09-10.1机械振动.ppt

6 2简谐运动的合成 6 3阻尼振动和受迫振动简介 6 1简谐运动 第六章机械振动 二掌握描述简谐运动的旋转矢量法和图线表示法 并会用于简谐运动规律的讨论和分析 一掌握描述简谐运动的各个物理量 特别是相位 的物理意义及各量间的关系 三掌握简谐运动的基本特征 能建立一维简谐运动的微分方程 能根据给定的初始条件写出一维简谐运动的运动方程 并理解其物理意义 四理解同方向 同频率简谐运动的合成规律 了解拍和相互垂直简谐运动合成的特点 五了解阻尼振动 受迫振动和共振的发生条件及规律 6 机械振动 振动的形式 振动的分类 受迫振动 自由振动 阻尼自由振动 无阻尼自由非谐振动 简谐振动 无阻尼自由振动 无阻尼自由谐振动 物体或物体的某一部分在一定位置附近来回往复的运动 实例 心脏的跳动 钟摆 乐器 地震等 机械振动 6 1简谐运动 simpleharmonicvibration 最简单 最基本的振动 简谐振动 一 简谐运动 谐振子 作简谐运动的物体 弹簧振子的振动 振动的成因 回复力 惯性 3弹簧振子的运动分析 简谐运动的特征 加速度与位移的大小x成正比 方向相反 解得 作简谐运动物体所受合外力 线性回复力或准弹性力 简谐振动的加速度 简谐振动的速度 1 振幅 二 描述简谐运动的物理量 2 周期 频率 周期 频率 圆频率 周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关 频率为 例如 心脏的跳动80次 分 周期为 动物 昆虫的心跳频率 参考值 单位 Hz 振动方程的标准形式 振动方程的标准形式 x Acos t Acos 2 t T Acos 2 ft 相位的意义 表征任意时刻 t 物体振动状态 物体经一周期的振动 相位改变 相位 初相位 三 相位 由图可见 谐振动的位移 速度 加速度之间的位相关系 谐振动的位移 速度 加速度之间的相位关系 解 选受力平衡点为坐标原点 均与水平弹簧振子结果相同 2 小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动 O 谐振动 分析 3 光滑斜面上的谐振子 判断下列运动是否为简谐振动 自己练习 例2 m在平衡位置时 设弹簧伸长量为 l 则 当m有位移x时 取位移轴ox 滑轮 解 滑轮 m受力如图 设木块平衡时漏出水面高度为a 没入水中b l a 解 以木块平衡点 水面 为坐标原点 有 边长为l 0 10m 密度为 900kg m3的正方形木块浮在水面上 今把木块恰好完全压入水中 然后从静止状态放手 不计水对木块的阻力 并设木块运动时不转动 1 木块将作什么运动 2 求木块质心运动规律的数值表达式 水 1000kg m3 并设竖直上为x轴 mg 水gV水 即 l3g 水gl2b 1 例题4 应物 b l 水 900 0 10 1000 0 09m 木块平衡时漏出水面高度a l b 0 01m 2 木块运动的动力学方程 设任一时刻木块上浮x 如右图示 则木块受浮力f 水gl2 b x 木块受合力F f mg 水gl2 b x gl3 将 1 代入 F 水gl2x 又由牛顿第二定律 令 则 木块作简谐振动 3 设木块的运动方程为 x Acos t 0 2 木块运动的动力学方程 木块受浮力f 水gl2 b x 木块受合力F f mg 水gl2 b x gl3 l3g 水gl2b 1 其中 又t 0时 v0 0 x0 a 0 01m 开始木块完全压入水中 木块的运动方程为 x 0 01cos 10 4t 自Ox轴的原点O作一矢量 使它的模等于振动的振幅A 并使矢量在Oxy平面内绕点O作逆时针方向的匀角速转动 其角速度与振动频率相等 这个矢量就叫做旋转矢量 四 旋转矢量 以为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动 谐振动 振幅A 角频率 角速度 位相 t 角坐标 