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第九章 圆锥曲线与方程 椭圆 第50讲 椭圆的标准方程 已知两点 椭圆标准方程的形式不确定 可以根据焦点位置设出椭圆标准方程进行分类讨论 用待定系数法求出a b的值 但若设为mx2 ny2 1 则包含了焦点在x轴上和焦点在y轴上的两种情况 是一个好的选择 避免讨论 简化解题过程 点评 变式练习1 求中心在原点 并与椭圆9x2 4y2 36有相同的焦点 且经过点q 2 3 的椭圆的标准方程 椭圆的几何性质 当圆锥曲线上的点与两焦点的距离建立联系时 常考虑第一定义 当圆锥曲线上的点与焦点和相应准线的距离建立联系时 常考虑第二定义 并注意利用平面几何 三角知识来解题 问题 1 是用椭圆第一定义中的数量关系进行转换 使问题化归为几何中求最大 小 值的基本模式 主要是利用三角形中两边之和大于第三边 两边之差小于第三边等结论 问题 2 利用第二定义实现了数据的转化 利用了三点共线时 距离和最小 点评 说明 此题还有其他解法 上面方法较简捷 利用椭圆的参数方程 直接将目标函数转化为三角函数 根据正弦函数的最值求解 椭圆的综合应用 用定义去解决圆锥曲线问题比较方便 如本例 设 pf1 r1 pf2 r2 则s 1 2r1r2sin2 若能消去r1r2 再借助余弦定理即可解决问题 点评 1 0 0 1 椭圆的两个定义的灵活运用 椭圆的两个定义都是用椭圆上的点到焦点的距离来刻画的 第二定义将到焦点的距离与到准线的距离 平行于坐标轴的线 建立了等量关系 由此可对一些距离进行有效转化 因此 在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时 应先想到利用定义进行求解 会有事半功倍之效 3 求椭圆的标准方程 常采用 先定位 后定量 的方法 待定系数法 如若不能确定焦点的位置 则两种情况都要考虑 这一点一定要注意 不要遗漏 此时设所求的椭圆方
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