我国人均GDP的时间序列模型.doc

20142015学年第一学期统计软件期末论文 题 目 我国人均GDP的时间序列模型 姓 名 学 号 学 院 数学与统计学院 专 业 统计学 2014年 12 月 14日我国人均GDP的时间序列模型摘要 国内生产总值(GrossDomesticProduct,简称GDP)是现代国民经济核算体系的核心指标，是衡量一个国家综合国力的重要指标。国内生产总值(Gross Domestic Product)是指在一定时期内(一个季度或一年)，一个国家或地区的经济中所生产出的全部最终产品和劳务的价值，它反映国家和地区的经济发展及人民生活水平，常被公认为衡量国家经济状况的最佳指标。可以说，它是影响经济生活乃至社会生活的最重要的经济指标。本文基于时间序列理论，针对经济增长问题，以我国1949年至2013年每个季度的国内生产总值为基础，综合统计学、时间序列分析等知识，对数据进行平稳化处理、模型识别、参数估计，建立时间序列模型，并对模型进行检验。分别建立了AR模型、MA模型、ARMA模型，发现移动平均模型MA（1）能比较好的对国民生产总值进行时间序列分析和预测。利用Eviews软件预测出20102015五年的GDP值，并对我国的GDP增长趋势进行分析。关键字 时间序列 国内生产总值 ARMA模型 EVIEWS软件1. 背景分析国内生产总值是指在一定时期内（一个季度或一年），一个国家或地区的经济中所生产出的全部最终产品和劳务的价值，常被公认为衡量国家经济状况的最佳指标。国内生产总值GDP是核算体系中一个重要的综合性统计指标，也是中国新国民经济核算体系中的核 心指标。它反映一国（或地区）的经济实力和市场规模。GDP核算有三种方法，即生产法、收入法和支出法，三种方法从不同的角度反映国民经济生产活动成果。生产法是从生产的角度衡量常住单位在核算期内新创造价值的一种方法，即从国民经济各个部门在核算期内生产的总产品价值中，扣除生产过程中投入的中间产品价值，得到增加值。核算公式为：增加值=总产出-中间投入。收入法是从生产过程创造收入的角度，根据生产要素在生产过程中应得的收入份额反映最终成果的一种核算方法。按照这种核算方法，增加值由劳动者报酬、生产税净额、固定资产折旧和营业盈余四部分相加得到。支出法是从最终使用的角度衡量核算期内产品和服务的最终去向，包括最终消费支出、资本形成总额和货物与服务净出口三个部分。一个国家或地区的经济究竟处于增长抑或衰退阶段，从这个数字的变化便可以观察到。一般而言，GDP公布的形式不外乎两种，以总额和百分比率为计算单位。当GDP的增长数字处于正数时，即显示该地区经济处于扩张阶段；反之，如果处于负数，即表示该地区的经济进入衰退时期了。一是一国经济增长率高，意味着收入增加，国内需求水平提高，将增加该国的进口，从而导致经常项目逆差，这样，会使本国货币汇率下跌。二是如果该国经济是以出口导向的，经济增长是为了生产更多的出口产品，则出口的增长会弥补进口的增加，减缓本国货币汇率下跌的压力。三是一国经济增长率高，意味着劳动生产率提高很快，成本降低改善本国产品的竞争地位而有利于增加出口，抑制进口，并且经济增长率高使得该国货币在外汇市场上被看好，因而该国货币汇率会有上升的趋势。国内生产总值（GDP）是指一个国家或地区所有常住单位在一定时期内生产活动的最终成果。这个指标把国民经济全部活动的产出成果概括在一个极为简明的统计数字之中，为评价和衡量国家经济状况、经济增长趋势及社会财富的经济表现提供了一个最为综合的尺度，可以说，它是影响经济生活乃至社会生活的最重要的经济指标。对其进行的分析预测具有重要的理论与现实意义。1本文以我国为例，利用时间序列分析方法，建立我国GDP时间序列模型，分析经济增长的内在特征。并对未来五年我国经济发展做出预测，为政府制定经济发展战略提供依据。2. 理论背景人们的一切活动,其根本目的无不在于认识和改造客观世界.时间序列分析不仅可以从数量上揭示某一现象的发展变化规律或者从动态的角度刻画某一现象与其他现象之间的内在关系及其变化规律性,达到认识客观世界之目的,而且运用时间序列模型还可以预测和控制现象的未来行为,修正或者重新设计系统以达到利用和改造客观之目的。从统计意义上，所谓时间序列就是将某一个指标在不同时间上的不同数值，按照时间的先后顺序排列而成的数列。时间序列分析是定量预测方法之一，它的基本原理：一是承认事物发展的延续性。应用过去数据，就能推测事物的发展趋势。二是考虑到事物发展的随机性。任何事物发展都可能受偶然因素影响，为此要利用统计分析中加权平均法对历史数据进行处理。该方法简单易行，便于掌握，但准确性差，一般只适用于短期预测。时间序列预测一般反映三种实际变化规律：趋势变化、周期性变化、随机性变化。时间序列分析的基本模型有：AR模型、MA模型和ARMA模型。时间序列分析预测法，首先将预测目标的历史数据按照时间先后的顺序排列，然后分析它随时间的变化趋势及自身的统计规律，外推得到预测目标的未来取值。它与回归分析预测法的最大区别在于：该方法可以根据单个变量的取值对其自身的变动进行预测，无须添加任何的辅助信息。