t 初位相 初角坐标 速度及加速度旋转矢量 由速度确定 v1 0 v2 0 v0 0 1 v0 0 2 如图 在x x0处可有两个状态 用旋转矢量法确定初相 相位差 表示两个相位之差 对同一简谐运动 相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间 如图示 相应的旋转矢量图为 令 角谐振动 五 物理摆 简谐运动的方程和特征 2 简谐运动的动力学方程 1 物体受线性回复力作用平衡位置 3 简谐运动的运动学方程 4 加速度与位移成正比而方向相反 1 解析法 2 曲线法 简谐振动的描述方法 1 动能 以弹簧振子为例 OxX 六 简谐运动的能量 2 势能 3 机械能 线性回复力是保守力 作简谐运动的系统机械能守恒 简谐运动能量图 简谐运动能量守恒 振幅不变 a 由分析受力出发 由牛顿定律列方程 b 由分析能量出发 将能量守恒式对t求导 势能 机械能 机械能守恒 例 如图所示 一直角均质细杆 水平部分杆长为l 质量为m 竖直部分杆长为2l 质量为2m 细杆可绕直角顶点处的固定轴O无摩擦地转动 水平杆的未端与劲度系数为k的弹簧相连 平衡时水平杆处于水平位置 求 杆作微小摆动时的周期 解 能量的方法 t时刻系统的能量 其它步骤同上 能量法解题的优越性 小结 一两个同方向同频率简谐运动的合成 设一质点同时参与两独立的同方向 同频率的简谐振动 两振动的位相差 常数 6 2简谐运动的合成 两个同方向同频率简谐运动合成后仍为同频率的简谐运动 6 2简谐运动的合成 解析法 旋转矢量法 1 相位差 2 相位差 3 一般情况 加强 减弱 小结 1 相位差 2 相位差 质点运动轨迹 椭圆方程 二两个相互垂直的同频率的简谐运动的合成 1 或 2 3 用旋转矢量描绘振动合成图 两相互垂直 同频率不同相位差简谐运动的合成图 振动合成四 整数比 李萨如图形 如 x y 3 2 1 4 2 0 用李萨茹图形求频率 三多个同方向同频率简谐运动的合成 多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动 2 1 四两个同方向不同频率简谐运动的合成 频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成 其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍 讨论 的情况 拍的现象 测振动频率 乐器调音 制造拍振荡器 方法一 讨论 的情况 方法二 旋转矢量合成法 17 6 一质点同时参与两个在同一直线上的谐振动 其表达式为x1 0 04cos 2t 6 SI x2 0 03cos 2t 6 SI 试写出合振动表达式 解 A 0 061m 代入数值 tan 0 0 08248 故 0 0 0823rad 0 04cos 6 0 03cos 6 0 0606m 0 用旋矢法确定初相 0 作业 一阻尼振动 现象 振幅随时间减小 原因 阻尼 动力学分析 阻尼力 6 3阻尼振动受迫振动共振 方程的解 a 欠阻尼 0 x A0e tcos t 0 其中 02 2 1 2 减辐振动 非谐振动 临界阻尼 c 临界阻尼 x c1 c2t A0e t b 过阻尼 0 应用于天平调衡 受迫振动 系统在周期性外力的持续作用下所作的等幅振动称为受迫振动 示意 续上 续上 受迫振动稳定状态时的振幅 若强迫力的角频率已定 大则小 受迫振动的振幅出现极大值的现象称为共振 共振时的振幅值为 共振频率 1 位移共振 振幅取极值 讨论 振幅共振曲线 共振频率 共振振幅 2 速度共振 速度振幅 A取极值 速度共振时 速度与策动力同相 一周期内策动力总作正功 此时向系统输入的能量最大 共振频率 共振速度振幅 速度共振曲线 北京大钟寺内的巨钟的频谱图 0 100 200 300 400 500 v Hz 电共振 收音机 调谐 工程建筑中应避免共振的危害