全品高考复习方案教师手册(理)第8单元-解析几何-人教A版.ppt

目录 第44讲直线的倾斜角与斜率 直线的方程第45讲两直线的位置关系与点到直线的距离第46讲圆的方程第47讲直线与圆 圆与圆的位置关系第48讲椭圆第49讲双曲线第50讲抛物线第51讲直线与圆锥曲线的位置关系第52讲曲线与方程 第八单元解析几何 人教A版 第八单元解析几何 第八单元 知识框架 第八单元 考纲要求 1 直线与方程 1 在平面直角坐标系中 结合具体图形 确定直线位置的几何要素 2 理解直线的倾斜角和斜率的概念 掌握过两点的直线斜率的计算公式 3 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直 4 掌握确定直线位置的几何要素 掌握直线方程的几种形式 点斜式 两点式及一般式 了解斜截式与一次函数的关系 5 能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 6 掌握两点间的距离公式 点到直线的距离公式 会求两平行线间的距离 第八单元 考纲要求 2 圆与方程 1 掌握确定圆的几何要素 掌握圆的标准方程与一般方程 2 能根据给定直线 圆的方程判断直线与圆的位置关系 能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系 3 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 4 初步了解用代数方法处理几何问题的思想 3 圆锥曲线 1 了解圆锥曲线的实际背景 了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 第八单元 考纲要求 2 掌握椭圆 抛物线的定义 几何图形 标准方程及简单性质 3 了解双曲线的定义 几何图形和标准方程 知道它的简单几何性质 4 了解圆锥曲线的简单应用 5 理解数形结合的思想 4 曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 第八单元 命题趋势 1 从近几年新课标省份对本单元内容的考查情况来看 本单元的命题有以下特点 考查以中低档题为主 形式上多为一大一小 小题主要考查直线 圆 圆锥曲线的定义及基本性质 如两直线的平行与垂直 直线与圆的位置关系 椭圆或双曲线的离心率等 大题主要考查直线与圆 直线与圆锥曲线的综合问题 往往运算量较大 思维较复杂 2 预测2012年对本单元内容的考查 会沿袭往年的考查方式 用小题考查直线 圆 圆锥曲线的基本概念和基本性质 在大题中 以直线与圆 直线与圆锥曲线的关系为切入点 综合函数 不等式等知识以及数形结合 分类讨论等思想进行考查 1 编写意图本单元是高考的必考内容 在研究了近三年新课标省份对本单元内容考查的基础上 在编写中注意到如下的几个问题 1 控制难度 加强基础知识和基本方法的讲解和训练 2 突出重点 直线与圆的位置关系 椭圆 抛物线的定义和几何性质是考查的重点 对这部分内容的例题和训练题进行了精心的编排和设计 3 加强综合训练 本单元思维量较大 运算较复杂 方法灵活多样 是多数学生感觉较为难学的部分 因此 在例 第八单元 使用建议 题和训练题中 设计了一定量的综合题以提高学生的运算能力和综合解题能力 2 教学指导复习过程中建议重点关注以下几个问题 1 要求学生熟练掌握直线方程的几种形式 能熟练解决直线的位置关系问题 熟练掌握圆的方程 能用代数和几何两种方法解决直线与圆的位置关系问题 熟记椭圆和抛物线的定义与几何性质 这是客观题得分的重要保证 2 重视数学思想方法的应用 分类讨论思想 数形结合思想 转化与化归思想 函数与方程思想以及解析法 待定系数法等在各种题型中均有体现 要牢牢抓住圆的几何特征 圆锥曲线的定义 利用直线与圆 直线与圆锥曲线的位置关系 寻求合理的等量关系 尽量使运算过程简化 第八单元 使用建议 3 复习过程中以中 低档题目的训练为主 适当训练一些综合题 以提高学生的运算能力和综合解题能力 不要选用运算过于复杂的题目 主要训练运算推理能力和画图用图能力 3 课时安排本单元共9讲 预计除51讲为2课时外 其余每讲建议1课时完成 滚动基础训练卷和单元能力训练卷各占1课时 共需12课时 第八单元 使用建议 第44讲 直线的倾斜角与斜率 直线的方程 第44讲直线的倾斜角与斜率 直线的方程 1 当直线l与x轴相交时 我们取x轴作为基准 