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第四课时导数的综合应有 题型一导数与不等式例1 2010 安徽 设a为实数 函数f x ex 2x 2a x r 1 求f x 的单调区间与极值 2 求证 当a ln2 1且x 0时 ex x2 2ax 1 授人以渔 解析 1 由f x ex 2x 2a x r知f x ex 2 x r 令f x 0 得x ln2 于是当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 故f x 的单调递减区间是 ln2 单调递增区间是 ln2 f x 在x ln2处取得极小值 极小值为f ln2 eln2 2ln2 2a 2 1 ln2 a 2 设g x ex x2 2ax 1 x r 于是g x ex 2x 2a x r 由 1 知当a ln2 1时 g x 最小值为g ln2 2 1 ln2 a 0 于是对任意x r 都有g x 0 所以g x 在r内单调递增 于是当a ln2 1时 对任意x 0 都有g x g 0 而g 0 0 从而对任意x 0 g x 0 即ex x2 2ax 1 0 故ex x2 2ax 1 探究1 本题是将不等式证明转化为求函数的最值 体现了函数与不等式之间的联系 借助函数单调性 最值 恒成立等知识证明函数不等式是近几年高考热点 故x 1 时 h x h 1 0 x 1 时 h x 0 h x 在x 1 上单调递增故x 1 时 h x h 1 0所以对 x 恒有h x 0 又x2 0 因此f x g x 0 故对 x 恒有f x g x 题型二导数与方程 当x变化时 g x g x 的变化情况如下表 2 若函数f x x3 3ax 1 在x 1处取得极值 直线y m与y f x 的图象有三个不同的交点 求m的范围 解 f x 3x2 3a f x 在x 1处取得极值 f 1 3 1 2 3a 0 a 1 f x x3 3x 1 f x 3x2 3 由f x 0解得x1 1 x2 1 由 中f x 的单调性可知 f x 在x 1处取得极大值f 1 1 在x 1处取得极小值f 1 3 直线y m与函数y f x 的图象有三个不同的交点 结合f x 的单调性可知 m的取值范围是 3 1 题型三导数与最优化问题 探究3生活中求利润最大 用料最省 效率最高等问题称之为优化问题 导数是解决生活中优化问题的有力工具 用导数解决优化问题的基本思路是 优化问题 用函数表示的数学问题 用导数解决数学问题 优化问题的答案 思考题3某单位用2160万元购得一块空地 计划在该地块上建造一栋至少10层 每层2000平方米的楼房 经测算 如果将楼房建为x x 10 层 则每平方米的平均建筑费用为560 48x 单位 元 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少 该楼房应建为多少层 令f x 0 得x 15 当x 15时 f x 0 当10 x 15时 f x 0 因此
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