1.5_函数的连续性(fin).ppt

1 第五节函数的连续性 函数的连续性 函数的间断点 闭区间上连续函数的性质 2 1 连续的定义 定义1 6 3 三要素 一 函数的连续性 3 自变量在点的增量 函数相应于的增量 连续 定义1 6 则称函数f x 在x0点 若 极限与连续之间的关系 f x 在x0点连续 f x 在x0点存在极限 4 例 证 证明 处连续 5 左 右连续 左连续 右连续 左连续 右连续 定义1 7 定理 连续与左 右连续的关系 6 例 解 但不右连续 所以 左连续 7 例 解 8 2 连续函数与连续区间 则称f x 若f x 在开区间 a b 内每一点都连续 且在a点右连续 在b点左连续 称该区间为 连续区间 在开区间 a b 内连续 若f x 在开区间 a b 内连续 则称f x 在闭区间 a b 上连续 所有在区间I上连续的函数组成的集合记为C I 闭区间 a b 上连续函数的全体记为C a b 9 证 类似可证 连续 例证明 由夹逼定理 要证 10 例证明 证 夹逼定理 必存在正整数n 使得 有 3 1 从某个n开始 11 定理1 15 如 则 由于 在其定义域内连续 在x0点也连续 函数和差积商的连续性 3 连续函数的运算性质 12 如 结论 反三角函数在其定义域内皆连续 定理1 17 故 同理 单调增加 且连续 单调的连续函数 必有单调的连续反函数 也单调增加且连续 单调减少且连续 单调增加且连续 单调减少且连续 反函数的连续性 13 定理1 16 复合函数的连续性 若函数 即 记 则复合函数 14 三角函数及反三角函数 1 2 3 单调且连续 指数函数 对数函数 单调且连续 均在其定义域内连续 4 幂函数 连续 讨论 不同值 在它们的定义域内连续 基本初等函数在定义域内是连续的 4 初等函数的连续性 15 定理1 18初等函数在其定义区间内都是连续的 1 初等函数在其定义域内不一定连续 注 2 初等函数求极限的方法 代入法 如 在x 0点的邻域内无定义 定义区间是指包含在定义域内的区间 这些孤立点的邻域内没有定义 16 例 例 解 解 17 例 解 原式 例 解 同理可得 原式 18 定义 出现如下三种情形之一 二 函数的间断点及其分类 无定义 不存在 间断点 存在 初等函数无定义的点是间断点 分段函数的分段点可能是间断点 需要判定 19 间断点的分类 第二类间断点 第一类间断点 称为可去间断点 称为跳跃间断点 若其中有一个为 称为无穷间断点 20 例 有定义 故 为f x 的间断点 第一类 且是跳跃间断点 解 21 例 讨论 解 为第一类间断点 且是可去间断点 连续 22 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义 则可使其变为连续点 注 例 解 23 例 有定义 不存在 故 为f x 的间断点 第二类 且是振荡型间断点 之间来回无穷次振荡 解 24 函数的间断点可以有无穷多个 D x 在定义域R内每一点处都间断 且都是第二类间断点 25 解 函数无定义 是函数的间断点 所以 是函数的第二类间断点 且是无穷型 所以 是函数的第一类间断点 且是跳跃型 并指出其类型 例 26 求的间断点 并指出其类型 练习 讨论 为函数的第一类间断点 且是可去间断点 若有间断点 判断间断点的类型 练习 求 的间断点 并判别其类型 思考 是函数的第一类间断点 且是可去型 是函数的第二类间断点 且是无穷型 27 解 函数无定义 是函数的间断点 所以 是函数的第一类间断点 且是可去型 所以 是函数的第二类间断点 且是无穷型 求的间断点 并指出其类型 练习 28 例 且是跳跃间断点 左 右极限都存在 但不相等 解 若有间断点 判断间断点的类型 29 定义 设f x 在区间I上有定义 若存在点 为函数f x 在区间I上的 最小值 记为 则称 大 三 闭区间上连续函数的性质 30 定理中的条件 闭区间 和 连续性 是不可少的 定理1 19 最大最小值定理 在闭区间上连续的函数一定能取到最大值和最小值 推论 有界性定理 31 在开区间 0 1 无最大值 如 1 函数 无最大值 无最小值 无最小值 有间断点 2 函数 32 定理1 20 零点定理 使得 几何意义 定义 33 定理1 21 介值定理 使得 证 由零点定理 C为介于A B之间的任意数 令 辅助函数 34 几何意义 与最小值m之间的任何值 不会有任何遗漏 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 至少有一个交点 35 例 证 由零点定理 闭区间上连续函数的性质常用于 1 判断某些方程根的存在性或实根的范围 2 证明某些等式 36 例 证 由零点定理 使 37 证 例 证明 令 由介值定理 使 即得 使得 38 作业 习题1 5 64页 1 1 3 2 1 4 6 3 1 2 4 2 3 6 8 39 作业 综合练习题1 65页 7 1 2 8 10 选择题做在书上 40 1 设 时 提示 为 连续函数 练习 41