x轴正向与直线l向上方向之间所成的角 叫做直线l的 当直线l与x轴平行或重合时 我们规定它的倾斜角为 因此 直线的倾斜角 的取值范围为 2 我们把一条直线的倾斜角 的 叫做这条直线的斜率 斜率常用小写字母k表示 即k 倾斜角是 的直线没有斜率 倾斜角 不是90 的直线都有斜率 倾斜角不同 直线的斜率也不同 因此 我们可以用 表示直线的倾斜程度 第44讲 知识梳理 倾斜角 0 0 180 正切值 tan 90 斜率 3 经过两点P1 x1 y1 P2 x2 y2 x1 x2 的直线的斜率公式k 4 直线方程的三种形式 1 点斜式 y y1 k x x1 表示经过点 且斜率为 的直线 特例 y kx b表示过点 且斜率为 的直线 其中b表示直线在y轴上的 该方程叫直线方程的 第44讲 知识梳理 x1 y1 k 0 b k 截距 斜截式方程 第44讲 知识梳理 x1 y1 x2 y2 探究点1直线的倾斜角和斜率 第44讲 要点探究 例1经过两点A 2 1 和B a a 1 的直线l的倾斜角 0 45 则实数a的取值范围是 A a2B 02 例1 思路 利用斜率公式k 用a表示k 再由倾斜角的范围得0 k 1 解不等式即可 第44讲 要点探究 第44讲 要点探究 第44讲 要点探究 变式题 思路 射影长度与线段长度的比值即是直线倾斜角的余弦值的绝对值 长度为2的线段AB在x轴上的射影长的范围是 则线段AB所在的直线l的倾斜角的取值范围是 变式题 第44讲 要点探究 探究点2求直线的方程 第44讲 要点探究 第44讲 要点探究 第44讲 要点探究 第44讲 要点探究 点评 求直线方程时 要依据条件灵活地选择方程的形式 一般地 与倾斜角有关的题设为点斜式或斜截式 如例 1 如与截距有关的题设为截距式 如例 2 例 3 设为点斜式 以斜率k表示A B点的坐标 再将 MA MB 表示为k的函数 然后用不等式求解 这里用到了函数思想和不等式方法 这是解决问题的重要方法 要仔细体会 对于直线方程各种形式 要注意它们的使用范围 即对方程中的参数要分类讨论 如下面变式题 第44讲 要点探究 第44讲 要点探究 变式题 直线l过点M 1 2 1 若直线l经过第三 第四象限 求斜率k的取值范围 2 若直线l与x轴 y轴正方向交于A B两点 O为原点 当 AOB面积取得最小值时 求直线l的方程 第44讲 要点探究 变式题 第44讲 要点探究 探究点3综合应用 第44讲 要点探究 第44讲 要点探究 第44讲 要点探究 第44讲 规律总结 第44讲 规律总结 第45讲 两直线的位置关系与点到直线的距离 第45讲两直线的位置关系与点到直线的距离 1 两直线平行与垂直的判定 1 两条直线的平行对于两条不重合的直线l1 l2 其斜率分别为k1 k2 有l1 l2 当l1和l2的斜率都不存在时 l1与l2也是平行关系 当两条直线的方向向量平行时 这两条直线也互相平行 2 两条直线的垂直如果两直线l1 l2的斜率存在 设为k1和k2 有l1 l2 当一条直线的斜率为0 另一条直线的斜率不存在时 这两条直线也互相垂直 当两条直线的方向向量垂直时 这两条直线也互相垂直 第45讲 知识梳理 k1 k2 k1k2 1 第45讲 知识梳理 2 2 2 求两条直线的交点如果两条直线l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0相交 由于交点同时在两条直线上 交点的坐标一定是两个方程的唯一公共解 反过来 如果这两个二元一次方程只有一个公共解 那么以这个解为坐标的点必定是直线l1和l2的交点 因此两直线l1与l2相交 方程组有唯一解 如 下列两条直线l1 3x 4y 2 0 l2 2x y 2 0的交点是 3 两种距离 1 点到直线的距离P x0 y0 到直线l Ax By C 0的距离 d 这个式子对A 0或B 0时的特殊情况下的直线仍然成立 此时可以直接画出图形 观察即可得出 如 点P 1 2 到直线y 4的距离为d 2 两平行线间的距离两条平行直线l1 Ax By C1 0和l2 Ax By C2 0的距离为d 第45讲 知识梳理 2 探究点1两直线的位置关系 第45讲 要点探究 例1已知直线l1 mx y 1 0 l2 2x 1 m y 2 0 1 m为何值时 l1 l2 2 m为何值时 l1 l2 3 当l1 l2时 求l1 l2与x轴围成的三角形的面积 例1 思路 将直线方程化为斜截式求出斜率 再利用两直线平行或垂直的条件进行判断 