平面abc 平面acc1a1 de 平面abc 平面abc 平面acc1a1 ac de 平面acc1a1 法二 过点a作ao bc交bc于o 过点o作oe bc交b1c1于e 因为平面abc 平面cbb1c1 所以ao 平面cbb1c1 分别以ob oe oa所在的直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 如图所示 利用空间向量解决探索性问题 它无需进行复杂繁难的作图 论证 推理 只须通过坐标运算进行判断 在解题过程中 往往把 是否存在 问题 转化为 点的坐标是否有解 是否有规定范围的解 等 可以使问题的解决更简单 有效 应善于运用这一方法 例4 如图 四边形abcd是边长为1的正方形 md 平面abcd nb 平面abcd 且md nb 1 e为bc的中点 1 求异面直线ne与am所成角的余弦值 2 在线段an上是否存在点s 使得es 平面amn 若存在 求线段as的长 若不存在 请说明理由 若将本例中的条件 md nb 1 改为 md 2 nb 1 在线段an上是否还存在点s 使得es 平面amn 空间向量法空间向量法有两种形式 一种是基向量法 一种是坐标运算法 在解题过程中 通常建立直角坐标系 用坐标运算求解 而忽略了基向量法的应用 用基向量法时需要选择三个不共面的向量作为基底 把其他向量表示出来 再用向量运算解决问题 例5 如图所示 在直四棱柱abcd a1b1c1d1中 底面abcd为等腰梯形 ab cd ab 4 bc cd 2 aa1 2 e e1 f分别是棱ad aa1 ab的中点 1 证明 直线ee1 平面fcc1 2 求二面角b fc1 c的余弦值 2 如图所示 取fc的中点h 连接bh 由于fc bc fb 所以bh fc 又bh cc1 所以bh 平面fcc1 过h作hg c1f于g 连结bg 由于hg c1f bh 平面fcc1 所以c1f 平面bhg