高考数学总复习 第二单元 第三节 函数的单调性课件.ppt

第三节函数的单调性 函数单调性的判断 试判断函数f x x 1 1 的单调性 分析运用定义法进行判断 解设 1 x1 x2 1 则f x1 f x2 1 x1 x2 1 x1 1 0 x1 1 0 x2 1 0 x2 1 0 1 x1x2 1 0 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 函数为减函数 规律总结运用定义判断或证明函数单调性时 步骤要规范 设 列 证 判 定论 证变形要彻底 一般通过因式分解 配方等手段直到符号的判定非常明显 变式训练1下列命题 若f x 为增函数 则为减函数 若f x 为减函数 则 f x 2为增函数 若f x 为增函数 则 f x 2为增函数 若f x 为增函数 g x 是减函数 且g f x 有意义 则g f x 为减函数 其中正确命题的个数为 a 1b 2c 3d 4 解析 正确 不正确 故应选b 答案 b 求函数的单调区间 求下列函数的单调区间 1 y a b 0 2 x2 2 x 3 3 y log x2 2x 3 分析 1 转化成y k 0 的单调性问题 2 该函数为偶函数 可以运用图象 3 根据复合函数的单调性求解 解 1 y 1 a b a b 0 函数在 b b 上是减函数 b b 是函数的减区间 2 函数图象 函数的增区间为 1 0 1 函数的减区间为 1 0 1 3 由 x2 2x 3 0 解得函数的定义域为 设t x2 2x 3 在区间 3 1 上 t是x的增函数 又y logt是t的减函数 在区间 3 1 上 y是x的减函数 即 3 1 是函数的减区间 在区间 1 1 上 t是x的减函数 y是t的减函数 1 1 是函数的增区间 规律总结 1 求函数单调区间的常用方法 定义法 导数法 复合函数单调性法 数形结合法 其中定义法和导数法是通法 2 求简单复合函数f g x 的单调区间 先确定函数的定义域 再在定义域内找到内函数g x 的单调区间 最后根据外函数f t 的单调性 确定原函数的单调区间 复合函数的单调性的判断参看下表 可归纳简记为 同增异减 变式训练 函数y log x2 5x 6 的单调增区间为 a b 3 c d 2 解析 x2 5x 6 0 x 3或x 2 令t x2 5x 6 又y logt是t的减函数 在区间 2 上 y是x的增函数 故选d 答案 d 抽象函数的单调性及运用 定义在r上的函数y f x f 0 0 当x 0时 f x 1 且对任意的a b r 有f a b f a f b 求证 1 f 0 1 2 f x 是r上的增函数 分析多设问问题注意前一设问的应用 本题没有函数解析式 理解f a b f a f b 含义 充分利用该条件 证明 1 由任意的a b r f a b f a f b 令a b 0得 f 0 f 0 2 又f 0 0 f 0 1 2 x 0时 f x 1 当x 0时 由f x x f x f x 1 即f x 0 综上所述 当x r时 f x 0 设任意的x1 x2 r 且x1 x2 则f x2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f x1 f x1 f x1 f x2 x1 1 又x2 x1 0 f x2 x1 1 f x1 f x2 x1 1 0 即f x2 f x1 0 f x2 f x1 f x 是r上的增函数 规律总结 1 抽象函数单调性的证明用定义法 2 解含 f 不等式 首先要根据函数单调性脱去 f 符号 转化成关于自变量x的不等式 转化中注意定义域的限制条件 变式训练 函数f x 对任意的a b r 都有f a b f a f b 1 并且当x 0时 f x 1 1 求证 f x 是r上的增函数 2 若f 4 5 解不等式f 3m2 m 2 3 解析 1 证明 设x1 x2 r 且x1 x2 则x2 x1 0 f x2 x1 1 f x2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f x1 1 f x1 f x2 x1 1 0 f x1 f x2 即f x 是r上的增函数 2 f 4 f 2 2 f 2 f 2 1 5 f 2 3 不等式即为f 3m2 m 2 f 2 f x 是增函数 3m2 m 2 2 解得 1 m 求函数的最大 小 值 12分 已知函数f x x 1 a为正常数 求f x 的最小值 分析形如f x x x 0 函数为重要函数 首先判断函数的单调性 运用单调性求最值 解 f x x 2 x 1 f x 1 x 1 2分由f x 0 x f x 在 上为增函数 4分由f x 0 0 x f x 在 0 上为减函数 6分当 1 即a 1时 f x 在区间 1 上先减后增 f x min f 2 2 当 1 即0 a 1时 f x min f 1 a 3 12分 规律总结求函数的最大 小 值常用方法有函数的单调性 配方法 数形结合法等 变式训练 用min a b c 表示a b c三个数中的最小值 设f x min 2x x 2 10 x x 0 则f x 的最大值为 a 4b 5c 6d 7 解析 作出函数y 2x y x 2 y 10 x x 0 的图象 由图可知f x 的图象为实线部分 所以f x 的最大值为点a的纵坐标 由解得y 6 故选c 答案 c 1 一个函数的两个单调区间不可以取并集 比如 y 在 0 上是单调递减的 并且在 0 上也是单调递减的 只能说 0 和 0 是函数y 的两个单调递减区间 不能说 0 0 是原函数的单调递减区间 2 通过观察图象 对函数是否具有某种性质做出一种猜想 然后通过推理的办法 证明这种猜想的正确性 是发现和解决问题的一种常用数学方法 3 求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域 其次充分利用一次 二次函数等基本初等函数的单调性 常用的方法有 定义法 图象法 导数法 4 复合函数的单调性 同增同减 复合为增 一增一减 复合为减 5 求函数的最值通常先判断函数的单调性 再根据所给区间求函数的最值 求函数y 的单调区间 错解当x 1时 y x 函数在 1 上是减函数 当x 1时 y x 2 函数在 1 上是增函数