第45讲 要点探究 第45讲 要点探究 第45讲 要点探究 变式题 过点P 3 2 的直线l与两平行线l1 y 2x和l2 y 2x 2分别相交于A B两点 若 AB 2 求直线l的方程 第45讲 要点探究 探究点2距离问题 第45讲 要点探究 例2 思路 1 直接使用平行线间的公式求出a的值 2 分别求出点P到直线l1 l2的距离 利用平面几何构造相似三角形 得出结论 第45讲 要点探究 第45讲 要点探究 第45讲 要点探究 变式题 直线l经过点P 2 5 且与点A 3 2 和B 1 6 距离之比为1 2 求直线l的方程 第45讲 要点探究 探究点3直线过定点问题 第45讲 要点探究 第45讲 要点探究 探究点4对称问题 第45讲 要点探究 第45讲 要点探究 第45讲 要点探究 第45讲 要点探究 变式题 已知点P 2 1 直线l1 2x y 1 0和直线l2 1 若l1与l2关于P 2 1 对称 求直线l2的方程 2 在 1 的条件下 若l1与l2也关于点Q 1 b 对称 求b的值 第45讲 要点探究 第45讲 规律总结 第45讲 规律总结 第45讲 要点探究 对称问题是高考的热点和难点 点对称 即中心对称 要用到中点公式 轴对称要用到垂直平分 光线反射问题 角平分线问题 折叠问题都是对称问题 关于对称问题 有如下规律 第46讲 圆的方程 第46讲圆的方程 1 圆的标准方程设圆的圆心坐标为A a b 半径为r 其中a b r都是常数 r 0 设M x y 为这个圆上任意一点 那么点M满足的条件是P M MA r 由两点间的距离公式写出点M的坐标适合的条件为 化简可得圆的标准方程 特别地 当圆心在坐标原点时 圆的标准方程为 第46讲 知识梳理 x a 2 y b 2 r2 x2 y2 r2 2 点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种 即点在 点在 点在 1 若点M1 x1 y1 在圆C上 则点M1到圆心C a b 的距离等于半径 所以有 2 若点M1 x1 y1 在圆C上 则点M1到圆心C a b 的距离大于半径 所以有 3 若点M1 x1 y1 在圆C上 则点M1到圆心C a b 的距离小于半径 所以有 判断点与圆的位置关系 就是判断点与圆心的距离d和半径r的大小关系 第46讲 知识梳理 圆上 圆内 圆外 x1 a 2 y1 b 2 r2 x1 a 2 y1 b 2 r2 x1 a 2 y1 b 2 r2 第46讲 知识梳理 D2 E2 4F 0 D2 E2 4F 0 第46讲 知识梳理 探究点1两直线的位置关系 第46讲 要点探究 例1根据下列条件 求圆的方程 1 经过点O 0 0 和点P 1 1 并且圆心在直线2x 3y 1 0上 2 已知一圆过M 4 2 N 1 3 两点 且在y轴上截得的线段长为4求圆的方程 第45讲 要点探究 例1 思路 1 圆心是线段OP的垂直平分线与直线2x 3y 1 0的交点 求得圆心 即可求出半径 2 设圆的方程为一般式x2 y2 Dx Ey F 0 依据条件 可得出关于D E F的三个方程 第46讲 要点探究 第46讲 要点探究 点评 求圆的方程时 要根据已知条件选择合适的形式 一般地 与圆心和半径有关 选择标准式 否则 选择一般式 不论是哪种形式 都是确定三个独立参数 所以应该有三个独立等式 另外 充分利用圆的有关几何性质 也可以求得圆的方程中的三个参数 常用的性质有 圆心在过切点且与切线垂直的直线上 圆心在任意弦的中垂线上 两圆相切时 切点与两圆心三点共线 下面的变式题用到圆的有关性质 第46讲 要点探究 变式题 1 2010 金华模拟 圆C的半径为1 圆心在第一象限 与y轴相切 与x轴相交于点A B 若 AB 则该圆的标准方程是 第46讲 要点探究 第46讲 要点探究 变式题 2 ABC三个顶点分别为A 1 5 B 2 2 C 5 5 求其外接圆的方程 第46讲 要点探究 探究点2与圆有关的最值问题 第46讲 要点探究 例2有一种大型商品 A B两地都有出售 且价格相同 某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是 每单位距离A地的运费是B地的运费的3倍 已知A B两地距离为10公里 顾客选择A地或B地购买这种商品的标准是 包括运费和价格的总费用较低 求A B两地的售货区域的分界线的曲线形状 并指出曲线上 曲线内 