23数据来源及源数据从网站/em-cgi/data.exe/nipa/Q10105-A191RC中选取我国1949 年2013年各个季度的GDP作为数据（数据见附录1）。4 时间序列分析基本方法44.1 时间序列分析的预处理4.1.1 差分运算一阶差分 阶差分 步差分 差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方法，Cramer分解定理在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息。差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息： 差分方式的选择： 序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋势平稳。 序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的影响。对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差分运算，通常可以较好地提取周期信息。4.1.2 平稳性检验平稳性是某些时间序列具有的一种统计特征。对于平稳的序列我们就可以运用已知的时间序列模型对其进行分析预测。因此对数据进行平稳性检验是时间序列分析法的关键步骤。平稳时间序列有两种定义，根据限制条件的严格程度，分为严平稳时间序列和宽平稳时间序列。 对序列的平稳性有两种检验方法，一种是根据时序图和自相关图显示的特征做出判断的图检验方法；一种是构造检验统计量进行假设检验的方法。通常我们都选用图检验方法检验序列平稳性并用单位根统计检验法加以辅助。(1)自相关图法 自相关函数和偏自相关函数的定义：构成时间序列的每个序列值之间的简单相关关系称为自相关。自相关程度由自相关系数度量，表示时间序列中相隔期的观测值之间的相关程度。 （2-1） 其中，是样本量，为滞后期，代表样本数据的算术平均值。自相系数的取值范围是并且越小，自相关程度越高。偏自相关是指对于时间序列，在给定的条件下，与之间的条件相关关系。其相关程度用偏自相关系数度量，有。 （2-2） 其中是滞后期的自相关系数。如果序列的自相关系数很快地(滞后阶数大于2或3时)趋于0，即落入随机区间，时间序列是平稳的，反之时间序列是非平稳。若有更多的自相关系数落在随机区间以外，即与零有显著不同，时间序列就是不平稳的。自相关图法仅从直观的判断平稳时间序列与非平稳时间序列的区别。也可用以下的方法在理论上检验。(2) 单位根检验法时间序列的平稳性还可以通过单位根检验来判断，单位根检验目前常用的两种方法是DF和ADF。DF检验法是Dickey和Fuller在70年代和80年代的一系列文章中建立的。其基本思想是：一阶回归模型中，时，序列是平稳的。若，则序列是非平稳的，存在单位根，通过检验是否可能为1，判断序列是否平稳序列。DF检验的假设是。(a) DF检验序列有如下三种形式：不包含常数项和线性时间趋势项 （2-3） 包含常数项 （2-4）包含常数项和线性时间趋势项 （2-5） 其中，。检验假设为： 序列存在单位根的零假设下，对参数估计值进行显著性检验的t统计量不服从常规的t分布，DF(Diekey&Fuller)于1979年给出了检验用的模拟的临界值，故称检验称为DF检验。一般地，如果序列在0均值上下波动，则应该选择不包含常数和时间趋势项地检验方程，即(2-3)式；如果序列具有非0均值，但没有时间趋势，可选择(2-4)作为检验方程；序列随时间变化有上升或下降趋势，应采用(2-5)的形式。(b) ADF检验 在DF检验中，对于(2-3)式，常常因为序列存在高阶滞后相关而破坏了随机扰动项是白噪声的假设，ADF检验对此做了改进。它假定序列服从AR(P)过程。检验分程为 式中的参数视具体情况而定，一般选择能保证是白噪声的最小的值。与DF检验一样，ADF检验也可以有包含常数项和同时含有常数和线性时间趋势项两形，只需在(2-6)式右边加上或与。4.2 时间序列基本模型随机时间序列分析模型分为三种类型：自回归模型(Auto-regressive model，AR)、移动平均模型(Moving Average model，MA)和自回归移动平均模型(Auto-regressive Moving Average model，ARMA)。4.2.1 自回归模型如果一个随机过程可表达为 其中， 是自回归参数，是白噪声过程，则称为阶自回归过程，用表示。是由它的个滞后变量的加权和以及相加而成。若用滞后算子表示 其中称为特征多项式或自回归算子。与自回归模型常联系在一起的是平稳性问题。对于自回归过程，如果其特征方程：的所有根的绝对值都大于1，则是一个平稳的随机过程。过程中最常用的是、过程，保持其平稳性的条件是特征方程:根的绝对值必须大于1，满足|，也就是：。4.2.2 移动平均模型如果一个线性随机过程可用下式表达 其中是回归参数，为白噪声过程，则上式称为阶移动平均过程，记为 。之所以称“移动平均”，是因为是由个和滞后项的加权和构造而成。