高考数学总复习 第四单元第三节导数的应用Ⅱ课件.ppt

第三节导数的应用 求函数的极值 求函数y x3 12x的极值 分析首先从方程f x 0求在函数f x 定义域内所有可能的极值点 然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值 解f x 3x2 12 3 x 2 x 2 令f x 0 解得x 2或x 2 当f x 0时 x 2或x 2 当f x 0时 2 x 2 故当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 因此 当x 2时 f x 有极大值为16 当x 2时 f x 有极小值为f 2 16 规律总结求可导函数f x 极值的步骤 1 确定函数的定义域 2 求导数f x 3 求方程f x 0的根 4 检验f x 在方程f x 0的根的左右两侧的符号 如果在根的左侧附近f x 0 右侧附近f x 0 那么函数y f x 在这个根处取得极大值 如果在根的左侧附近f x 0 右侧附近f x 0 那么函数y f x 在这个根处取得极小值 变式训练1求函数f x x2ex的极值 解析 函数的定义域为r f x 2xex x2ex x x 2 ex 令f x 0 解得x 2或x 0 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 因此 当x 2时 f x 有极大值f 2 4e 2 当x 0时 f x 有极小值f 0 0 利用函数极值求参数的问题 已知函数f x ax3 bx2 3x在x 1处取得极值 试讨论f 1 和f 1 是函数的极大值还是极小值 分析本题考查函数极值的概念 考查运用导数研究函数性质的方法 首先借助极值点求出函数的解析式 再利用导数求出函数的极值 解f x 3ax2 2bx 3 依题意得f 1 f 1 0 即解得 f x x3 3x f x 3x2 3 3 x 1 x 1 令f x 0 得x 1或x 1 若x 1 1 则f x 0 f x 在 1 和 1 上是增函数 若x 1 1 则f x 0 f x 在 1 1 上是减函数 f 1 2是极大值 f 1 2是极小值 规律总结注意多项式可导函数的极值点与导数为零的根之间关系的应用 变式训练2设函数f x 2x3 3ax2 3bx 8c在x 1及x 2时取得极值 1 求a b的值 2 若对于任意的x 0 3 都有f x c2成立 求c的取值范围 解析 1 f x 6x2 6ax 3b 函数f x 在x 1及x 2时取得极值 f 1 0 f 2 0 即解得a 3 b 4 2 由 1 可知 f x 2x3 9x2 12x 8c f x 6x2 18x 12 6 x 1 x 2 当x 0 1 时 f x 0 当x 1 2 时 f x 0 当x 2 3 时 f x 0 当x 1时 f x 取得极大值f 1 5 8c 又f 0 8c f 3 9 8c 当x 0 3 时 f x 的最大值为f 3 9 8c 对于任意的x 0 3 有f x c2恒成立 9 8c c2 解得c 1或c 9 c的取值范围为 1 9 求函数的最值 已知函数f x 2x3 12x 求函数在 1 3 上的最值 分析通过求导 令f x 0 找到函数的极值点 将极值与端点处的函数值相比较 来求最值 函数f x 的单调增区间是 f 1 10 f 8 f 3 18 f x 在 1 3 上的最大值是f 3 18 最小值是f 8 解 列表如下 规律总结求可导函数在 a b 内的最大值和最小值的步骤 1 求函数f x 在 a b 内的极值 2 求f x 在区间端点的值f a f b 3 将函数f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 变式训练3已知函数f x x lnx 求f x 在区间 1 e 上的值域 其中e 2 71828 是自然对数的底数 解析 令f x 0 得x 1 f 1 1 f x 在 1 上递增 f x max f e e 1 f x 在区间 1 e 上的值域为 1 e 1 导数的综合应用 12分 两县城a和b相距20km 现计划在两县城外以ab为直径的半圆弧ab上选择一点c建造垃圾处理厂 其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关 对城a和城b的总影响度为对城a与对城b的影响度之和 记c点到城a的距离为xkm 建在c处的垃圾处理厂对城a和城b的总影响度为y 统计调查表明 垃圾处理厂对城a的影响度与所选地点到城a的距离的平方成反比 比例系数为4 对城b的影响度与所选地点到城b的距离的平方成反比 比例系数为k 当垃圾处理厂建在弧ab的中点时 对城a和城b的总影响度为0 065 1 将y表示成x的函数 2 讨论 1 中函数的单调性 并判断弧ab上是否存在一点 使建在此处的垃圾处理厂对城a和城b的总影响度最小 若存在 求出该点到城a的距离 若不存在 说明理由 分析 1 总影响度y为c厂对城a和对城b影响度之和 所以分别表示出c厂对城a和对城b的影响度 从而求出函数表达式 2 求函数的最小值 解 1 当点c在弧ab中点时 ac 10 c厂对城a影响度为 bc 10 c厂对城b影响度为 2分 0 065 解得k 9 4分 5分 令f x 0 得9x4 4 400 x2 2 3x2 2 400 x2 x 410分又 f x 在 0 4 上递减 在 4 20 上递增 在弧ab上存在一点c 使建在此处的垃圾处理厂对城a和城b的总影响小 该点到城a的距离为4km 12分 2 由 1 得 8分 规律总结建立函数模型 确定等量关系是关键 等量关系建立一般有三条途径 一是题目本身已经给出等量关系 如本题 二是从已学过的数学公式得等量关系 三是生活实践中得到等量关系 如利润 销售额 成本 变式训练4 12分 2010 陕西高考 已知函数f x g x alnx a r 1 若曲线y f x 与曲线y g x 相交 且在交点处有共同切线 求a的值和该切线方程 2 设函数h x f x g x 当h x 存在最小值时 求其最小值 a 的解析式 两条曲线交点坐标为 e2 e 切线的斜率为 切线方程为 即 解析 由已知 解得a x e2 2 由条件知 当a 0时 令h x 0 得x 4a2 当0 x 4a2时 h x 0 h x 在 0 4a2 上递减 当x 4a2时 h x 0 h x 在 4a2 上递增 x 4a2是h x 在 0 上的唯一极值点 且是极小值点 从而也是h x 的最小值点 最小值 a h 4a2 2a aln4a2 2a 1 ln2a 当a 0时 h x 在 0 上递增 无最小值 故h x 的最小值为 a 2a 1 ln2a a 0 1 利用导数求函数极值的主要步骤 求f x 解方程f x 0 判断f x 在各根左右两侧的符号 进一步确定函数的极值 如果在点x0两侧的单调性相反 则x0为极值点 否则它不是极值点 2 可导函数的极值点一定是导数为零的点 导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件 其充分条件是该点两侧的导数异号 3 利用导数解决实际问题的一般步骤 1 分析实际问题中的各变量之间的关系 建立实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数