曲线外的居民应如何选择购货地点 第46讲 要点探究 第46讲 要点探究 第46讲 要点探究 变式题 第46讲 要点探究 探究点3与圆有关的最值问题 第46讲 要点探究 第46讲 要点探究 第46讲 要点探究 变式题 第46讲 要点探究 第46讲 规律总结 第46讲 规律总结 第47讲 直线与圆 圆与圆的位置关系 第47讲直线与圆 圆与圆的位置关系 1 直线与圆的位置关系设圆C的半径为r r 0 圆心到直线l的距离为d 则直线与圆的位置关系可用下表表示 第47讲 知识梳理 d r d r d r 两组实数解 0 两组实数解 0 两组实数解 0 2 圆的切线方程求圆的切线方程 常用两种方程 1 代数法 将直线方程代入圆的方程中 消去一个未知数 x或y 由一元二次方程的判别式等于0 求出相关参数 2 几何法 设圆的切线方程为一般式 根据圆心到直线的距离等于半径 求出相关参数 第47讲 知识梳理 3 两圆的位置关系 第47讲 知识梳理 d R r 一组实数解 0 两组实数解 0 d R r 无实数解 0 4 圆系方程 1 过圆P x2 y2 Dx Ey F 0和直线l Ax By C 0交点的圆系方程是x2 y2 Dx Ey F Ax By C 0 这些圆的圆心在过圆P的圆心与直线l垂直的直线上 2 过两圆C1 x2 y2 D1x E1y F1 0与C2 x2 y2 D2x E2y F2 0的交点的圆系方程是x2 y2 D1x E1y F1 x2 y2 D2x E2y F2 0 1 这些圆的圆心在两已知圆的圆心连线上 这些圆中不包括圆C2 特别地 当 1时 方程 表示两圆交点弦所在的直线方程 当两圆相切时 方程 表示两圆的公共切线 第47讲 知识梳理 探究点1直线与圆的位置关系 第47讲 要点探究 例1已知圆C1 x 4 2 y 2 2 4和圆C2 x 3 2 y2 4 1 若过原点的直线l被圆C2截得的弦长为2 求直线l的方程 2 若过原点的直线l1 l2分别与圆C1 C2相交 且l1 l2 求直线l1的斜率k的取值范围 例1 思路 1 由垂径定理根据弦长可求得弦心距 从而求得直线l的斜率 2 根据l1 l2 设出两直线的方程 将两直线方程分别代入两圆的方程中 由判别式可求得k的取值范围 第47讲 要点探究 第47讲 要点探究 第47讲 要点探究 第47讲 要点探究 变式题 第47讲 要点探究 探究点2圆与圆的位置关系 第47讲 要点探究 例2已知两圆C1 x2 y2 2kx k2 1 0 C2 x2 y2 2 k 1 y k2 2k 0 1 当k 1时 判断两圆的位置关系 2 求两圆的圆心距的最小值 3 设两圆的交点为A B 若 AC1B 60 求两圆公共弦所在的直线方程 第47讲 要点探究 第47讲 要点探究 第47讲 要点探究 变式题 第47讲 要点探究 探究点3圆的切线问题 第47讲 要点探究 第47讲 要点探究 第47讲 要点探究 第47讲 要点探究 变式题 第47讲 要点探究 探究点4直线与圆位置关系的综合应用 第47讲 要点探究 第47讲 要点探究 第47讲 要点探究 变式题 第47讲 要点探究 第47讲 规律总结 第48讲 椭圆 第48讲椭圆 第48讲 知识梳理 椭圆 1 椭圆的定义平面内与两个定点F1 F2的距离之和等于常数 大于 的点的轨迹叫做 这两个定点F1 F2叫做椭圆的 两焦点间的距离叫做椭圆的 椭圆的定义用符号语言表示 2 椭圆的标准方程 1 焦点在x轴上的椭圆的标准方程 a b 0 焦点F1 c 0 F2 c 0 2 焦点在y轴上的椭圆的标准方程 a b 0 焦点F1 0 c F2 0 c 其中a b c几何意义 a表示长轴长的一半 b表示短轴长的一半 c表示焦距长的一半 并且有a2 b2 c2 焦点 焦距 第48讲 知识梳理 x a y b A1 a 0 A2 a 0 B1 0 b B2 0 b 探究点1椭圆定义的应用 第48讲 要点探究 例1如图48 2所示 已知两圆A x 1 2 y2 1 B x 1 2 y2 25 动圆M与圆A外切 与圆B内切 求动圆M的圆心M的轨迹方程 第48讲 要点探究 第48讲 要点探究 第48讲 要点探究 变式题 第48讲 要点探究 思路 由于距离与椭圆的焦点有关 可以考虑用椭圆定义求解 第48讲 要点探究 探究点2椭圆的标准方程 例2 1 已知椭圆以坐标轴为对称轴 且长轴长是短轴长的3倍 并且过点P 3 0 求椭圆的方程 2 已知椭圆的中心在原点 以坐标轴为对称轴 