高考数学总复习 第五单元 第六节 三角函数的图象和性质Ⅱ课件.ppt

第六节三角函数的图象和性质 三角函数y asin x 的图象 设函数f x sin x cos x 0 的最小正周期为 1 求平行线的振幅 初相 2 用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象 3 说明函数f x 的图象可由y sinx的图象经过怎样的变换而得到 分析要作函数的图象或讨论函数的性质 应先将函数化为y asin x 的形式解 1 f x sin x cos x 又 t 即 2 f x 2sin 函数f x sin x cos x的振幅为2 初相为 2 列出下表 并描点画出图象如图 3 把y sinx的图象上所有的点向左平移个单位 得到y sin x 的图象 再把y sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 得到y sin 2x 的图象 然后把y sin 2x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍 横坐标不变 即可得到y 2sin 2x 的图象 规律总结 1 作三角函数图象的基本方法就是五点法 此法注意在作出一个周期上的简图后 应向两端伸展一下 以示整个定义域上的图象 2 变换法作图象的关键是 x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移 对于后者可利用 x x 来确定平移单位 3 注意先平移再伸缩与先伸缩再平移得到的函数往往不一致 变式训练1已知函数y sin cos x r 1 用 五点法 画出它的图象 2 求它的振幅 周期及初相 3 说明该函数的图象可由y sinx的图象经过怎样的变换而得到 解析 1 y 2sin 令x 列表如下 描点连线 2 振幅a 2 周期t 4 初相为 3 将y sinx的图象上各点向左平移个单位 得到y sin x 的图象 再把y sin x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 得到y sin 的图象 最后把y sin 的图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍 横坐标不变 即得函数y 2sin 的图象 右图为某三角函数图象的一段 用函数y asin x a 0 写出其解析式 求三角函数y asin x 的解析式 分析 1 确定振幅a a ymax ymin 2 相邻两个最值对应的横坐标之差 或一个单调区间的长度为t 由此推出 的值 3 将给定特殊点的坐标代入解析式 结合图象确定 解方法一 又a 3 所给曲线是由的图象沿x轴向右平移个单位而得到的 解析式为 即 方法二 同 方法一 得a 3 t 4 点在函数图象上 代入得 即 规律总结给出图象确定解析式的题型 a由最值确定 由周期确定 由最值或零值点确定 用最值确定比较容易掌握 利用零值点时 要找准第一个零值点的位置 变式训练2已知函数y asin x 的图象 试确定a 的值 并写出函数解析式 解析 由图象知a 3 且 已知函数f x sin x cos x 0 0 为偶函数 且函数y f x 的图象的两相邻对称轴间的距离为 1 求f 的值 2 将函数y f x 的图象向右平移个单位后 再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍 纵坐标不变 得到函数y g x 的图象 求g x 的单调递减区间 函数y asin x 的性质及应用 分析 1 先把函数化成f x asin x 的形式 再利用奇偶性和对称性求出函数f x 的解析式 进而求出f 2 利用函数图象的变换确定出新函数y g x 的解析式 再求出其单调递减区间 解 f x 为偶函数 对任意x r f x f x 恒成立 整理得 0且x r 又 0 由题意得 2 f x 2cos2x 因此 2 将f x 的图象向右平移个单位后 得到f x 的图象 再将所得图象的横坐标伸长到原来的4倍 纵坐标不变 得到f 的图象 当时 g x 单调递减 因此g x 的单调递减区间为 规律总结本题综合考查了三角函数的奇偶性 对称性 单调区间的求解 还有图象的平移问题 解题的关键是明确正弦函数图象的对称性与周期性之间的关系 一般地 正 余弦函数图象相邻的两条对称轴 或两个相邻的对称中心 的距离等于函数的半个周期 因此 正弦函数和余弦函数图象上任意两条对称轴 或两个对称中心 之间的距离为 k z 其中t为函数的最小正周期 正余弦函数图象的任一条对称轴与它相邻的对称中心之间的距离恰好是周期的 所以正 余弦函数图象的任一条对称轴和任意一个对称中心之间的距离是t k z 变式训练3 2010 湖南高考 已知函数f x sin2x 2sin2x 1 求函数f x 的最小正周期 2 求函数f x 的最大值及f x 取最大值时x的集合 解析 1 函数f x 的最小正周期为 2 由 1 知 当 即时 f x 取到最大值 1 因此函数f x 取最大值时x的为 三角函数模型y asin x 的应用 受日月的引力 海水会发生涨落 这种现象叫潮汐 在通常情况下 