高考数学总复习 第十单元 第三节 圆的方程课件.ppt

第三节圆的方程 求圆的方程 求经过点a 5 2 b 3 2 且圆心在直线2x y 3 0上的圆的方程 分析因为条件只与圆心有直接关系 无需利用半径列方程 因此可设圆的标准方程 也可设一般方程 解方法一 设圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 故圆的方程为 x 2 2 y 1 2 10 方法二 设圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 故所求圆的方程为x2 y2 4x 2y 5 0 方法三 圆过a 5 2 b 3 2 两点 圆心一定在线段ab的垂直平分线上 线段ab的垂直平分线方程为设所求圆的圆心坐标为c a b 则有 c 2 1 所求圆的方程为 x 2 2 y 1 2 10 规律总结求圆的方程一般用待定系数法 同时要注意运用几何法 即通过研究圆的性质进而求出圆的基本量 运用待定系数法要视不同条件灵活选择两种形式 若已知条件与圆的圆心和半径有关可设圆的标准方程 若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径 可选择圆的一般方程 常用的圆的几个性质 1 圆心在过切点且与切线垂直的直线上 2 圆心在任一弦的中垂线上 3 弦心距 半径 一半弦长所构成直角三角形 4 两圆内切或外切时 切点与两圆圆心三点共线 变式训练1已知圆心在直线y 4x上 且与直线l x y 1 0相切于点p 3 2 求圆的方程 解析 方法一 设所求的圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 解方程组 得故所求圆的方程为 x 1 2 y 4 2 8 方法二 由于圆心在直线y 4x上 又在过切点p与切线x y 1 0垂直的直线y 2 x 3即x y 5 0上 得 圆心坐标为 1 4 圆的方程为 x 1 2 y 4 2 8 与圆相关的轨迹问题 已知线段ab的端点b的坐标是 4 3 端点a在圆 x 1 2 y2 4上运动 求线段ab的中点m的轨迹方程 分析动点m的轨迹与点a的位置变化有关 因此可以把点a的坐标用点m的坐标表示出来 再代入点a所满足的方程求得点m的轨迹方程 解设点m的坐标为 x y 点a x0 y0 因为m是线段ab的中点 且b 4 3 又点a在圆 x 1 2 y2 4上运动 所以 x0 1 2 y02 4 把 代入 得 2x 4 1 2 2y 3 2 4 整理得 1 所以点m的轨迹是以为圆心 半径为1的圆 规律总结 1 本例中m a是相关动点 m a b三者存在着不变的关系 抓住该关系可以实现动点m a的坐标间的转化 2 一般地 设点时 动点设为 x y 相关点设为 x0 y0 并将 x0 y0 用 x y 表示出来 代入 x0 y0 满足的关系式 变式训练2 已知如图 圆o1和圆o2的半径都是1 o1o2 4 过动点p分别作圆o1 圆o2的切线pm pn m n分别为切点 使得 pm pn 试建立适当的坐标系 并求动点p的轨迹方程 解析 以o1o2的中点o为原点 o1o2所在的直线为x轴 建立如图所示的直角坐标系 则o1 2 0 o2 2 0 由已知得 pm 2 2 pn 2 因为两圆半径均为1 所以 po1 2 1 2 po2 2 1 设p x y 则 x 2 2 y2 1 2 x 2 2 y2 1 即 x 6 2 y2 33 所以所求轨迹方程为 x 6 2 y2 33 与圆有关的最值问题 已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 1 求的最大值和最小值 2 求y x的最小值 3 求x2 y2的最大值和最小值 分析方程x2 y2 4x 1 0表示圆心为 2 0 半径为的圆 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率 y x可以看作直线y x b在y轴上的截距 x2 y2是圆上一点与坐标原点距离的平方 故上述问题可借助于平面几何知识 利用数形结合解决 解原方程化为 x 2 2 y2 3 表示以 2 0 为圆心 半径为的圆 1 设 k 即y kx 当直线和圆相切时 斜率k取得最值 此时有解得 2 设y x b 即y x b 当y x b与圆相切时 直线在y轴上的截距取得最大值和最小值 3 x2 y2表示圆上的点与原点距离的平方 由平面几何知识可知 原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 而圆心到原点的距离为2 圆的半径为 规律总结涉及与圆有关的最值问题 可借助图形性质 利用数形结合求解 一般地 1 形如的最值问题 可转化为直线斜率的最值问题 2 形如t ax by的最值问题 可转化为直线截距的最值问题 3 形如 x a 2 y b 2的最值问题 可转化为动点到定点距离平方的最值问题 变式训练3已知圆c x2 y2 4x 14y 45 0 1 若m是圆c上任一点 q 2 3 求 mq 的最大值与最小值 2 求的最大值 解析 1 圆方程可化为 x 2 2 y 7 2 2 2 圆心c 2 7 半径r 2 所以 qc 由平面几何知识可知 mq 的最大值为 qc r 最小值 qc r 2 的几何意义是圆上任一点m x y 与a 2 3 的连线的斜率 由平面几何知识可知 当过a点的直线与圆相切时 v取最值 设过a点的切线斜率为k 则切线方程为y 3 k x 2 即kx y 2k 3 0 圆方程的综合应用问题 12分 在平面直角坐标系xoy中 设二次函数f x x2 2x b x r 的图象与两坐标轴有三个交点 经过这三个交点的圆记为c 1 求实数b的取值范围 2 求圆c的方程 分析抛物线 圆与坐标轴有共同的交点 充分利用这一条件 把所求与已知联系起来 解 1 令x 0 得抛物线与y轴交点是 0 b 令f x 0 得x2 2x b 0 由题意得b 0且 4 4b 0 解得b 1且b 0 6分 2 设所求圆的一般方程为x2 y2 dx ey f 0 令y 0 得x2 dx f 0 这与x2 2x b 0是同一个方程 故d 2 f b 9分令x 0 得y2 ey b 0 此方程有一个根为b 代入得出e b 1 圆c的方程为x2 y2 2x b 1 y b 0 12分 规律总结 1 本题的求解关键是方程的转换 其依据是圆 抛物线有共同的交点这一条件 充分利用这个条件 2 数学综合问题的求解 就是如何将未知与已知联系起来 联系的过程就是问题的解法 变式训练4在直角坐标系xoy中 以o为圆心的圆与直线x y 4 0相切 1 求圆的方程 2 圆o与x轴相交于a b两点 圆内的动点p使 pa po pb 成等比数列 求的取值范围 解析 1 设圆的方程为x2 y2 r2 由平面几何知识得 圆的方程是x2 y2 4 2 由 1 知a 2 0 b 2 0 设p x0 y0 又 pa po pb 成等比数列 po2 pa pb 整理得y02 x02 2 2 x0 y0 2 x0 y0 x02 4 y02 2x02 6 又点p在圆内 x02 y02 4 2 x02 3 1 三个独立条件确定一个圆 待定系数法是求圆的方程的基本方法 应熟练掌握 如果由已知条件容易求得圆心坐标 半径或需要用圆心坐标列方程 常选用圆的标准方程 如果已知圆经过某两个或三个点时 常