且经过两点 求椭圆的方程 第48讲 要点探究 第48讲 要点探究 第48讲 要点探究 第48讲 要点探究 探究点3椭圆的几何性质 第48讲 要点探究 思路 正确理解和掌握椭圆的几何性质是解决问题的关键 先把上述性质转化为a b c三个量之间的关系 然后从中找出一组与其它四组矛盾的关系式即可 第48讲 要点探究 变式题 第48讲 要点探究 思路 面积最大时 三角形在椭圆上的点为短轴的端点 由此利用不等式求出a 再利用不等式中等号成立的条件即可求出b 第48讲 要点探究 探究点4椭圆的综合应用 第48讲 要点探究 第48讲 要点探究 第48讲 要点探究 第48讲 规律总结 第48讲 规律总结 第49讲 双曲线 第49讲双曲线 第49讲 知识梳理 双曲线 1 双曲线的定义平面内与两个定点F1 F2的距离的差的绝对值等于常数 小于 的点的轨迹叫做 这两个定点F1 F2叫做双曲线的 两焦点间的距离叫做双曲线的 双曲线的定义用符号语言表示 2 双曲线的标准方程 1 焦点在x轴上的双曲线的标准方程 a 0 b 0 焦点F1 c 0 F2 c 0 2 焦点在y轴上的双曲线的标准方程 a 0 b 0 焦点F1 0 c F2 0 c 其中a b c几何意义 a表示实轴长的一半 b表示虚轴长的一半 c表示焦距长的一半 并且有c2 a2 b2 焦点 焦距 第49讲 知识梳理 A1 a 0 A2 a 0 小 扁 开阔 探究点1双曲线的定义 第49讲 要点探究 例1某中心接到其正东 正西 正北方向三个观测点的报告 正西 正北两个观测点同时听到一声巨响 正东观测点所听到的时间比其他两个观测点晚4s 已知各观测点到该中心的距离都是1020m 试确定该巨响发生的位置 假定当时声音传播的速度为340m s 相关各点均在同一平面上 第49讲 要点探究 第49讲 要点探究 第49讲 要点探究 第49讲 要点探究 变式题 第49讲 要点探究 思路 利用渐近线方程求出a 再根据双曲线定义求解 探究点2双曲线的标准方程 第49讲 要点探究 例2根据下列条件 求双曲线的标准方程 1 两焦点分别为F1 10 0 F2 10 0 点P 8 0 在双曲线上 2 已知双曲线过A 6 7 B 3 2 两点 焦点在y轴上 第49讲 要点探究 第49讲 要点探究 第49讲 要点探究 第49讲 要点探究 变式题 第49讲 要点探究 第49讲 要点探究 变式题 第49讲 要点探究 探究点3双曲线的几何性质 第49讲 要点探究 第49讲 要点探究 第49讲 要点探究 变式题 第49讲 要点探究 探究点4双曲线的综合应用 第49讲 要点探究 第49讲 要点探究 第49讲 要点探究 第49讲 规律总结 第49讲 规律总结 第50讲 抛物线 第50讲抛物线 第50讲 知识梳理 1 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离 的点的轨迹叫做抛物线 其中定点F叫做抛物线的焦点 定直线l叫做抛物线的准线 定点F不在直线上 2 抛物线标准方程的四种形式y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py p 0 分别表示焦点在x轴上 开口向右 开口向左 和焦点在y轴上 开口向上 开口向下的抛物线 3 抛物线方程中p的几何意义是 相等 焦点到准线的距离 第50讲 知识梳理 4 抛物线的标准方程和几何性质 x 0 y R x 0 y R x轴 0 0 1 第50讲 知识梳理 y 0 x R y 0 x R y轴 0 0 1 探究点1抛物线的定义 第50讲 要点探究 例1 2010 辽宁卷 设抛物线y2 8x的焦点为F 准线为l P为抛物线上一点 PA l A为垂足 如果直线AF的斜率为 那么 PF A 4B 8C 8D 16 例1 思路 如图 可以推得 AFB 60 再利用抛物线定义得出 PAF为等边三角形 即可求出 PF 的长 第50讲 要点探究 B 解析 如图 设准线l与x轴交于点B 连接AF PF 则 BF p 4 直线AF的斜率为 AFB 60 在Rt ABF中 AF 8 又根据抛物线的定义 得 PA PF PA BF PAF 60 PAF为等边三角形 故 PF AF 8 选B 点评 抛物线的定义是解决抛物线问题的基础 它能将两种距离 抛物线上的点与焦点的距离 抛物线上的点与准线的距离 进行等量转化 本题利用了这一关系就轻易得出所求长度 如果问题中涉及了抛物线的焦点和准线 