船在涨潮时驶进航道 靠近码头 卸货后返回海洋 某港口水的深度y m 是时间t 0 t 24 单位 h 的函数 记作y f t 下表是该港口在某季节每天水深的数据 经过长期观察 y f t 的曲线可以近似地看作函数y asin t k的图象 1 根据以上数据 求出函数y f t 的近似表达式 2 一般情况下 船舶航行时船底离海底距离为5m或5m以上时认为是安全的 船舶停靠时 船底只需不碰到海底即可 某船吃水深度 船底离水面的距离 为6 5m 如果该船想在同一天内安全进出港 问 它至多能在港内停留多长时间 忽略进出港所需时间 分析观察所给表格中的数据 水深随时间的变化呈现周期规律 因此可以考虑用三角函数模型进行模拟 不妨选正弦函数 并求解析式 由解析式研究问题 2 解 1 函数y f t 可近似地看作y asin t k 由数据知 它的周期t 12 振幅a 3 k 10 12 故y 3sint 10 2 由题意 该船进出港口时 水深应不小于6 5 5 11 5 m 在港口内永远是安全的 由 得即12k 1 t 12k 5 k n 在同一天内 取k 0或1 则1 t 5或13 t 17 该船最早能在凌晨1时进港 最迟在下午17时离港 在港口内最多停留16h 规律总结仔细寻求表中数据特征 联想到所学三角函数知识 抓住周期变化的特征 是选择三角函数模型的关键 为了保证所选函数的精确性 通常还需要一个检验的过程 所以利用三角函数模型解决问题的基本步骤是 建模 选择模型 求模 检验 应用 经长期观察 y f t 的曲线可近似地看成是函数的图象 变式训练4已知某海滨浴场的海浪高度y m 是时间t 0 t 24 单位 h 的函数 记作y f t 下表是某日各时的浪高数据 1 根据以上数据 求出函数的最小正周期t 振幅a及函数表达式 2 依据规定 当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放 请依据 1 的结论 判断一天内的上午8 00到晚上20 00之间 有多少时间可供冲浪者进行活动 解析 1 由表中数据 知周期t 12 由t 0 y 1 5 得a b 1 5 由t 3 y 1 0 得b 1 0 由 联立 解得a b 1 函数表达式为 2 由题意知 当y 1时才可对冲浪者开放 由 得 即12k 3 t 12k 3 k z 0 t 24 可令 中k分别为0 1 2 得0 t 3或9 t 15或21 t 24 在规定时间上午8 00到晚上20 00之间 有6个小时可供冲浪者运动 即上午9 00到下午15 00 1 f x asin x a 0 0 的性质 1 令2k x 2k k z 得增区间 令2k x 2k k z 得减区间 2 t 3 对称中心是对称轴是x k z 4 k 时是奇函数 k 时是偶函数 k z 2 f x acos x a 0 0 的性质 1 令2k x 2k k z 得减区间 令2k x 2k 得增区间 2 t 3 对称中心是 对称轴是 k z 4 时是偶函数 k 时是奇函数 k z 3 f x atan x a 0 0 的性质 1 令得增区间 2 3 对称中心是 无对称轴 4 时是奇函数 4 由y sinx的图象变换出y sin x 的图象一般有两个途径 只有区别开这两个途径 才能灵活进行图象变换 利用图象的变换作图象时 提倡先平移后伸缩 但先伸缩后平移也经常出现 无论哪种变形 请切记每一个变换总是对字母x而言 即图象变换要看 变量 起多大变化 而不是 角 变化多少 途径一 先平移变换再周期变换 伸缩变换 先将y sinx的图象向左 0 或向右 0 平移 个单位 再将图象上各点的横坐标变为原来的倍 0 便得y sin x 的图象 途径二 先周期变换 伸缩变换 再平移变换先将y sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍 0 再沿x轴向左 0 或向右 0 平移个单位 便得y sin x 的图象 5 确定y asin x 的解析式的步骤 1 首先确定振幅和周期 从而得到a与 2 确定 值时 往往以寻找 五点法 中的第一个零点作为突破口 要注意从图象的升降情况找准第一个零点的位置 同时要利用好最值点 具体如下 第一点 即图象上升时与x轴的交点 为 x 0 第二点 即图象的 峰点 为 x 第三点 即图象下降时与x轴的交点 为 x 第四点 即图象的 谷点 为 x 第五点 为 x 2 6 三角函数模型的应用及解题步骤 1 根据图象建立解析式或根据解析式作出图象 2 将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型 3 利用收集到的数据作出散点图 并根据散点图进行函数拟合 从而得到函数模型 函数的图象向右平移个单位长度 再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 所得函数解析式为 错解方法一 将原函数图象向右平移个单位长度得 再压缩横坐标得 故选a 方法二 将原函数图象向右平移个单位长度得 再压缩横坐标得故选b 方法三 将原函数图象向右平移个单位长得 再压缩横坐标得 故选c 错解分析这三种解法都是错误的 其原因在于没有抓住变换的对象 方法一在平移变换时