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厦门大学高等数学B期中试卷学院系年级专业主考教师：高数B组 姓名： 学号：考试日期2008.11一、填空题（每小题4分，共28分）1、 若，则=_.2、 设为可导函数，且满足，则曲线在点（1,f(1)）处的切线斜率为_2_。3、 设，则_4、 的渐近线为=_。5、 f(x)在点可导是f(x)在点连续的_ 充分_条件，f(x)在点连续是f(x)在点 可导的_必要_条件.6、若时，-1与是等价无穷小，则= _-4_。7、若, 则=._ln2_。二、计算与证明题（每小题8分，共72分）1 根据定义（语言）证明为时的无穷小。证明：对，欲使取，则当时， 即.2. .解: 3.设由所确定，求解: , 令，所以 .4设可导，函数由所确定，求dy 解: 将原方程改写为 ,两侧对求导:, . 5讨论函数的连续性，若有间断点，指出其类型。解: 函数的间断点为,.因为 ,所以为可去(第一类)间断点;因为 所以为无穷(第二类)间断点.函数的连续区间为 .6设在内连续，且，求.解: ,.7讨论函数在处的连续性和可导性。解: ,所以函数在处的连续.,因为 , 所以函数在处不可导.8设，试证数列极限存在，并求此极限。解: 由设对正整数有，则有由归纳法得（），即为单调递减数列。显然，即有下界，所以存在。令：，对两边取极限，得 即 ， .9设f(x)在闭区间上连续，证明至少存在一点，使得。 证法1：f(x)在闭区间上连续，必可取到最大值和最小值， 不妨设 ，其中，因此有 ， 从而有 因为， 所以有由介值定理知，至少存在一点，使得。 证毕！证法2：由题意有 。 第一种情况，命题成立！ 第二种情况，若， 设，显然在上连续，且，则由零点存在定理知，至少存在一点，使得，即 。 证毕！证法3：分析 如果，命题成立！ 如果，则，与题设矛盾！ 如果，则，也与题设矛盾！因此中若有一些值大于1，就必有一些值小
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