又能与距离联系起来 那么用抛物线定义就能解决问题 第50讲 要点探究 已知抛物线y2 2px p 0 的焦点为F 点P1 x1 y1 P2 x2 y2 P3 x3 y3 在抛物线上 且2x2 x1 x3 则有 A FP1 FP2 FP3 B FP1 2 FP2 2 FP3 2C 2 FP2 FP1 FP3 D FP2 2 FP1 FP3 变式题 第50讲 要点探究 思路 根据抛物线定义 将坐标等式转化为距离关系 即可得解 变式题 第50讲 要点探究 探究点2抛物线的标准方程 例2求适合下列条件的抛物线的标准方程 1 求过点A 3 2 的抛物线的标准方程 2 抛物线的顶点在原点 开口向左 过抛物线焦点的直线m和准线l以及x轴构成的等腰直角三角形的面积为8 例2 思路 1 根据不同开口方向 设不同的方程形式 2 方程可设为y2 2px p 0 再根据面积求参数p的值 解答 1 因为A 3 2 在第一象限 所以抛物线的开口向右或向上 当开口向右时 设抛物线方程为y2 2px p 0 则有4 6p p 抛物线方程为y2 x 第50讲 要点探究 当开口向上时 设抛物线方程为x2 2py p 0 则有9 4p p 抛物线方程为x2 y 2 依题意设抛物线方程为y2 2px p 0 焦点为F 过抛物线焦点的直线m和准线l以及x轴构成的是等腰直角三角形 直线m的斜率为1 设直线m与准线l交于点A 准线l与x轴交于点P 如图 可得各点的坐标为 第50讲 要点探究 抛物线方程为y2 8x 点评 求抛物线的标准方程 只需确定一个待定参数 具体求解时 要确定参数p的值和开口方向两个条件 必要时要进行讨论 第50讲 要点探究 已知以坐标原点为顶点的抛物线C 焦点在x轴上 直线x y 0与抛物线C交于A B两点 若P 2 2 为AB的中点 则抛物线C的方程为 变式题 y2 4x 解析 由题意知抛物线的顶点为坐标原点 焦点在x轴上 所以可设抛物线的方程为y2 ax a 0 变式题 第50讲 要点探究 探究点3抛物线的几何性质 例3 解答 AFB 90 FAB FBA 90 又 PA AB QB AB PAF 90 FAB QBF 90 FBA PAF QBF 90 例3如图50 1 过抛物线x2 4y的焦点F作两互相垂直的直线分别交准线于A B两点 过A B分别作准线的垂线交抛物线于P Q两点 求证 P F Q三点共线 第50讲 要点探究 P Q在抛物线上 PA PF QB QF PAF QBF是等腰三角形 PFA QFB PAF QBF 90 PFA QFB AFB 180 P F Q三点共线 第50讲 要点探究 已知抛物线y2 4ax a 0 的焦点为F 以B 4 a 0 为圆心 BF 为半径 在x轴上方画半圆 设抛物线与半圆交于不同的两点M N P为线段MN的中点 1 求 FM FN 的值 2 是否存在这样的a 使 FM FP FN 成等差数列 若存在 求出a的值 若不存在 说明理由 变式题 解答 1 设M N P在抛物线的准线上的射影分别为M N P 则由抛物线定义得 FM FN MM NN xM xN 2a 又圆的方程为 x a 4 2 y2 16 变式题 第50讲 要点探究 将y2 4ax代入圆的方程得x2 2 4 a x a2 8a 0 xM xN 2 4 a FM FN 8 2 假设存在这样的a 使得2 FP FM FN FM FN MM NN 2 PP FP PP 由定义知点P必在抛物线上 这与点P是弦MN的中点矛盾 所以这样的a不存在 第50讲 要点探究 探究点4抛物线的综合应用 例4一水渠的横截面积如图50 2所示 它的横截面边界AOB是抛物线的一段 已知渠宽AB为2m 渠深OC为1 5m 水面EF距AB为0 5m 1 求水面EF的宽度 2 如果把此水渠改造为横截面是等腰梯形 要求渠深不变 不准往回填土 只准挖土 试求截面梯形的下底边长为多大时 才能使所挖的土最少 第50讲 要点探究 例4 解答 1 建立如图所示的直角坐标系 则A 1 1 5 B 1 1 5 C 0 1 5 第50讲 要点探究 第50讲 规律总结 1 抓住抛物线的定义与几何性质 结合问题熟练运用坐标法 待定系数法 方程思想 数形结合思想等数学思想和方法 分析清楚题中所给几何图形的性质 选择适当方法简捷求解 2 明确p的几何意义 焦点F到准线的距离 抛物线y2 2px上的点常设为 3 有关抛物线的焦半径 焦点弦问题 常转化为点到准线的距离 有关直线与抛物线的位置关系问题 