《线积分及格林公式》PPT课件.ppt

曲线 曲面积分 二重积分与曲线积分的联系 格林公式 下一页 上一页 三重积分与曲面积分的联系 高斯公式 曲面积分与曲线积分的联系 斯托克斯公式 下一页 上一页 曲线积分与路径无关的四个等价条件 重要的等价条件是 场论初步 下一页 上一页 梯度 通量 旋度 环流量 散度 下一页 上一页 曲线积分的计算及证明 对弧长的曲线积分的计算 用公式直接计算例 计算 下一页 上一页 答案 在一条光滑 或分段光滑 的 是L上关于x的奇函数 是L上关于x的偶函数 L1是曲线L落在y轴一侧的部分 在分析问题和算题时常用的 L关于y轴对称 补充 对称性质 曲线L上连续 则 当 或y 或y 当 或x轴 或x 下一页 上一页 用对称性及曲线方程法 补充 例2 其中L是圆周 解 因积分曲线L关于 被积函数x是L上 被积函数 因积分曲线L关于 对称性 计算 得 是L上 y轴对称 关于x的奇函数 x轴对称 关于y的奇函数 下一页 上一页 对称性 例3 解 由于 有 的方程中的x y z的地位完全对称 下一页 上一页 对称性 1988年研究生考题 填空 3分 解 对称性 下一页 上一页 例4 例5计算 下一页 上一页 曲线方程法 答案 例6设 证明 下一页 上一页 对坐标的曲线积分的计算 用公式直接计算 2 用对称性性质 下一页 上一页 L在上半平面部分与 P x y 为 P x y 为 其中L1是曲线L的上半平面的部分 类似地 对称性质 对坐标的曲线积分 当平面曲线L是分段 光滑的 关于 下半平面部分的走向相反时 x轴对称 则 y的偶函数 y的奇函数 的讨论也有相应的结论 对 下一页 上一页 例7 直接化为定积分计算 取逆时针方向 解 法一 由曲线积分的性质 则 其中ABCDA为 下一页 上一页 将原式分成两部分 即 曲线关于 的走向与L在下半部分的走向相反 法二 被积函数为 利用对称性质 L在上半部分 x轴对称 y的偶函数 原式 下一页 上一页 曲线关于 L在右半部分的走向与L在左半部分的走向相反 被积函数为 所以 y轴对称 x的偶函数 下一页 上一页 3 用格林公式 包括补线法 路径无关 全微分条件等 平面闭曲线上的对坐标曲线积分 比较简单时 常常考虑通过格林 公式化为二重积分来计算 下一页 上一页 思路 闭合 非闭 闭合 非闭 补充曲线或用公式 下一页 上一页 解 下一页 上一页 解 如下图 下一页 上一页 非常简单 此积分路径 不是闭曲线 分析 下一页 上一页 利用格林公式可以简化二重积分 则 解 令 例10 为顶点的三角形闭区域 格林公式 下一页 上一页 解 积分与路径无关 1989年研究生考题 计算 5分 设曲线积分 与路径无关 具有连续的导数 例11 即 下一页 上一页 1 0 法一 设曲线积分 与路径无关 具有连续的导数 下一页 上一页 法二 设曲线积分 与路径无关 具有连续的导数 下一页 上一页 2002研究生考题 数学一 8分 内具有一阶连续导数 L是上半平面 y 0 内的有向分段光滑曲线 其起点为 a b 终点为 c d 记 1 证明曲线积分I与路径L无关 2 当ab cd时 求I的值 证 因为 所以在上半平面内曲线积分I与路径L无关 1 例12 下一页 上一页 解 2 由于曲线积分I与路径L无关 所以 法一 下一页 上一页 解 2 L是上半平面 y 0 内的有向分段光滑曲线 起点 a b 终点 c d 2 当ab cd时 求I的值 法二 设F x 为f x 的一个原函数 则 由此得 下一页 上一页 例131 计算曲线积分练习 下一页 上一页 答案 2000研究生考题 求 答案 取逆时针方向 2 例14设的方向为逆时针方向 证明 下一页 上一页 例15证明 下一页 上一页 2003年研考题 数学一 10分 已知平面区域 L为D的正向边界 试证 证 左边 右边 法一 1 例16 下一页 上一页 证 2 由于 故由 1 得 下一页 上一页 证 法二 1 根据格林公式 得 左边 右边 因为D关于 对称 所以 下一页 上一页 证 法二 由 1