“移动”指的变化，“平均”指加权和。注意：（1）由定义知任何一个 阶移动平均过程都是由个白噪声变量的加权和组成，所以任何一个移动平均过程都是平稳的。（2）与移动平均过程相联系的一个重要概念是可逆性。移动平均过程具有可逆性的条件是特征方程 的全部根的绝对值必须大于1。 4.2.3 自回归滑动平均模型由自回归和移动平均两部分共同构成的随机过程称为自回归移动平均过程，记为， 其中，别表示自回归和移动平均部分的最大阶数。的一般表达式是 即 或 其中 和 分别表示的，阶特征多项式。表一为ARMA模型特征模型自相关系数偏自相关系数AR（p)拖尾p阶截尾MA(q)q阶截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾 5我国GDP的时间序列模型的建立5.1平稳性检查该研究以国民生产总值GDP历史数据(19492013)为样本进行分析。如果对非平稳序列来建立ARMA模型,就会出现虚假回归问题,即尽管基本序列不存在任何关系,也会得到回归模型。因此,要建立ARMA模型,随机序列必须是平稳的,首先对数据进行平稳性检验。由图1可见,1949-2013年整个时期,人均GDP呈现出指数增长趋势,具有明显的非平稳性。 图1 图2 5.2数据平稳化与零均值化过程ARMA模型都是在平稳时间序列基础上建立的,任何齐次非平稳时间序列只要通过适当阶数的差分运算就可以实现平稳,就可以对差分后的序列用ARMA模型拟合,对于原始序列即可用ARMA模型拟合了。如果用非平稳序列来建立模型,就会出现虚假回归问题,即尽管基本序列不存在任何关系,也会得到回归模型。当随机变量不平稳时,统计量的拒绝域远远超过了检验的正常值,由按照一般的检验方法得出的接受假设很可能是错的。因此,要建立ARMA模型,随机序列必须是平稳的。对于含有指数趋势的时间序列,可以通过取对数将指数趋势转化为线性趋势,然后再进行差分以消除线性趋势。从理论上而言,足够多次的差分运算可以充分地提取序列中的非平稳确定性信息。但应当注意的是,差分运算的阶数并不是越多越好。因为差分运算是一种对信息的提取、加工过程,每次差分都会有信息的损失,所以在实际应用中差分运算的阶数要适当,应当避免过度差分,直至成为平稳序列。由图2和图3可知,经过转化与差分算,19492013年全国人均GDP增长时间序列已基本平稳。 图3 图4 通过单位根检验后,表明T统计量均大1%、5%、10%下的检验值，且其值大于0.05，所以我们可以认定可知此序列非平稳，通常低阶（二阶或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的影响，我们对取对数后数据进行一、二阶差分，并验证其平稳性： 图5 由该时序图我们基本可以认为其是平稳的，进一步做单位根检验： 图6 二阶差分ADF检验检验结果显示，二阶差分序列在1%的显著性水平下拒绝原假设，接受不存在单位根的结论，值显著小于0.05，所以我们可以确定二阶差分后序列平稳。因此可以确定序列是2阶单整序列7，即。 5.3 时间序列模型的建立5.3.1 模型识别ARMA（p,q)模型的识别与定阶可以通过样本的自相关与偏自相关函数的观察获得。Ln(GDP)二阶差分后自相关与偏自相关系数如图7 图7 Ln(GDP)二阶差分后自相关与偏自相关系数由图可以看出，二阶差分后序列的自相关系数在滞后一期后呈衰减趋于零，表现为截尾性；在偏自相关分析图中，滞后四期的偏自相关系数显著不为零，但之后逐渐衰减趋于零，也可以认为序列的偏自相关系数具有拖尾性，因此阶数可由显著不为零的偏自相关系数的数目决定。5.3.2 模型参数估计与建立对平稳非白噪差分序列（软件中命名为ddgdp序列）拟合AR模型、MA模型和ARMA模型、由于相关函数所表现出的性质，所以首先考虑了MA模型。如果所示 图8 发现MA（1）模型的参数通过了检验，P值远小于显著性水平0.05，故接着又做了对MA（2）模型的参数检验，如下图 9。 图9 MA（2）模型中MA(2)的参数检验不通过，判断该模型不合适。又考虑了AR模型，检验了AR（1）模型，见图10。 图10 在AR（1）模型中，通过了参数检验，但是拟合度大不如MA（1）模型。又考虑建立了ARMA模型，如图11所示 图11 最终分析和建立拟合效果最好的MA(1)模型。5.4模型检验首先用Eviews软件画出了残差序列图： 图12 观察发现该序列的残差序列图在水平线附近波动，直观上看已经成功实现了平稳性。接着对模型MA（1）做残差序列检验，残差相关系数如下： 图13 结果显示，MA（1）模型通过检验，所以最终选择MA（1）模型对我国GDP进行分析预测。因此，从图 AM（1）模型参数估计可知最终模型为： 6结论 本文使用时间序列分析的方法对我国国内生产总值的年度数据序列进行了随机性分析， 通过模型识别、比较以及检验，最终选定MA（1）模型： 从该论文随机性分析的方法对时间序列做出分析的结果中可以看出，取对数对数据进行处理，然后适当的差分，选择适当的较低的模型阶数，可取得较为理想的预测结果。 由本文得到的较为满