常用方程组思想 消元法 结合根与系数的关系求解 第50讲 规律总结 4 抛物线方程的四种标准形式 可以合并为两个 y2 mx x2 my m 0 5 抛物线的几何特征很独特 如图50 3 抛物线y2 2px 准线为CD AB为过焦点F的弦 M N为线段AB CD的中点 则有如下几个结论 1 AN BN 2 DF CF 3 NF BF 第51讲 直线与圆锥曲线的位置关系 第51讲直线与圆锥曲线的位置关系 第51讲 知识梳理 1 直线与圆锥曲线的位置关系 1 一般地 直线与圆锥曲线相交 有 交点 特殊情况除外 相切时有 交点 2 判断直线与圆锥曲线的位置关系时 通常将直线方程与圆锥曲线方程联立 消去y 或x 转化为关于x 或y 的方程ax2 bx c 0的形式 若a 0 则直线与圆锥曲线有一个交点 此时 若圆锥曲线为抛物线 则直线与抛物线的 平行 若圆锥曲线为双曲线 则直线与双曲线的 平行 若a 0 当判别式 时 直线与圆锥曲线相交 两个 一个 对称轴 渐近线 第51讲 知识梳理 当判别式 时 直线与圆锥曲线相切 当判别式 时 直线与圆锥曲线相离 3 直线与圆锥曲线的位置关系的讨论 还可以利用数形结合的方法解决 2 圆锥曲线的弦长设斜率为k的直线l与圆锥曲线C的两个交点为A x1 y1 B x2 y2 则 AB 或 AB 斜率不存在时 AB y1 y2 第51讲 知识梳理 若圆锥曲线C是抛物线y2 2px p 0 则 AB 若直线l过抛物线的焦点且垂直于抛物线的对称轴 则 AB 称为通径 其长度为 抛物线的焦点弦中 通径最短 3 中点弦问题 第51讲 知识梳理 2 解决中点弦问题常使用韦达定理与中点公式 也可以使用点差法 即若弦AB的中点坐标为 x0 y0 先设两个交点A x1 y1 B x2 y2 分别代入圆锥曲线的方程 得f x1 y1 0 f x2 y2 0 两式相减 分解因式 再将x1 x2 2x0 y1 y2 2y0代入其中 即可求出直线的斜率 用点差法求直线的斜率或直线的方程后要注意检验是否合乎题意 4 与圆锥曲线有关的最值和范围的讨论常用方法 1 结合圆锥曲线的定义利用图形中几何量之间的大小关系 2 不等式 组 求解法 根据题意结合图形 如点在曲线内等 列出所讨论的参数适合的不等式 组 通过解不等式组得出参数的变化范围 第51讲 知识梳理 3 函数值域求解法 把所讨论的参数作为一个函数 一个适当的参数作为自变量来表示这个函数 通过讨论函数的值域来求参数的变化范围 4 构造一个二次函数 利用判别式求解 5 利用不等式 若能将问题转化为 和为定值 或 积为定值 则可以用基本不等式求解 5 过定点问题若曲线 f x y 0与曲线 g x y 0有公共点M 则曲线系 f x y g x y 0 R R 恒过定点M 第51讲 要点探究 探究点1直线与圆锥曲线相切问题 例1 2010 丹东模拟 抛物线C x2 2py p 0 上一点P m 4 到其焦点的距离为5 1 求p与m的值 2 若直线l y kx 1与抛物线C相交于A B两点 l1 l2分别是该抛物线在A B两点处的切线 M N分别是l1 l2与该抛物线的准线交点 求证 第51讲 要点探究 例1 1 由抛物线的定义求解 2 设A x1 y1 B x2 y2 由导数求出在A B两点处的切线的斜率 写出切线方程 令y 0 可得点M N的坐标 再结合韦达定理 可以将用k表示出来 第51讲 要点探究 第51讲 要点探究 第51讲 要点探究 点评 直线与圆锥曲线相切的问题 常见的有以下两种 1 已知某直线与圆锥曲线相切 将直线方程代入圆锥曲线方程 利用判别式等于零求出相关参数 2 求过某点的圆锥曲线的方程 设出切线方程 将问题转化为 1 的问题解决 若是过抛物线y ax2上的点的切线 则可以用抛物线在该点的导数表示切线的斜率 第51讲 要点探究 探究点2圆锥曲线的弦长问题 例2斜率为2的直线l经过抛物线y2 8x的焦点F 且与抛物线相交于A B两点 求线段AB的长 例2 思路 方法一 直接求两交点坐标 用两点间距离公式计算弦长 方法二 设而不求 运用弦长公式和韦达定理计算弦长 方法三 设而不求 数形结合 活用定义 运用韦达定理 计算弦长 解答 抛物线y2 8x的焦点坐标为F 2 0 方法一 设l方程为y 2 x 2 即y 2x 4 代入抛物线方程 得 2x 4 2 8x 第51讲 要点探究 第51讲 要点探究 点评 方法一和方法二是解决直线被圆锥曲线截得的弦长的一般方法 