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第二章 函数 函数与方程 第15讲 函数零点的存在性判断与求解 点评 函数零点的存在性问题常用的办法有三种 一是零点存在的性质定理 即考察变号零点所在区间端点值的符号 二是直接解方程 求出方程的根或讨论方程根的存在性 三是构造函数 利用函数图象的交点判断函数零点的存在性 本题 1 是转化为方程求零点 本题 2 是构造函数 利用函数图象的性质研究函数零点的存在性 变式练习1 1 求函数y x3 3x的零点 2 已知函数f x x2 2x lg 2m 1 有两个异号零点 求实数m的取值范围 用二分法求方程的近似解 例2 求方程x3 x 1 0在区间 0 2 上的实数根 精确度为0 1 点评 在用二分法求解方程时 初始区间的选定往往需要通过分析函数的性质 了解函数的大致图象 或者试验估值 并逐步将零点值的区间范围缩小 初始区间的端点不一定选在两个相邻整数之间 初始区间选取不同 不影响最终的计算结果 变式练习2 求方程x3 2x 5 0在区间 2 3 内的实根 取区间中点x0 2 5 那么下一个有解区间是 解析 设f x x3 2x 5 则f 2 10 f 3 16 0 故下一个有根区间是 2 2 5 2 2 5 函数零点的综合应用 点评 变式练习3 已知关于x的方程9 x 2 4 3 x 2 a 0有实数根 求实数a的取值范围 2 已知关于x的方程ax 2a 1 0在 1 1 上有一个实数根 则实数a的取值范围是 4 函数f x lgx sinx的零点个数为 解析 在同一坐标系中作出函数y sinx y lgx的图象如图 即可知道交点个数是3 即原函数的零点个数是3 3 5 设f x 3ax2 2bx c 若a b c 0 f 0 0 f 1 0 求证 方程f x 0在 0 1 内有两个实根 1 函数的零点函数的零点不是点 而是函数y f x 的图象与x轴交点的横坐标 所以零点是一个实数 一个使函数值为0的实数 函数的零点分变号零点和不变号零点两种 变号零点可以用二分法求解 不变号零点一般通过函数图象判断 如函数y x 1 有一个零点x 1 它是不变号零点 所以f a f b 0是函数f x 在区间 a b 上存在零点的必要非充分条件 2 方程根的分布求方程的根或根的近似值 就是求函数的零点值或其近似值 将方程根的问题转化为函数的零点问题 不仅直观展现了方程根的几何意义 重要的是能够简化运算程序 提高解决问题的效率 3 函数与方程的综
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