高考数学总复习 第十单元 第一节 直线与方程课件.ppt

第一节直线与方程 直线的倾斜角和斜率 已知线段ab两端点的坐标分别为a 1 2 b 4 3 若直线l mx y 2m 0与线段ab有交点 求实数m的取值范围 分析直线l过定点c 2 0 若l与线段ab相交 则直线l介于直线ac和bc之间 从而求出m 解 直线l mx y 2m 0 m r 过定点c 2 0 如图所示 kac kbc m 或 m 即m 或m m的取值范围为 规律总结 1 求直线过定点的方法 将直线整理成mf x y g x y 0 其中m是参数 的形式 令 解得x y 即为定点坐标 2 确定直线斜率范围时 要注意结合正切函数的单调性 即 0 0 90 180 时 越大 k也越大 k 0 1 已知集合a x y y b x y y mx 2 若a b 则实数m的取值范围是 解析 集合a表示圆x2 y2 25下半部分 集合b表示过点c 0 2 的直线 如图所示 kpc kqc 若a b 则 m 答案 直线的平行与垂直 已知直线l1 ax 2y 6 0与直线l2 x a 1 y a2 1 0 若 1 l1 l2 2 l1 l2 分别求a的值 分析因为直线l1的斜率存在 所以若l1 l2 则l2斜率也必须存在 则有a 1 l1 l2运用其成立的充要条件求之 解 1 l1的斜率为 若l1 l2 则 解得a 2或a 1 又 a 2时 两线重合 a 1为所求 2 l1 l2的充要条件是a 2 a 1 0 a 综上所述 l1 l2时 a 1 l1 l2时 a 规律总结 1 若直线l1 y k1x b1 直线l2 y k2x b2 则l1 l2 k1 k2 b1 b2 2 用一般式方程判定直线的位置关系 变式训练 已知两条直线l1 x ay 2a l2 ax y a 1 a为何值时 l1与l2 1 相交 2 平行 3 重合 4 垂直 解析 1 l1与l2相交 a1b2 a2b1由a2 1 得a 1 2 l1 l2 a1b2 a2b1 a1c2 a2c1 由a2 1 a 1 a 2a 得a 1 3 l1与l2重合 a1b2 a2b1 b1c2 b2c1 由a2 1 a 1 a 2a 得a 1 4 l1 l2 a1a2 b1b2 0 a a 0 a 0 综上所述 当a 1时 两直线相交 当a 1时 两直线平行 当a 1时 两直线重合 当a 0时 两直线垂直 求直线的方程 求满足下列条件的各直线的方程 1 直线过点 3 4 且在两坐标上的截距之和为12 2 直线过点 5 10 且到原点的距离为5 分析根据题目所给不同条件 选择方程形式 待定系数法求之 解 1 由题设知直线的截距不为0 设它的方程为 1 将 3 4 代入 得 1 a2 5a 36 0 解得a 4或a 9 所求直线方程为4x y 16 0或x 3y 9 0 2 当斜率不存在时 所求直线方程为x 5 0 当斜率存在时 设为k 则直线方程为y 10 k x 5 即kx y 10 5k 0 5 解得k 所求直线方程为3x 4y 25 0 所求直线方程为x 5 0或3x 4y 25 0 规律总结求直线方程 首先要根据已知条件选择合适的方程形式 同时注意各种形式的适用条件 用斜截式或点斜式时 直线的斜率必须存在 而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线 截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线等 变式训练 abc的三个顶点为a 3 0 b 2 1 c 2 3 求 1 bc边上中线ad所在直线的方程 2 bc边上的垂直平分线de的方程 解析 1 设bc中点d的坐标为 x y 则x 0 y bc边的中线ad过点a 3 0 d 0 2 两点 由截距式得ad所在直线方程为 即2x 3y 6 0 2 bc的斜率k1 则bc的垂直平分线de的斜率k2 2 由斜截式得直线de的方程为y 2x 2 直线方程的综合运用 一条直线经过点p 2 1 与x y轴的正半轴交于a b两点 求 pa pb 取最小值时的直线方程 分析先根据题意 用点斜式设出直线的方程 然后求方程中的参数 从而求出直线的方程 本例也可用向量知识求解 解方法一 显然k不存在时的直线不符合题意 1分设直线的方程y 1 k x 2 k 0 2分令y 0 得点a 令x 0 得点b 0 1 2k 4分故 pa pb 4 8分当且仅当k 1时取等号 所求直线的方程为y 1 1 x 2 即x y 3 0 12分 方法二 设a a 0 b 0 b 则直线的方程为 1 2分又直线过点p 1 3分 a 2 1 2 b 1 5分 cos180 7分 a 2 2 1 b 1 2a b 5 2a b 5 2 4 当且仅当a b 3时 取 11分因此所求直线的方程为x y 3 0 12分 规律总结本题涉及到函数与方程 向量 不等式等方面的知识 不仅有利于加强数学知识之间的横向联系 而且提高了认识问题的层次和深度 拓展了视野 变式训练 过点p 1 4 作直线l与两坐标轴的正半轴相交 当l在两坐标轴上的截距之和最小时 求直线l的方程 解析 设所求直线l的方程为 1 a 0 b 0 直线l经过点p 1 4 1 a b a b 5 5 2 9 当且仅当 即a 3 b 6时a b有最小值为9 此时所求直线l的方程为2x y 6 0 1 解析几何的重要思想就是用代数方法研究几何问题 所以要特别注意数形结合 2 直线方程的四种形式是从不同侧面对一直线几何特征的描述 具体使用时 要根据题意选择最简洁的形式 1 直线的点斜式 斜截式 两点式 截距式方程都有局限性 在应用时一定要注意对其特殊情况 斜率不存在等 的补充说明 2 求直线方程的本质是确定方程中的两个独立系数 这需要两个独立条件 要认清题目的条件 选择合适的方程类型 另外 也可采用待定系数法或以方程的定义求解 最后 要把直线方程化成一般式 3 对于一般式的认识要从一次函数与二元一次方程的关系中理解 今后建立或应用直线方程均以一般式为主 各系数的功能与作用要明确 3 判断两直线平行 垂直时 要注意斜率不存在的情况 正确运用其充要条件 4 与直线方程有关的最值问题的求解策略 首先 应根据问题的条件和结论 选取恰当的直线方程形式 这样 同时引入了某个或某几个参数 然后 可以通过建立目标函数 利用函数知识求出最值 或者使用基本不等式 或者结合图形 运用数形结合的思想求解最值 如图 过原点引直线l 使l与连接a 1 1 和b 1 1 两点间的线段相交 则直线l的斜率的范围为 倾斜角的范围为 错解 根据图形知 直线l在直线ob和oa之间变化 即直线l的斜率在直线ob和直线oa的斜率之间 由于直线ob的斜率为k1 1 直线oa的斜率k2 1 所以直线l的斜率k 1 1 倾斜角