若能具体求出交点坐标 则用方法一计算弦长 若是交点坐标不易求出 或问题中含有参数 则用方法二 方法三利用抛物线的定义求解 若弦不经过焦点 则不能使用此法 如下面的变式题 就是用方法二求解的 第51讲 要点探究 若斜率为2的动直线l与抛物线x2 4y相交于不同的两点A B O为坐标原点 变式题 解答 1 设l的方程为y 2x b l与x2 4y的交点坐标分别为A x1 y1 B x2 y2 点P x0 y0 变式题 第51讲 要点探究 第51讲 要点探究 第51讲 要点探究 探究点3与圆锥曲线有关的最值问题 例3 2010 唐山模拟 已知A B是抛物线y2 4x上的两点 O是抛物线的顶点 OA OB 1 求证 直线AB过定点M 4 0 2 设弦AB的中点为P 求点P到直线x y 0的距离的最小值 例3 解答 1 证明 设直线AB方程为x my b A x1 y1 B x2 y2 将直线AB方程代入抛物线方程y2 4x 得y2 4my 4b 0 则y1 y2 4m y1y2 4b 第51讲 要点探究 第51讲 要点探究 第51讲 要点探究 变式题 变式题 第51讲 要点探究 第51讲 要点探究 第51讲 要点探究 第51讲 要点探究 探究点4直线与圆锥曲线关系的综合问题 第51讲 要点探究 例4 解答 1 由题意知F 2 0 B 3 0 设P x y 则PF2 x 2 2 y2 PB2 x 3 2 y2 由PF2 PB2 4 得 x 2 2 y2 x 3 2 y2 4 第51讲 要点探究 第51讲 要点探究 第51讲 要点探究 第51讲 要点探究 第51讲 要点探究 第51讲 要点探究 第51讲 要点探究 第51讲 规律总结 1 直线与圆锥曲线的公共点的个数与它们的方程组成的方程组的解是一一对应的 因此可以通过研究方程组的解来判断直线与圆锥曲线的位置关系 但得到的方程中要注意对二次项的系数是否为零进行讨论 只有二次方程才可以用判别式来判断解的个数 对于二次项系数为零的情况要结合图形来分析判断 第51讲 规律总结 第51讲 规律总结 第51讲 规律总结 3 面积型 面积型的最值 即是求两个量的乘积的最值 可以考虑能否使用不等式求解 或者转化为某个参数的函数关系 用函数方法求最值 6 定点和定值问题的求解 定点问题一般是与圆锥曲线有关的直线过定点的问题 定值问题一般是圆锥曲线中的一些内在规律 是与某些参数无关的常量 1 客观题中的定点和定值问题 可以考虑使用特殊值法 特殊点 特殊图形 特殊函数 特殊位置 特殊角等 求解 即将问题的条件特殊化 以达到简化求解过程的目的 2 对于解答题 将要证明过定点的直线方程表示为某参数的直线系方程的形式 再由直线系方程求出定点 将要求解的定值表示为某参数的函数关系 再化简这个函数式 得到定值 第52讲 曲线与方程 第52讲曲线与方程 第52讲 知识梳理 1 一般地 在直角坐标系中 如果某曲线C 看作适合某种条件的点的集合或适合某种条件的点的轨迹 上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立了如下的关系 1 曲线上点的坐标都是这个方程的解 2 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 那么 这个方程叫做曲线的方程 这条曲线叫做方程的曲线 2 求曲线的方程 一般有下面几个步骤 1 建立适当的直角坐标系 用有序实数对 x y 表示曲线上任意一点M的坐标 第52讲 知识梳理 2 写出适合条件P的点M的集合 P M P M 3 用坐标表示条件P M 列出方程f x y 0 4 化方程f x y 0为最简单形式 5 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 一般地 化简前后方程的解集是相同的 步骤 5 可以省略不写 如有特殊情况 可以适当说明 3 几种常见求轨迹方程的方法 1 直接法由题设所给 或通过分析图形的几何性质而得出 的动点所满足的几何条件列出等式 再用坐标等式 化简得曲线的方程 这种方法叫直接法 第52讲 知识梳理 2 定义法利用所学过的圆的定义 椭圆的定义 双曲线的定义 抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程 这种方法叫做定义法 这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件 或利