高中数学第一轮总复习 第3章第24讲数学归纳法课件 理 新课标.ppt

第三章 数列 推理与证明 数学归纳法 第24讲 解析 当n 1时 左边式子是二次式 为1 x x2 2 记凸k边形的内角和为f k 则凸k 1边形的内角和f k 1 f k 解析 由凸k边形到凸k 1边形 增加了一个三角形 故f k 1 f k p p 4 一个关于正整数n的命题 如果验证n 1时命题成立 并在假设n k k 1 时命题成立的基础上 证明了n k 2时命题成立 那么论证过程到此为止只说明该命题对 一切正奇数都成立 解析 上述论证过程 只说明对n 1 3 5 7 命题成立 并不能说明命题对n 2 4 6 这些偶数能否成立 故这样的论证只能说明命题对一切正奇数都成立 5 用数学归纳法证明对任意n n 有34n 2 52n 1能被14整除的过程中 当n k 1时 34 k 1 2 52 k 1 1应该变形为 解析 因为n k 1时的证明过程 要用归纳假设n k时 34k 2 52k 1能被14整除 所以34 k 1 2 52 k 1 1 81 34k 2 25 52k 1 25 34k 2 52k 1 56 34k 2 25 34k 2 52k 1 56 34k 2 数学归纳法在证明等式中的应用 例1 是否存在常数a b c使得等式 1 22 2 32 n n 1 2 an2 bn c 对一切正整数n都成立 证明你的结论 用数学归纳法证明 1 22 2 32 n n 1 2 3n2 11n 10 当n 1时 等式自然成立 假设n k k n 时 等式成立 即1 22 2 32 k k 1 2 那么当n k 1时 左边 1 22 2 32 k k 1 2 k 1 k 2 2 3k 5 k 2 k 1 k 2 2 k 3k 5 12 k 2 3k2 17k 24 3 k 1 2 11 k 1 10 右边 所以当n k 1时 等式成立 由 知 等式1 22 2 32 n n 1 2 an2 bn c 对一切正整数n都成立 点评 用数学归纳法证明等式时 要清楚等式两边的结构 特别是由n k到n k 1等式两边发生了怎样的变化 项数增加了多少项 这是正确解答问题的关键 变式练习1 用数学归纳法证明 证明 1 当n 1时 左边 右边 命题成立 2 假设n k时 命题成立 即 那么当n k 1时 左边 数学归纳法在证明整除问题中的应用 例2 用数学归纳法证明 1 3 x n n n 能够被x 2整除 点评 整除问题的证明一般是将n k 1时的结论设法用n k时的结论表示 然后应用归纳假设证明n k 1时命题成立 数学归纳法在证明不等式中的应用 当x 0或m 1时 原不等式中等号显然成立 下面用数学归纳法证明 当x 1 且x 0时 1 x m 1 mx 对m 2 m n 成立 1 当m 2时 左边 1 2x x2 右边 1 2x 因为x 0 所以x2 0 即左边 右边 不等式 成立 2 假设当m k k 2 k n 时 不等式 成立 即 1 x k 1 kx 则当m k 1时 因为x 1 所以1 x 0 又因为x 0 k 0 所以kx2 0 于是在不等式 1 x k 1 kx两边同乘以1 x 得 1 x 1 x k 1 kx 1 x 1 k 1 x kx2 1 k 1 x 所以 1 x k 1 1 k 1 x 即当m k 1时 不等式 也成立 综上 1 2 所述 所证不等式成立 点评 用数学归纳法证明函数中的不等式 首先要弄清楚谁是变量 作为函数 自变量x是变量 但在归纳法的应用中 与自然数有关的量才是数学归纳法要研究的变量 其次在应用归纳假设时 要对不等式作适当的放缩转化 确保向目标前进 数学归纳法在数列问题中的应用 点评 数学归纳法在解决有关数列问题时发挥着很大的作用 数列是关于自然数的命题 由数列的递推关系 可以对结果进行推测和猜想 对猜想的结论进行合理证明 数学归纳法是最佳的工具 本题联系等差数列 等比数列 考查了数学归纳法的应用和综合运用数学知识进行归纳 推理 论证的能力 数学归纳法在几何问题中的应用 5 当n 1时 一个圆把平面分成两部分 又f 1 2 命题成立 假设n k时 命题成立 即k个圆把平面分成f k k2 k 2个部分 那么当n k 1时 第k 1个圆与原来k个圆都相交于两点 且无任意三圆相交于同一点 于是第k 1个圆与前k个圆有2k个交点 因此第k 1个圆被分成2k段弧 每段弧把原区域分成两部分 因此平面区域在原基础上增加了2k块 于是f k 1 f k 2k k2 k 2 2k k 1 2 即当n k 1时 命题成立 由 知 命题对任意正整数都成立 点评 用数学归纳法证明几何问题 关键是第二步中由k到k 1的变化情况 通过几何说理 来完成算式推理 借助于几何特征和图形的直观性来建立k与k 1的递推关系 所以f 3 4 3 7 当n 4时 四条直线把平面分成11个部分 所以f 4 7 4 11 猜想f n f n 1 n 当n 2 3 4 n时 得到 n 1 个式子 相加得f n 用数学归纳法证明 当n 1时 f 1 1 一个与自然数有关的命题 若n k k n 时 命题成立 可以推出n k 1时 该命题也成立 现在已知n 5时该命题不成立 则当n 4时该命题 2 设f n n f 1 f 2 f n 1 用数学归纳法证明 n f 1 f 2 f n 1 nf n 时 第一步要证的等式是 4 圆内有n条两两相交的弦将圆最多分为f n 个区域 通过计算f 1 f 2 f 3 f 4 由此猜想f n 数学归纳法是演绎推理中的完全归纳法 也叫科学归纳法 从观察一些特殊简单的问题入手 根据它们所体现的共同性质 运用不完全归纳法作出一般命题的猜想 然后从理论上证明这种猜想 这一过程称为 归纳 猜想 证明 过程 它是一个完整的思维过程 数学归纳法将这一过程进行了抽象概括 构建了自己的证明体系 一般地 当要证明一个命题对于不小于某个正整数n0的所有 正整数n都成立时 可以用下面两个步骤来完成 1 证明当n n0时 命题成立 2 假设当n k k n k n0 时 命题成立 再证明当n k 1时 命题也成立 这种证明方法就是数学归纳法 数学归纳法是一种适应于与正整数