连续型随机变量及概率密度.ppt

Chapter2 2 连续型随机变量及概率密度 教学要求 1 理解连续型随机变量的概率密度及性质 2 掌握正态分布 均匀分布和指数分布 3 会应用概率密度计算有关事件的概率 一 连续型随机变量的概率密度 连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间 对这种类型的随机变量 不能象离散型随机变量那样 以指定它取每个值概率的方式 去给出其概率分布 而是通过给出所谓 概率密度函数 的方式 1 连续型r v及其密度函数的定义 2 概率密度函数的性质 这两条性质是判定一个函数f x 是否为某r vX的概率密度函数的充要条件 注意 1 F x 为连续函数 2 概率为0的事件 不一定是不可能事件 同样地概率为1的事件 不一定是必然事件 3 对于连续型随机变量 求区间上的概率时可以不考虑端点的情况 而离散型随机变量得特别注意 4 可由分布函数求分布密度 对于不存在的点可人为的补充定义 ex1 设X的分布函数为 求X的分布密度 解 而端点处情况可人为规定 ex2 设随机变量X的密度函数为 解 二 几种常用的连续型分布 1 均匀分布 若r vX的概率密度为 则称X服从区间 a b 上的均匀分布 记作 X U a b 它的实际背景是 r vX取值在区间 a b 上 并且取值在 a b 中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比 则X具有 a b 上的均匀分布 其分布函数为 2 指数分布 若r vX的概率密度为 其分布函数为 指数分布常用于可靠性统计研究中 如元件的寿命 ex4 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 以分计 服从指数分布 其密度函数为 某顾客等待时间超过10分钟 他就离开 一个月他去银行5次 以X表示一个月内他未等到服务而离去的次数 写出X的分布律并求 解 以Y表示顾客在某银行的窗口等待服务的时间 则顾客未等到服务而离去的概率为 三 正态分布 1 正态分布的定义 如果连续型随机变量X的概率密度为 称X服从标准正态分布 2 正态分布的分布函数 由于是概率密度函数 因此 从而 有上述两个式子请熟练掌握 它在以后的计算中经常用到 3 正态分布的简单性质 证 另外还有几个重要公式 证 注意 用于利用标准正态分布表计算事件的概率 分布密度函数图形中 越大 曲线越平坦 越小 曲线越尖陡 4 分位点 说明 解 同理 可见 服从正态分布的随机变量X 虽然理论上可以取任意实数值 但实际上它的取值落在区间内的概率约为68 26 落在区间内的概率约为95 44 落在区间内的概率99 74 因此 服从正态分布的随机变量X落在区间之外的概率约0 26 还不到千分之三 这是一个小概率事件 在实际中认为它几乎不可能发生 这就是著名的 准则 它在实际中常用来作为质量控制的依据 在自然现象和社会现象中 大量的随机变量都服从或近似服从正态分布 如 测量误差 炮弹落点距目标的偏差 海洋波浪的高度 一个地区的男性成年人的身高及体重 考试的成绩等 正是由于生活中大量的随机变量服从或近似服从正态分布 因此 正态分布在理论与实践中都占据着特别重